单元质量评估（一）

单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·邯郸高一检测)已知集合A={x|y=1-x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A.∅ B.{1}C.[0,+∞) D.{(0,1)}【解析】选B.由集合A中的函数y=1-得到1-x2≥0,x∈Z,则集合A={-1,0,1};由集合B中的函数y=x2+1≥1,且x∈A,得到集合B={1,2},则A∩B={1}.【补偿训练】已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m=()A.0或3 B.0或3C.1或3 D.1或3【解析】选B.依据并集的概念及A∪B=A可知,m=3或m=m,由m=m解得m=0或m=1.当m=0或m=3时,符合题意;当m=1时,不满足集合中元素的互异性,因此应舍去.综上可知m=0或m=3.2.(2018·张掖高一检测)下列各式中,函数的个数是()①y=1;②y=x2;③y=1-x;④y=x-2+1A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选B.①②③是函数,④中x的取值集合为空集,不是函数.3.(2018·大庆高一检测)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1【解析】选C.f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数,f(x)=x2-3x在(0,+∞)上先减后增,f(x)=-1x+1在(0,+∞f(x)=-|x|在(0,+∞)上为减函数.4.若一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是()【解析】选C.因为一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴x=-b2a5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+b,则f(-1)等于()A.0 B.2 C.-2 D.1【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即b=0,所以当x≥0时,f(x)=2x,所以f(-1)=-f(1)=-2.6.(2018·宁波高一检测)下列对应是从集合S到T的映射的是()A.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},对应关系f:取平方根;B.S=N,T={-1,1},对应关系f:x→y=(-1)x,x∈S;C.S={0,1,2,5},T=1,对应关系f:取倒数;D.S=R,T=R,对应关系f:x→y=2+x【解析】选B.若S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},在“开平方”的对应下,集合S中的元素1,4,9在集合T中的像不唯一,所以选项A不正确;若S=N,T={-1,1},在“x→y=(-1)x,x∈S”的对应下,集合S中的每一个元素在集合T中都有唯一的元素1或-1与之相对应,所以选项B正确;若S={0,1,2,5,},T=1,12,15,在“取倒数”的对应下,集合S中的0在T中没有对应元素,所以C选项不正确;若S=R,T=R,在“7.(2018·南充高一检测)下列四个函数:①y=3-x;②y=1x2+1;③y=x2+2x-10;④有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.根据一次函数的值域为R,y=3-x为一次函数,故①满足条件;根据x2+1≥1,可得0<1x2+1≤1,即函数y=1x2+1的值域为(0,1],故②不满足条件;二次函数y=x2+2x-10的最小值为-11,无最大值,故函数y=x2+2x-10的值域为[-11,+∞),故③不满足条件;当x≤0时,y=-x≥0,当x>0时,y=-8.(2018·安庆高一检测)函数y=|x|(x-1)A.{x|x≥1} B.{x|x≥1或x=0}C.{x|x≥0} D.{x|x=0}【解析】选B.因为函数y=|x|(x-1)所以|x|(x-1)≥0,解得|x|≥0或x-1≥0,即x≥1或x=0,所以函数的定义域为{x|x≥1或x=0}.【补偿训练】设函数f(x)=x-1,则fx2+fA.12C.[1,+∞) D.1【解析】选B.因为函数f(x)=x-1的定义域为[1,+∞所以x2≥1,4x≥1,所以fx2+f49.(2018·宜昌高一检测)已知f(x)=x+2,x≤-1,是()A.3 B.1或3C.1,32或±3【解析】选A.x≤-1时,x+2=3,解得x=1,不符合;-1<x<2时,x2=3,解得x=3或-3(舍);x≥2时,2x=3,解得x=32,不符合,故x=3【补偿训练】设f(x)=x+1,x>0,A.1B.0C.2D.-1【解析】选C.因为f(x)=x+1,x>0,10.已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图:则F(x)=f(x)·g(x)的图象可能是下图中的()【解题指南】通过奇偶函数图象的对称性进行判断.【解析】选A.由图象知y=f(x)与y=g(x)均为奇函数,所以F(x)=f(x)·g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故D不符合要求.在x=0的左侧附近,因为f(x)>0,g(x)<0,所以F(x)<0,在x=0的右侧附近,因为f(x)<0,g(x)>0,所以F(x)<0.所以B,C不符合要求,故选A.11.(2018·临汾高一检测)已知函数f(x)=(a-3)x+5(x≤1),A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]【解析】选D.因为f(x)为R上的减函数,所以x≤1时,f(x)递减,即a-3<0(1),x>1时,f(x)递减,即a>0(2),且(a-3)×1+5≥2a联立(1)(2)(3)计算得出,0<a≤2.12.(2018·绵阳高一检测)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为y=-x2,值域为{-1,-9}的“同族函数”共有()A.9种 B.8种 C.5种 D.4种【解析】选A.由题意知,问题的关键在于确定函数定义域的个数,函数解析式为y=-x2,值域为{-1,-9},当x=±1时,y=-1;当x=±3时,y=-9,则定义域可以为:{-1,-3},{-1,3},{1,-3},{1,3},{-1,1,-3},{-1,1,3},{-1,-3,3},{1,-3,3},{-1,1,-3,3},共9个.【拓展延伸】函数“三要素”的关系(1)值域由对应关系和定义域决定,当两个函数的对应关系和定义域分别相同时,这两个函数是同一函数.(2)定义域不能由对应关系和值域决定,当两个函数的对应关系和值域分别相同时,这两个函数也不一定是同一函数.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2017·绍兴高一检测)设集合A={2,x,x2-30},若-5∈A,则x的值为________.【解析】因为集合A={2,x,x2-30},且-5∈A,所以x=-5或x2-30=-5,即x=-5或x=5,当x=-5时,x=x2-30,故x=-5舍去,当x=5时,A={2,5,-5},符合题意.答案:5【补偿训练】已知A={-1,3,m},集合B={3,4},若B∩A=B,则实数m=________.【解析】因为B∩A=B,所以B⊆A,又A={-1,3,m},集合B={3,4},所以必有m=4.答案:414.(2018·济南高一检测)若函数f(x)满足f(2x+1)=3-2x,则f(x)的解析式为________.【解析】根据题意,设2x+1=t,t∈R,所以x=t-12,所以f(t)=3-2×所以f(x)=4-x.答案:f(x)=4-x【补偿训练】若f(g(x))=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)=()A.3 B.3xC.6x+3 D.6x+1【解析】选B.由f(g(x))=f(2x+1)=6x+3=3(2x+1),知f(x)=3x.15.定义符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0.设f(x)=sgn12-x+12·f1(x)+sgnx-12+1【解析】由题意知f(x)=x所以f(x)的最大值等于1.答案:116.(2018·淄博高一检测)设函数f(x)=|x2-2ax+b|,给出下列命题:①f(x)必是偶函数;②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称;③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;④f(x)有最大值|a2-b|.其中正确命题的序号是________.【解析】①,f(-x)=|x2+2ax+b|,当a≠0时,f(-x)≠f(x),所以f(x)不一定是偶函数,故①错误;②,当取函数为f(x)=|x2-4x+2|时,有f(0)=f(2),但函数关于x=2对称,故②错误;③,由题意知,Δ=(-2a)2-4b=4(a2-b)≤0,所以x2-2ax+b≥0,所以f(x)=x2-2ax+b,对称轴为x=a,所以f(x)在区间[a,+∞)上是增函数,故③正确;④,f(x)=|(x-a)2-(a2-b)|,当a2-b>0时,即Δ>0,函数与y轴有交点,此时最小值是0,故④错误.答案:③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m-1≤x≤2m+1},已知B⊆A.(1)当x∈N时,求集合A的子集的个数.(2)求实数m的取值范围.【解析】(1)因为当x∈N时,A={0,1,2},所以集合A的子集的个数为23=8.(2)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=∅,符合题意;②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠∅.由B⊆A,借助数轴,得m解得0≤m≤12,所以0≤m≤1综合①②可知,实数m的取值范围为m|m<-218.(12分)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.(1)求f(m+1)的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.(2)任取x1<x2(x1,x2∈R),则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因为x1<x2,所以f(x2)-f(x1)<0,即函数f(x)在R上单调递减.【拓展延伸】定义法证明函数单调性时常用的变形技巧(1)因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.(2)通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.(3)配方:当原函数是二次函数时,作差后可考虑配方,便于判断符号.19.(12分)函数f(x)的定义域D:{x|x≠0}且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明.【解析】(1)令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)令x1=x2=-1,有f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0,令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.20.(12分)(2018·绍兴高一检测)已知f(x)=1,x<0,2,x≥0,g(x)=(1)当1≤x<2时,求g(x).(2)当x∈R时,求g(x)的解析式,并画出其图象.(3)求方程xf(g(x))=2g(f(x))的解.【解析】(1)当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,所以g(x)=6-12=(2)当x<1时,x-1<0,x-2<0,所以g(x)=3-1当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,所以g(x)=6-2故y=g(x)=1,x<1,(3)因为g(x)>0,所以f(g(x))=2,x∈R,g(f(x))=g所以,方程xf(g(x))=2g(f(x))为x2=5,x<0,4,x≥0,所以x=-21.(12分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间:讲授开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示学生的接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:min),可有以下公式:f(x)=-0.1(1)讲课开始后5min和讲课开始后20min比较,何时学生的注意力更集中?(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中,能持续多久?(3)一道数学难题,需要讲解13min,并且要求学生的注意力至少达到55,那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目?请说明理由.【解析】(1)f(5)=53.5,f(20)=47<53.5,所以讲课开始后5