现代优化方法综述

和发展。随着数学理论和电子计算机技术的的独立的工程学科，并在生产实践中得到了表示，这些参数有些已经给定，有些没有给能使所设计的产品结构最合理、性能最好、质量最高、成本最低(即技术经济指标最佳)，，这就是优化设计所要解决的问题。一般来型。②选择最优化算法。③程序设计。④制，它包含设计变量、目标函数设计变量的一种现代设计表现形式(1)坐标表示法：一维问题→一个设计变量→数轴上的一个点.....nnn维超越空间的向量变量向量的端点(始点取在坐标原点)，称作设计点。也即：在设计空间中的一个点，对应于一组设计变(2)向量表示法：二维问题→二维向量X=[x,x]T2X=[x,x,x]T123n维问题→n维向量X=[x,x,,x]T2nn(1)结构的总体布置尺寸，如中心距。(2)元件的几何尺寸：长度，截面尺寸，某些点的坐标值。(3)材料的力学和物理特性：重量、惯性矩、力或力矩等。单些，而且由结构布置情况的设计变量的选(1)对设计影响较大的参数选为设计变量(2)尽量减少设计变量的个数种类设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的(例如面积取负等)。如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行(或可接受)设计。反之则称为不可行(或不可接受)设计。.....，对设计变量的取值加行设计必须满足的限制条件称为约可行域的使用性能，最小的质。在最优设计中，可将所追求的设计目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达出来。f(X)f(x,x,,x)2n函数求极小值。(1)以成本最低构造目标函数。(2)按最小重量构造目标函数。(3)按几何要求：如最小体积，最小尺寸构造目标函数。(4)按机构的工作精度要求构造...(5)按机构的运动轨迹最准确(6)满足应力要求(材料利用最好)(8)平均寿命最长(轴承的寿命计算)。(9)冷却效果最好(轴承的热平衡计算)。(10)可靠性最高。数学模型的几何意义化设计数学模型的一般形式在给定的约束条件下，选取适当的设计变量X，使其目标函数f(X)达到最优值，其数学表达式(数学模型)为：minf(X)=f(x,x,…,x)12nX=[x,x,…,x]T2nmuh(x)=0(v=1,2,…,p<n)v(1)法一有约束(2)法二线性：目标函数和约束函数都是线性的。的几何描述设计变量的值就相应有一个函数值(并相应在设计空间对应于一个设计点)，具.......或曲面，就是目标函数的等值面或((2)约束优化问题：在设计可行域寻求目标函数的极小点。和全局最优解。2.5优化设计数学模型大小的分类:3.经典优化算法小结：无约束优方向法、鲍威尔法(略).1坐标轮换法.....轮换沿各个坐标轴一维搜在每次迭代部，要依次沿各坐标轴进行N次(N为优化问题的维数)一维搜索。这种一k=k+k,(j=1,2,…,N)，对于第k轮迭代，须重复N次该式的一维搜索，搜索的参jj1jj数为ak(即要优化的参数是ak)，为相对第j维变量的搜索步长，搜索方向为第j维空间坐jj标的方向。当k轮迭代结束后，本轮搜索的重点作为下一轮的起点，即Xk+1=Xk，然后投0N不考虑目标函数本身的变化情况(函数特点)，简单、效率低、收敛速度慢。.2共轭方向法对于N维正定二次函数f()=1T[A]+T+c(当N=2，为同心椭圆族)，[H]为函2121212如何构造共轭方向(二维)？对于某两点X,X，沿方向S(XX,S不平行)一维搜索得到两个最优点X,X，构成方向S=XX，则可以证明S与S为共轭方向，12于二次函数，只要经过N个一维搜索即可到达最优点(即N维空间完成一轮迭代)。对于大。在构造迭代方程N.....3.1.3梯度法(最速下降法)1梯度法基本原理无约束优化的直接法(坐标轮换法和共轭方向法、鲍威尔法)没有考虑无约束优化最优解存在的必要条件(梯度为零)，使用这一条件，可以设计出更为高效的算法，所谓间接法(梯度法、牛顿法、变尺度法)。便是函数值下降最快的方向。从寻优。即搜索方向ttttt法的特点ttttttttt?Xk+1?ak。剃度法对于迭有偏心的其效率就低了，随偏心率的增加，迭代终止的难度也在增加。可见这种搜索在接近目标时的收敛是比较慢(缺点)际应用的方法，常用于其他方法的初始迭代(类似于坐标轮换法)。问题。其数学模型为minf(),=Rn)1|.....直接法(约束坐标轮换法、随机方向法、复合形法、可行方向法)间接法(简约梯度法、惩罚函数法等)。一系列比较简单的子问题，用子问3.2.1约束随机方向搜索法(随机方向法)搜索方向，直到该方向同时满足足可行性及下降性条件合适；如若找不到适合的方向，则将步点。给定步长找不到可行的方向呢？如有对搜索空间进行机械的排查，对之后，认为可以近似的得出这个结呢？一般取50~500个方向，当然，如更好，而且设计空间维数越大，这iiiiir=irand(r=irand()iRANDMAX_对每个坐标方向的正负两方向的搜索。之后可以进行标准化处理=y一y目性，效率低，速度慢，可能不3.2.2复合形法.....(1)在设计空间找到K个可行点构成多面体(复合形)，一般N+1≤K≤2N。(2)不断使复合形向着约束最优点移动和收缩。更具体一些，根据目标函数值的大小找K坏点之外的其它K-1个点的形心为映射中点，找到最坏点的映射点(对称点)，最坏点之外其余K-1个点以及这个映射(3)检验复合形中各个点与最好点是否满足重合,或这些点收敛于某个精度构成的最好(一)初始复合形的产生直到找到可行点。公式x1=a+r1(ba)iiiiiiiiii3)之后其它不可行的点按1)、2)的步骤重复，直到K个点均满足可行性。(二)映射点不满足可行性和下降性的处理1)如果映射点不满足可行性和下降性，将映射系数减半，产生新的映射点，如此反(三)可行域为非凸集的处理这时在以最好点和该形心构成的超立方体中重新构造复合形。如果xL<xC，ii则axL,bxCiiii(四)迭代终止条件：各顶点与最好点目标函数值之差的均方根小于设计精度1k[f(j)f(L)]2kj=13惩罚函数法.....问题。所谓“惩罚”，既是给不满足约束条件的惩罚项以很大的值，使目标函数的总值增大(就是惩罚)，那么无约束优化方法就会使搜索向着总值减小的方向前进，从而使不满足的约束的点(或远离约束边界的点)向满足约束的方向靠拢。现代优化算法小结——遗传算法遗传算法简称GA(GeneticAlgorithm)，最早由美国Michigan大学的J.Holland教授提出(于上世纪60-70年代，以1975年出版的一本著作为代表),模拟自然界遗传机制和(1)遗传：这是生物的普遍特征，亲代把生物信息交给子代，子代总是和亲代具有相(2)变异：亲代和子代之间以及子代的不同个体之间的差异，称为变异。变异是随机(3)生存斗争和适者生存：具有适应性变异的个体被保留下来，不具有适应性变异的与祖先有所不同，演变为新的叉及变异对个体进行筛选，使适应4.1遗传算法的基本操作(算子)有(1)选择(SelectionOperator).....(2)交叉(CrossoverOperator)交叉模拟了生物置；交叉、顺序交(3)变异(MutationOperator)以很小的概率随机地改变遗传基因(表示染色体的符号串的某一位)的值。在染色体以二变为0，或由0变为1。合以外的空间进行搜索，使进化了在尽可能大的空间中.2遗传算法的特点(1)遗传算法是对参数的编码进行操作，而非对参数本身，这就是使得我们在优化计自然界中生物的遗传和进化等机理(2)遗传算法同时使用多个搜索点的搜索信息。传统的优化方法往往是从解空间的单提供的信息不多，搜索效率不高，有传算法从由很多个体组成的一个初始体开始搜索，这是遗传算法所特有的(3)遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。传统的优化算法不仅需要利用目标函数搜索方向。而遗传算法仅使用由目标搜索方向和搜索围，无需目标函数的...(4)遗传算法使用概率搜索技术。遗传算法的选择、交叉、变异等运算都是以一种概(5)遗传算法在解空间进行高效启发式搜索，而非盲目地穷举或完全随机搜索(6)遗传算法对于待寻优的函数基本无限制，它既不要求函数连续，也不要求函数可(7)遗传算法具有并行计算的特点，因而可通过