高等数学1教学材料125函数极限性质

(1)唯一6种极限过程都适用,limf(x)x

Alimf(x)x 区别于数 如果limfx存在，则存在某个Xfx) xxX如果 f(x)存在则存在某个0使得f(x)xx0x0x0limfx)a0X0使得在(X上有xf(x)limfx)a00使得在x0x0xfx)在某个极限过程中，函数fxgx分别有极限a,b，如果存在某时刻，满足：在此时刻之后恒有fx)gx)，则ablimf(x)a,limg(x)x xX,xX,f(x)g(

a在同一个极限过，在某时刻以后fx)gx)hx)fxhx)都有共同的极限a，则gx)也收敛到a,xUO(x,),f(x)g(x)h(0limf(x)limh(x)x xlimgx)x定理

limfx)a,limgx)bx xlim[f(x)g(x)]ablimf(x)limg(x x xlim[f(x)g(x)]ablimf(x)limg(x xlimkf(x)kaklimf(x x

x当limgx)x

x

f(x)ag(

limf(xlimg(x如果 f(x)存在，但是limg(x)不存x xlimf(xg(xlimf(x)g(xlimfx)x

g(设在limxna(a可以是x0，x0x0，，，)并且当n充分大时xna，则称fxn为函数fxxa时的一个定理limfx)Afx)当xa时的任意子列fxn都收敛于函数极限存在的充要条件是其任意子列都收敛数列极限存在的充要条件是其任意子列都收敛如果有一个子列的极限不存在或者有两个子列limexxlim1n

1en n1nysinxlimsinysinxx limnsin1

nnsin nn

2nn

n1

nn n2yysinx

limsin1不存在 xn

x 1nlimxn 且 n

4n12

lim

且

nnlimsin1limsin

limsin limsin4n1

limxsinx lim1sinx0 定 lim(x)u0 limf(u)A,且在x0的某邻域x u内,x)u0,limf[xxf[(x)]fxulimf(u)Au0,0,uS0(u0,),f(u)Alim(x)u0xxS0(x0,),(x)u0limf(x)Axlimg(x)x

limf(x)g(x

AB

limf(x)g(x limeg(x)lnf(x 1.A>

x uBln

x eBln

limsinx O,圆心角AOBx,(0xB2BxxsinxtanxAC扇形OAB的圆心角为xOAB的高为BDsinxxtan

即cosxsinx1,在x0xx22

0(0,2

2sin2x2(x)21cos1cossinxsinxxcosx1cosx0(xlim1cosx

x x2sin2 sin2 原式

21lim

2

21 2x0

sinx2

1121 x1[x]x[x]

lim(11)xxlim(11)xxx

[x]

)[x](11)x(1x

1)[x[lim(11)[x]1lim(11)[x]lim(11)xxx

1

x

[x]lim(1

[x]

)[x]1lim(1

[x]

)1lim(11)x xtxlim(11)xlim(11)

lim(1

x

t

t tlim(1

)t

t t lim(11)xt1x

1lim(1x)x

xlim(1t

1)tt1lim(1x) x(lim(or,)lim(11)lim(11xx x 原式lim[(1xx

1)xx

1) ex

lim(3x)2xx 2 原式lim[(1x

x

)x2]2(1

x

)4e2

xsin2

sin211xsin

coscosx01xsinxcos

x

1xsincos1xsincos sin2

2

2

2

xxsin

x

1sin2

sin x02

x 2

2 x 求 x x23x解limx23x5)limx

lim3xlimx

x

x x(limx)23limxlimx x x223253

x3

limx3 2 x x 2

17x2x

3x

lim(x23x x求

lim x2

0)x7x7x2xxxxx

3) xxxxlimx2x2x

2xxxxnn设fx)a0

an,limf(x)a(limx)na(limx)n1⋯x

x

x a0

na1n

⋯anf(x0设f(x)P(x),且Q(x) limf(x)x

limP(xlimQ(x

P(x0Q(x0

f(x0若Qx0

x2 x1

2x解x时分子分母的极限都是零

0)先约去趋向于零的因子x1x

lim(x1)(xx1

2x

x1(x3)(xlimx11x1x

(

x3 x解:

3(x2x

(x3lim(x2)(x1)lim(x2) (x3 x1x2x2x33x2

x7x

4x2133x2

3lim2

x x7x

4x2

x74