24.4-弧长和扇形面积讲义-教师版

24.4弧长和扇形面积一、教学目标（1）掌握扇形的面积公式，会利用扇形的弧长公式进行有关的计算.（2）了解圆锥的侧面展开图是一个扇形.（3）了解圆锥侧面积、全面积的计算方法，并会运用公式解决问题.教学重难点教学重点：弧长公式、圆锥及有关概念；教学难点：圆锥的侧面积和全面积；知识点一：弧长公式在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为l=nπr/180=45×π×1/180=45×3.14×1/180约等于0.785【提醒】在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在公式计算时，“n”和“180”不应再写单位；

(2)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量，即三个量中知二可求一；

(3)正确区分弧、弧的度数相等、弧长相等，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，要充分注意，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一.例1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A． B． C．2π D．【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．【解答】解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．例2.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（）A．2π B． C． D．【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．【解答】解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．变式1.一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为2πcm．【分析】根据弧长公式可得结论．【解答】解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．变式2.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为9cm．【分析】根据弧长公式L=求解即可．【解答】解：∵L=，∴R==9．故答案为：9．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．知识点二：扇形与扇形的面积公式1.扇形的定义一条\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"圆弧和经过这条\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"圆弧两端的两条\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，它是由\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"圆周的一部分与它所对应的\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"圆心角围成。《\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"几何原本》中这样定义扇形：由\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2/_blank"圆弧围成的图形。2.扇形的面积公式①角度制计算,其中l是\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"弧长，n是扇形\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"圆心角，π是\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"圆周率，R是\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"扇形\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"半径。②弧度制计算，其中l是\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"弧长，|α|是弧l所对的\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"圆心角的\t"/item/%E6%89%87%E5%BD%A2%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"弧度数的绝对值，R是扇形半径。【提醒】对于扇形的面积公式与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看作一个曲边三角形，吧弧长l看做底边，R看做高，这样对比，便于记忆，也便于应用，实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连接各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.例1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是6πcm2．【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm2），故答案为：6π．【点评】本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．例2.已知扇形的弧长为2πcm，圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2．【分析】首先运用弧长公式求出扇形的半径，运用扇形的面积公式直接计算，即可解决问题．【解答】解：设该扇形的弧长为λ，半径为μ，圆心角为α°，则，而α=120，解得：μ=3，∴该扇形的面积==3π（cm2），故答案为3π．【点评】该题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式等知识点及其应用问题；应牢固掌握扇形的面积公式、弧长公式，这是灵活运用、解题的基础和关键．变式1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2 B． C．πm2 D．2πm2【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2），故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．变式2．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．6π【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，∴∠C=120°，∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C．【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．知识点三：圆锥及有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.【提醒】圆锥的特征：（1）底面的特征：圆锥的底面都是一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是曲面。（3）高的特征：一个圆锥只有一条高。（4）母线的特征：圆锥母线的长度大于圆锥的高。圆锥的底面半径r，高h和母线l构成了一个直角三角形，由勾股定理可得，半径的平方+高的平方=母线的平方.点拨方法：判断一个图形是圆锥的条件：①底面是一个圆；②侧面是一个曲面，③只有一条条高；④有一个顶点。例1.说一说下面哪些是圆锥例2.1、判断（1）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。（）（2）从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫做圆锥的高。（）（3）圆锥从正面或侧面看，都是一个等腰三角形。（）2、下面图形中是圆锥的在括号里打“√”，不是的打“×”。（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）变式1.下面各图标出圆锥的高正确吗？为什么？变式2.下列对高的测量正确的是（）ABC拓展点一：弧长公式的应用例1.如图，A，B，P是半径为2的⊙上的三点，∠APB=45°，则的长为（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB，∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∴的长为=π，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．例2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则的长等于（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】根据圆周角得出∠AOB=60°，进而利用弧长公式解答即可．【解答】解：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴的长=，故选：B．【点评】此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB=60°．例3.如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BAC=36°，且⊙O的半径为1，则劣弧BC的长是（）A．π B．π C．π D．π【分析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．【解答】解：连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，故劣弧BC的长是．故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键，难度一般．变式1.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．拓展点二：扇形面积公式的应用例1.如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（）A． B． C． D．【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；【解答】解：∵∠A=60°，∠B=100°，∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，∵DE=DC，∴∠C=∠DEC=20°，∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，∴S扇形DBE==π．故选：C．【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．例2.如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2，根据阴影部分的面积=S⊙O﹣S正方形ABCD列式计算可得．【解答】解：连接OA、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，∴OA=ABcos45°=4×=2，所以阴影部分的面积=S⊙O﹣S正方形ABCD=π×（2）2﹣4×4=8π﹣16．故选：B．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．变式1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB=2，AC=．（1）求∠A的度数．（2）求弧CBD的长．（3）求弓形CBD的面积．【分析】（1）根据题意可以求得BC的长和∠ACB的度数，从而可以求得∠A的度数；（2）根据（1）中的结果可以求得∠COD的度数，从而可以求得弧CBD的长；（3）根据图形可知，弓形CBD的面积等于扇形CBD与△COD的面积之差，从而可以解答本题．【解答】解：（1）连接BC，BD，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=2，AC=，∴BC=1，∴∠A=30°；（2）连接OC，OD，∵CD⊥AB、AB是直径，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠COD=120°，∴弧CBD的长是：；（3）∵OC=OA=1，∠BOC=60°，∴CP=OC•sin60°=1×=，OP=OC•cos60°=，∴CD=2CP=，∴弓形CBD的面积是：．【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、弧长计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．拓展点三：阴影部分的面积的计算例1.如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．【解答】解：过点O作OD⊥AB，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD==30°，∴OD=OA=×2=1，AD===．∴AB=2AD=2，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB是解答此题的关键．例2.已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．（1）求DE的长；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OE，根据中点的性质出去OD，根据勾股定理求出DE；（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：（1）连接OE，∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm，∴OD=OC=3