第二章直线和圆的方程综合测试（解析版）

第二章直线和圆的方程综合测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2022·江苏·高二）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】直接由斜率的定义判断即可.【详解】由斜率的定义可知，.故选：A．2．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两条直线垂直可求得，结合充要条件的定义即可求出答案.【详解】直线与直线垂直，所以，则，所以是的充要条件.故选：A.3．（2022·江苏·高二）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线的方程为，所以，即直线的斜率，由.所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B4．（2022·江苏·高二）设为实数，若直线与直线平行，则值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】【分析】由两直线平行的条件求解，去除重合的情形即得．【详解】由题意，，时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．故选：A．5．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意圆、相离，则，分别求圆心和半径代入计算．【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径根据题意可得，圆、相离，则，即∴故选：A．6．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而求出最短、最长弦，即可得解；【详解】解：圆，即，圆心为，半径，又，所以过点的最长弦，最短弦，且最短弦与最长弦互相垂直，所以；故选：B7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C的圆心即可求解，由点关于直线对称列出方程即可.【详解】因为圆的圆心为，设关于的对称点，则，解得，即圆C的圆心为，半径为1，所以方程为.故选：C8．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意求出的距离，得到P的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．【详解】由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则，在中，，所以点在圆上，由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.又圆M的半径等于1，圆心坐标，，∴，∴.故选：D.二、多选题9．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（

）A．过原点的任意直线B．C．D．以为圆心且半径超过3的圆【答案】AC【解析】【分析】选项，根据点与圆的位置关系判断；选项，根据点到直线距离判断；C选项，根据圆心距与半径的关系判断.【详解】选项：原点在圆内部，所以过原点的任意直线与圆相交，所以正确；选项：圆心到直线距离，相离，所以B错误；C选项：圆心距，所以两圆相交，所以C正确；选项：时，圆心距，两圆为内含关系，无公共点，所以错误；故选：AC.10．（2022·河北·沧县中学模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，则线段的长度可能为（

）A． B． C．12 D．14【答案】BC【解析】【分析】直线过定点，在圆内，易知直线与垂直时弦长最短，直线过圆心时弦长最长．【详解】直线过圆C内一定点，当直线经过圆C的圆心时，有最大值12；当为线段中点时，有最小值，所以．故选：BC．11．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（

）A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形【答案】BD【解析】【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若，则直线l与圆O相切，若，则直线l与圆O不相切；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C选项，当MO最短时，有最大的张角；对于D选项，考虑能否等于60°.【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=|-4|12对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确；对于C选项，当OM⊥l时，有最大值60°，故C错误；对于D选项，当OM⊥l时，为等边三角形，故D正确.故选：BD.12．（2022·海南中学高三阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作该圆两条互相垂直的弦，线段的中点分别为M，N．则下列结论正确的是（

）A．圆的方程为：B．弦的长度的最大值为C．直线恒过定点D．存在点G，使得为定值【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式及两点之间的距离公式，即可出圆的方程判断A，当AE为直径时，AE最长，即可判断B，由四边形MDNC为矩形，对角线互相平方，即可知MN经过CD中点判断C，由直角三角形斜边上的中线的性质即可判断D.【详解】对于A，设圆心为，圆的半径为，由题设可知，解得，所以，故圆的方程为，故A正确；对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长为圆的直径4，故B错误；对于C，线段AE，BF的中点分别为M，N，如图，所以，又，所以四边形为矩形，所以与互相平分，即过中点，故C正确；对于D，由直角三角形斜边上中线的性质知，存在，使，为定值，故D正确.故选：ACD三、填空题13．（2022·江苏泰州·模拟预测）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：214．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知圆，过点的直线被圆截得的弦长的最小值为_________【答案】【解析】【分析】圆心为，过的弦中与垂直的弦的长度最小，由此计算可得．【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，，与垂直的弦的弦长为，即为所求弦长的最小值．故答案为：．15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．【答案】##【解析】【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【详解】解：由圆，即，可得圆心坐标为，半径为，因为钝角的面积为，可得，解得，因为，所以，可得，设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，根据点到直线的距离公式，解得．故答案为：．16．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为_________.【答案】13【解析】【分析】根据题意求点的方程与边，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即可求出边的高，进而求出面积的最大值.【详解】设点，

，故点的方程为.直线的方程为圆心到直线的距离.设点到边的高为，的最大值为.故答案为：13.四、解答题17．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x-y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．(1)求该圆的方程；(2)若直线x+my-1=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=，求m的值．【答案】(1)(2)0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用题干条件得到方程，求出，从而求出该圆的方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.(1)设圆心为，，则由题意得：，解得：或（舍去），故该圆的方程为(2)圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：18．（2022·江苏·高二）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）（参考数据：，，，）【答案】需要两村共同自筹资金23900元【解析】【分析】建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果.【详解】建立直角坐标系如图所示，则．由，可知，那么点A关于x轴的对称点．连接交x轴于点C．由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短．∵，∴（km），∴铺设管道所需资金为（元），总费用（元）．∴（元）．答：需要两村共同自筹资金23900元．19．（2022·江苏·高二）已知直线l过点，且与x轴、y轴都交于正半轴，求：(1)直线l与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l的方程；(2)直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．【答案】(1)；.(2)；.【解析】【分析】（1）设直线，则，根据基本不等式可求出结果；（2）设直线，则，根据基本不等式可求出结果；(1)设直线，则，所以，得，当且仅当时，等号成立，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积，所以直线l与坐标轴围成面积的最小值为，此时直线，即.(2)设直线，则，所以，当且仅当，时，等号成立.此时直线的方程为：.20．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．【答案】(1)x－2y＋4＝0(2)(3)【解析】【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.(1)将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．(2)设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，解得，故所求方程为．(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．故面积最小的圆的方程为．21．（2022·浙江宁波·高二期末）已知圆：，过圆外一点作圆的两条切线，，，为切点，设为圆上的一个动点.(1)求的取值范围；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出PM，就可以求PQ的范围；(2)使用待定系数法求出切线的方程，再求求切点的坐标，从而可以求切点的连线的方程.(1)如下图所示，因为圆的方程可化为，所以圆心，半径，且，所以，故的取值范围为.(2)可知切线，中至少一条的斜率存在，设为，则此切线为即，由圆心到此切线的距离等于半径，即，得所以两条切线的方程为和，于是由联立方程组得两切点的坐标为和所以故直线的方程为即22．（2022·宁夏·银川二中高一期中）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；(