三次数学危机

前言现代数学思想选讲学生在进入社会以后如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。

----日本数学教育家米山国藏数学思想与数学方法一般说来,称解决某类数学问题的原则为数学思想,而称其解决的途径为数学方法.张奠宙教授认为:“同一个数学思想,当用它去解决别的问题时,就称之为方法.当评价它在数学体系中的自身价值和意义时,就称之为思想.”

有时亦将两者混用或合用,统称为“数学思想方法”.1978年改革开放摸石头过河——“多因素优化”思想华罗庚瞎子爬山法——“多因素无目标函数优化”思想《义务教育数学课程标准（2011年版）》

课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。数学结论、形成过程和数学思想方法的统一知识是基础方法是中介思想才是本源双基基础知识基本技能四基基础知识基本技能基本思想基本活动经验“双基”到“四基”四基之间的关系示意图数学思想是数学学习中最本质的东西下乘者讲数学知识中乘者讲教学技巧上乘者讲数学思想形而上者谓之道形而下者谓之器

——《易经》德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯.劳厄：

“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命！讲课目录第1章基础篇——抽象与推理思想第2章随机篇——概率与统计思想

第3章系统篇——优化与均衡思想

第4章应用篇——模型与化归思想第5章计算篇——逼近与递推思想第一章基础篇

——抽象与推理思想现代数学思想选讲数学抽象与演绎推理是数学最根本的思想真正的知识是来源于感性的经验,通过直观和抽象而得到的,并且这种抽象是不独立于人的思维而存在的。抽象是思维的基础,只有具备了抽象能力，才能从大量感性认识中获得事物(事件或实物)的本质特征,从而上升到理性认识。

——史宁中本章导航第1章基础篇——抽象与推理思想

1.1三次数学危机

1.2抽象代数—对称科学与艺术

1.3现代几何学—流形的科学

1.4泛函分析—无穷维的科学

1.5演绎推理—建立科学理论的数学思想

1.1三次数学危机现代数学思想选讲悖论一般说来,按照公理化思想,某一数学理论的建立都是从一些原始概念和一个公理体系出发,通过抽象和推理而建立起由定义、定理和推论等组成的理论体系.如果某一理论的公理体系和推理原则看上去是合理的,但根据此公理体系及推理原则却推出了两个相互矛盾的命题,或者证明了一个复合命题,它表现为两个互相矛盾命题的等价形式.那么,我们就称此理论包含了一个悖论.1.希帕索斯悖论—

不可通约量的发现与第一次数学危机毕达哥拉斯前580——前500希腊数学的祖师创立集政治、宗教、哲学、数学合一的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派浓厚的宗教色彩组织严密，训练严格，食物简单一切发明归功于学派的领袖，秘而不宣

观点：万物皆数

学派存在两个世纪之久

普鲁塔克的“面积剖分法”abbcc毕达哥拉斯定理（勾股定理）a古希腊人原来认为：

讨论比率与比例，仅限于可公度的量．即：设一个量是公度的p倍，另一个量是公度的q倍，那么两者的比就是p∶q。希帕索斯:正方形的对角线和其一边构成不可公度线段。引出第一次数学危机如果,则有.因此,这个数不能是有理数,即不能表示为

(p、q为整数且无公约数)的形式。如果，则由，有。所以为偶数。即一定为偶数。不妨设有所以也一定为偶数。

但这与之间无公约数相矛盾。因此，不是有理数。

记戴德金分割—

“实数”定义为有理数的分割

有理数的分割示意ABBARR2.贝克莱悖论—

微积分基础不牢与第二次数学危机牛顿莱布尼兹即时速度如果在时刻t,物体的运动距离为S=S(t),且假定在t时刻有一个时间增量△t,物体运动距离的增量为△S,则有S+△S=S(t+△t)△S=S(t+△t)-S(t)在时刻t物体的即时速度定义为△S和△t在趋于0时的两个无穷小的比值(牛顿称之为流数).所谓的“无穷小”,牛顿认为是“要成为0而不是0”的量.

IssacNewton(1642-1727)，英国大物理学家和数学家。1642年，伽利略去世的同年Newton诞生在England的一个农民家庭。

“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。牛顿贝克莱指出：在推导时,先给t一个增量△t(此时△t≠0),于是先设t有一个非0增量△t,然后让△t=0,即t没有增量.此矛盾,被称为贝克莱悖论.引出第二次数学危机为了奠定微积分的基础,必须建立严谨的极限理论.

数学家把包含这一理论的学科称为“数学分析”.

（1）函数

1748年，

欧拉(Euler)重新定义了函数：变量的函数是一个解析表达式,它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的.

1755年，经过抽象,欧拉在《微分学》中给出了更为明确的定义：如果某变量以如下方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前者也随之变化,则称前面的变量是后面变量的函数.变量说1821年，柯西(Cauchy)在《分析教程》中又进一步给出变量的定义：依次取许多不同的数值的量叫做变量.

1851年，狄里克雷(Dirichlet)给出函数的对应说定义：

假定Z是一个变量,如果对它的每一个数值都有未知量W的一个数值与之对应,则称W是Z的函数.对应说1939年，法国的布尔巴基学派给出了更为抽象的“关系说”定义：

设X、Y为两个集合,称

X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}

为集合X与Y的笛卡尔乘积,子集FX×Y称为X×Y上的一个关系.如果(x,y)∈F,则称元素x,y具有关系F,记做xFy.那么函数的“关系说”定义:

如果定义在X×Y上的关系F满足,对于每一个x∈X都存在唯一y∈Y,使得(x,y)∈F成立,则称F为函数.关系说（2）极限

1821年，柯西在《分析教程》中给出变量的极限的明确定义：

一个变量逐次所取得的值无限趋向一个固定值,使得所取的值与该定值的距离要多小就有多小.那么,就称这个定值为所以有其他值的极限

.数列极限的“ε-N

”

定义：

定义1.1

对于数列{an}

和数值a,如果对于任意的ε>0,均存在某个自然数N,

使得当n>N时,有

|an-a|<ε,

那么称数列an是收敛的,并称数a为an的极限,记做

（3）无穷小量

无穷小量是一个变量α,如果依次取值为α1，α2，…αn，…

且满足

则称α是一个无穷小量.

由极限还可定义所谓的“高阶”无穷小量.（4）函数极限“ε-δ

”

定义

定义1.2设f(x)在x0的某邻域内有定义,A为一个固定数值.

如果对于任意的ε>0,均存在一个δ>0,

使得当0<|x-x0|<δ时,有

|f(x)-A|<ε,

那么称当x趋于x0时,f(x)以A为极限,

记做

（5）导数和微分

设y=f(x)表示一个函数,对于给定的点x0,如果下面的极限

存在,记为,则称函数f(x)在点x0处可导,

称为f(x)在点x0处的导数.

如果f(x)在区间(a,b)内的每一点均可导,则称为f(x)的导函数.函数f(x)在点x处可微分就是在局部将其看成线性函数。3.罗素悖论—

集合概念内涵不清与第三次数学危机康托如何定义无限集合以及如何比较两个无限集合的大小？康托定义了“一一对应关系”:

如果在集合A和集合B之间存在一种关系,使得对于A中的任意元素a都存在集合B中的唯一元素b与之对应;反过来,对于集合B中的任意元素b,都存在A中的唯一元素a与之对应,则称集合A,B之间存在一一对应关系,并称A与B对等,记为A~B.有理数集R与正整数集Z之间存在一一对应关系

.在对等关系的基础上,康托又给出了两个集合大小的定义:

如果集合A能与集合B的一部分对等,但集合B不能与A或A的一部分对等的话,那么集合B就大于集合A.无限集:可以和自己的某一部分建立一一对应关系的集合叫做无限集.康托称一个集合的大小为这个集合的基数.因此在这个意义下,两个集合对等当且仅当它们的基数相等.有限集的基数是自然数,无限集的基数为超限数.记正整数集合Z+的基数为,读作“阿列夫零”.凡是与N+对等的集合都称为可数集,意思是说能够将这些元素逐一地数出来.全体实数构成的集合R被称为“连续统”,记R的基数为(读作“阿列夫壹”)或c.连续统假设：在可数集N+的基数与连续统R的基数之间不存在中间基数.罗素理发师悖论在一个村庄里有一位理发师,他给自己立了一个规定:他只给村子里不自己刮胡子的人刮胡子.于是产生一个问题,他给不给自己刮胡子?引出第三次数学危机策墨罗德国数学家策墨罗(Zermelo)发现问题出在康托集合论中根据概括原则肯定的“造集任意性”上