数学文化数学猜想与数学名题

数学文化数学猜想与数学名题第一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日一、希尔伯特的23个问题希尔伯特（德国，1862—1943年）是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远。那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。第二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日第三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用。第四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日希尔伯特的23个问题1.证明“连续统假设”，即证明“可数基数”与“连续统基数”之间不存在任何基数。2.研究算术公理的相容性。(S)

3.两个等底等高的四面体的体积相等。(S)

4.直线作为两点间最短距离的问题。（P）第五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要定义群的函数的可微性假设。(S)

6.物理学的公理化。(P)7.某些数的无理性和超越性。(P)8.素数问题。(P)9.在任意数域中证明最一般的互反定律。(S)10.丢番图方程的可解性。(F)11.系数为任意代数数的二次型。(P)第六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。(P)13.不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程。(W)14.证明某类完全函数系的有限性。(F)15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。(W)16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。(P,W)第七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日17.正定形式的平方和表示。(S)18.用全等多面体构造空间。(P)19.正则变分问题的解一定是解析的吗？(P)20.一般边值问题。(P)21.具有指定单值群的线性微分方程解的存在性证明。(S)22.通过自守函数使解析关系单值化。(P)23.变分法的进一步发展。(P)第八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日适当的问题对科学发展的价值

1．有问题的学科才有生命力

问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。

数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽罗瓦理论；代数不变量理论。第九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

2．提出问题是解决问题的一半问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的。要想预先判断一个问题的价值是困难的。问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题”。第十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

3．“好的问题”的标准希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。1）清晰易懂:“一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。”2）难而又可解决3）对学科发展有重大推动意义问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。第十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日“好的问题”举例费马大定理五次方程根式解最速降线问题三体问题第十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日“希尔伯特问题”解决的现状

经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。第十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。

第十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日解决著名猜想的人很牛！提出这些猜想的人更牛！如此集中地提出一批猜想，并持久地影响了一门学科的发展，史无前例！第十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题。但由于20世纪数学的分支越来越细，已没人能像当年的Hilbert那样涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数学家小组，并且已经付诸行动。新世纪的数学难题：七个由美国克雷数学研究所(ClayMathematicsInstitute,CMI)于2000年5月24日公布的数学难题，称为千禧难题。但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题，而不是要去指导数学。第十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美的。一些评论者认为，其局限性是，希尔伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数学。第十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日希尔伯特其人希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的人品。第十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

1．第一次世界大战时拒绝在“宣言”上签字在第一次世界大战爆发时，德国政府让它的一批最著名的科学家和艺术家出来发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇帝威廉二世。“宣言”的第一句是：“说德国人发动了战争，这不是事实”。第十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

“宣言”的题目是《告文明世界》，邀请了一批知名人士签字。数学家中只邀请了世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用不变量观点统一几何学的那位数学家克莱因，未有什么怀疑就签了名。但希尔伯特仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言”内容的真实性，从而拒绝签字。第二十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

在宣言上签字的，除了克莱因，还有德国的另一些著名的科学家，如普朗克，伦琴等。这份1914年10月15日发表的“宣言”，使文明世界震惊：那些素来受人尊敬的科学家们怎么会同意在这样一份欺骗文明世界的“宣言”上签字？第二十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

希尔伯特拒绝签字，也特别引人注目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当1914年11月开学时，许多学生不再来听希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同行理解和同情他。克莱因也很快就后悔自己的所谓“爱国”行动。当时世界上最著名的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特则更加受到尊重。第二十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

2．为法国数学家达布写悼念文章“达布上和”、“达布下和”，在定积分理论中为大家所熟知。达布是法国人，而当时法国是与德国交战的敌国。所以1917年达布逝世时，德国人不敢悼念他。而希尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇悼念文章。第二十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家”的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。希尔伯特一生只写过四篇悼念文章，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。第二十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日苹果树下散步者希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接下来的一个学期，本来可以允许他再转到柏林去听课，但他念家，于是他又回到了哥尼斯堡大学．1882年春天，赫尔曼•闵可夫斯基从柏林学习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大学．闵可夫斯基从小就数学才能出众，据说有一次上数学课，老师因把问题理解错了而“挂了黑板”，同学们异口同声叫道：“闽可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时，他因为出色的数学工作曾得到过一笔奖金．这件事轰动了整个哥尼斯堡．希尔伯特的父亲因此曾告诫自己的儿子不要冒冒失失地去和“这样知名的人”交朋友．但由于对数学的热爱和共同的信念，希尔伯特和比他小两岁的闽可夫斯基很快成了好朋友．第二十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1884年春天，25岁的阿道夫•赫尔维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，他在函数论方面已有出色的研究成果．希尔伯特和闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系．三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果树下散步．希尔伯特回忆道：“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换对问题新近题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划．”第二十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日在他们三人中，赫维尔茨有着“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以理所当然的是带头人。但后来者居上。当时希尔伯特发现，这种学习方法比钻在教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍！这种例行的散步一直持续了整整八年半之久．以有趣的学习方式，他们探索了数学的“每一个角落”，考察着数学世界的每一个王国。希尔伯特回忆道：“那时从没有想到我们竟会把自己带到那么远！”三个人就这样“结成了终身的友谊．”第二十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

3．对康托集合论的支持

康托的集合论打出实无限的旗帜，遭到另一些持潜无限观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给予支持，这表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。第二十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日二、费马（Fermat）大定理费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图《算术》时作为一条页边批注而提出。1670年费马之子连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最著名的数学问题，历代数学家为它的证明付出了巨大努力.1994年,这一旷世难题终于被英国数学家威尔斯（A.Wi1es）解决。旷日持久的努力，不仅解决了猜想本身，更是有力地推动了数论乃至整个数学的进步。第二十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日业余数学家之王费尔玛(Fermat,1601—1665),法国人，职业是议员。他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称為“业余数学家之王”费马凭借丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想。第三十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费尔马小猜想

1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一个有趣的现象：

当n=1时，22n+1=221+1=5；当n=2时，22n+1=222+1=17；当n=3时，22n+1=223+1=257；当n=4时，22n+1=224+1=65537；猜测：只要n是自然数，22n+1一定是质数

1732年，欧拉进行了否定

第三十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马小定理如果P是一个质数，那么对于任何自然数n，nP-n一定能够被P整除这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为“费马小定理”利用费马小定理，是目前最有效的鉴定质数的方法

第三十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日PierredeFermat1601-1665第三十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日第三十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日Cubemauteminduoscubos,autquadratoquadratuminduosquadratoquadratos,etgeneraliternullamininfinitumultraquadratumpotestateminduoseiusdemnominisfasestdividere;Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexhancmarginisexiguitasnoncaparet.对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。第三十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日xn+yn=zn,(n>2)无整数解（1637年）这是真的（1994年）第三十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马大定理产生的历史性背景

费尔马大定理，启源于两千多年前，挑战人类三个多世纪，多次震惊全世界，耗尽人类最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷古希腊,丢番图《算术》第II卷第八命题：

“将一个平方数分为两个平方数”即求方程x2+y2=z2

的正整数解

第三十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日PythagorasofSamosB.C.572–B.C.497毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。x2+y2=z2

万物皆数第三十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日上帝恩赐他生命的1/6为童年；再过生命的1/12，他双颊长出了胡子；再过1/7后他举行了婚礼；婚后5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，4年之后亦撒手人寰。—丢番图的墓志铭L=84DiophantusofAlexandriaB.C150-A.D.364不定方程:

是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。第三十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日（1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？

因为费马曾经提出过的命题，都已经被证实或否定，只剩下这一题，未能获证。

因为经过三百多年，都没有人能作出反例，所以人们相信是它是正确的，是一个定理。（2）费马提出这命题后三十年才去世，为什么会把这个命题做“费马最后定理”呢？

两个问题

第四十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日n

=4的证明费马在给朋友的信中，曾经提及他已证明了n=4的情况。但没有写出详细的证明步骤1674年，贝西在少量提示下，给出这个情形的证明证明步骤主要使用了“无穷递降法”第四十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日再进一步欧拉1770年提出n=3的证明xn+yn=zn，当n=3,4时无整数解第四十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日LeonhardEuler,1707-1783欧拉的策略：证明某结论对于简单情形成立，再证明任何使情形复杂化的操作都将继续保持该结论的正确性。第四十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日若xk+yk=zk

无正整数解，则xmk+ymk=zmk也无正整数解。为证明费马大定理对n的一切值成立，我们仅仅需要证明它在n

取素数值时成立。数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的“原子”。素数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个素数相乘而得。第四十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日n=5的证明勒让德

Legendre(1752-1833)狄利克雷

Dirichlet(1805-1859)法国人1823年，证明了

n=5德国人1828年，独立证明了

n=51832年，解决了

n=14的情况第四十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日索非▪热尔曼,法国数学家热尔曼素数：使2p+1为素数的那些素数p热尔曼定理：当p和2p+1皆为素数时xp+yp=zp无整数解热尔曼初步完成了

n=5的证明新的方向SophieGermain1770-1831第四十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日n=7的证明拉梅

GabrielLamé

(1795-1870)法国人1839年，证明了n=7第四十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日3月1日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理”：拉梅将x

n+y

n分解成(x+y)(x+

y)(x+2y)…(x+n-1y)其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程

r

n=1的复根如果x

n+y

n=z

n，那么拉梅认为每一个(x+ky)都会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾但是，拉梅的好友刘维尔Liouville指出，拉梅的证明中有很大的漏洞拉梅忽略了“唯一分解定理”的考虑第四十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日同时，柯西（Cauchy）亦宣布他早已取得“费马最后定理”的初步证明3月22日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证明。不过，对于“唯一分解定理”的问题，二人都未能成功地解决。5月24日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指出“唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示，拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。第四十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日“唯一分解定理”在一般的整数中，每一个合成数都只可能被分解成一种“质因数连乘式”但在某些“复整数”中，情况未必相同例如：第五十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日ErnstKummer1810-1893德国数学家E·库莫尔1847年他证明了对于小于100的除了37，59和67这三个所谓非正则素数以外，费马大定理成立。为了重建唯一分解定理，库默尔在1844-1847年间创立了理想数理论。1857年，库麦尔获巴黎科学院颁发奖金三千法郎突破性的进展第五十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日悬赏十万马克德国的沃尔夫斯克勒Wolfskehl(1856-1908)订立遗嘱，悬赏十万马克，奖赏在他死后一百年内能证明“费马最后定理”的人在最后时刻挽救自杀

德国商人，学习医学，1883年跟库麦尔学习第五十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日DavidHilbert,1862-1943

“费马猜想是一只会下金蛋的鸡”。

“证明这种不可能性的尝试，提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊、似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响”。

第五十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日无数英雄尽折腰1941年，雷麦证明当n〈253747887时

，“费马最后定理”的第一种情况成立。1977年，瓦格斯塔夫证明当n<125000时，“费马最后定理”成立。第五十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日无数英雄尽折腰1983年德国数学家G.法尔廷斯证明：对于每一个大于2的指数n，方程xn+yn=zn

至多有有限多个解。赢得1986年的菲尔兹奖1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分几何的角度，证明了“费马最后定理”！不过，该证明后来被发现有重大而无法补救的缺陷，证明不成立！第五十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日RobertLanglands1936.10.06-“朗兰兹纲领”，是美国数学家罗伯特·朗兰兹在20世纪70年代提出的。“朗兰兹纲领”是对数论领域中重大难题的一个系统研究计划和纲领。

第五十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题之间存在着的统一的连接的环链。在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。第五十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马大定理的解决费马大定理被彻底征服的途径涉及到的领域让所有前人出乎意外，最后的攻坚路线跟费马本人、欧拉和库莫尔等人的完全不同，他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论、模形式理论、伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论。

第五十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日谷山—志村猜想谷山丰(1927-1958)志村五郎（生于1926）第五十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1954年，志村五郎于东京大学结识谷山丰。之后，就开始了二人对“模形式”的研究。1955年，谷山开始提出他的惊人猜想。1958年，谷山突然自杀身亡。其后，志村继续谷山的研究，并提出以下猜想：谷山—志村猜想

每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。谷山—志村猜想第六十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日法国数学家，发明“自守函数”庞加莱Poincaré(1854-1912)

所谓“自守函数”，就是周期函数的推广，而“模形式”可以理解为在复平面上的某种周期函数“模形式”的起源第六十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日起初，大多数数学家都不相信“谷山志村猜想”60年代后期，众多数学家反复地检验该猜想，既未能证实，亦未能否定它。到了70年代，相信“谷山志村猜想”的人越来越多，甚至以假定“谷山志村猜想”成立的前提下进行论证。第六十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日“谷山志村猜想”与“费马最后定理”的关系德国数学家弗赖（GerhandFrey）弗赖曲线（猜想）1984年秋，弗赖提出以下的观点：如果“费马最后定理”不成立，那么“谷山志村猜想”也是错的！第六十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马最后定理弗赖曲线谷山志村猜想错假如错第六十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马最后定理弗赖曲线谷山志村猜想错假如对对第六十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日再换句话说，如果“谷山志村猜想”正确，那么“费马最后定理”就必定成立！可惜的是弗赖在1984年的证明中出现了错误，他的结果未获承认。因此只能称之为“猜想”第六十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日美国数学家里贝特经过多番尝试后，终于在1986年的夏天成功地证得以下结果：如果“谷山志村猜想”对每一个半稳定椭圆曲线都成立，则费马最后定理成立。里贝特（KennethRibet）第六十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日里贝特的工作使得费马大定理不可摆脱地与谷山志村猜想联结在了一起，三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。现在，重新回到台前。17世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在了一起，一个在历史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结在了一起。

第六十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日怀尔斯AndrewWiles英国人，出生于1953年10岁已立志要证明“费马最后定理”1975年，开始在剑桥大学进行研究，专攻椭圆曲线及岩泽理论在取得博士学位后，就转到美国的普林斯顿大学继续研究工作第六十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日秘密计算1986年，当里贝特提出猜想后，怀尔斯就决心要证明“谷山志村猜想”由於不想被别人骚扰，怀尔斯决定秘密地进行此证明经过三年的努力，他开始引入“伽罗瓦表示论”来处理将“椭圆曲线”的分类问题第七十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马最后定理谷山志村猜想椭圆曲线可模形化伽罗瓦

表示论水平

岩泽理论类数公式=?到了1991年，怀尔斯发觉无法以「水平岩泽理论」完成「类数公式」的计算在一个数学会议中，他得到了一个新的计算方法。第七十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马最后定理谷山志村猜想椭圆曲线可模形化伽罗瓦

表示论水平

岩泽理论类数公式=怀尔斯将此方法改造后，成功地解决了有关问题科利瓦金弗莱契第七十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日剑桥演讲1993年6月23日，在剑桥大学的牛顿研究所，怀尔斯以“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦表示论”为题，发表了他对“谷山志村猜想”（即“费马最后定理”）的证明演讲非常成功，“费马最后定理”已被证实的消息，很快便传遍世界第七十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日噩梦开始！演讲会过后，怀尔斯将长达二百多页的证明送给数论专家审阅起初，只发现稿件中的有些细微的打印错误但是同年9月，证明被发现出现了问题，尤其是“科利瓦金—弗莱契方法”，并未能对所有情况生效！怀尔斯以为此问题很快便可以修正过来，但结果都失败！怀尔斯已失败的传闻，不径而走。同年12月，怀尔斯发出了以下的一份电子邮件：第七十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日标题：费马状况日期：1993年12月4日对于我在谷山志村猜想和费马最后定理方面的种种推测，我要作一个简短的说明。在审查过程中，我们发现了许多问题，其中大部分已经解决，只剩一个问题仍然存在……。我相信不久后，我就能用在剑桥演讲中说明的概念解决它。基于尚有许多工作未能完成，所以目前不适宜发送预印本。……我将对这工作给出一个详细的说明。安德鲁.怀尔斯第七十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日再次闭关1994年1月，怀尔斯重新研究他的证明。但到了同年9月，依然没有任何进展。其间，不断有数学家要求怀尔斯公开他的计算方法。更有人怀疑：既然过去都无法证明“费马最后定理”，到底现在又能否证实“谷山志村猜想”呢？但在9月19日的早上，当怀尔斯打算放弃并作最后一次检视“科利瓦金—弗莱契方法”时，……第七十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马最后定理谷山志村猜想椭圆曲线可模形化伽罗瓦

表示论水平

岩泽理论类数公式=科利瓦金弗莱契成功！怀尔斯发现，只要配合使用“岩泽理论”，就可以解决目前的问题！经过八年的努力，怀尔斯终于证实了“谷山志村猜想”和“费马最后定理”！第七十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1995年5月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志《数学年鉴》中发表最后胜利第七十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1996年怀尔斯获，美国国家科学院奖，菲尔兹特别奖1997年怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖第七十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日第八十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日费马大定理只是千千万万个丢番图方程中的一个，其它许许多多丢番图问题并未解决，或者并没有彻底解决，而这些方程仍将成为数学继续前进的动力.费马大定理引出的代数数论已经成为一门独立的前沿学科，它经历过代数数理论、类域论、局部理论、非阿贝尔理论，现在已汇入伟大的朗兰兹纲领的框架之中，与许多学科，如代数K理论，群表示等密切相关。另外，它的一些原始问题如类数的计算仍是令人头痛的事。

第八十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日代数数论与代数几何已密不可分，特别是韦依猜想证明之后，这种关系越发密切，有一些统一的猜想，如贝林森猜想等正等待大手笔的解决。

代数曲线论仍有一些遗留问题，特别是椭圆曲线的三大猜想仍然迫在眉睫，但人们已经开始向代数曲线进军了。代数曲面问题很难，但是这条路肯定要走。

第八十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日三、哥德巴赫（Goldbach）猜想数学是自然科学的皇后；数论是皇后的王冠；“哥德巴赫猜想”则是皇后王冠上的明珠！中国数学家做出了最好的成绩；华罗庚，陈景润、王元、潘承洞…..徐迟，1978年发表在《人民文学》第一期的报告文学《哥德巴赫猜想》，报告着科学的春天的到来！第八十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日华罗庚，陈景润王元陈景润潘承洞邓小平接见陈景润华罗庚，潘承洞第八十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日Goldbach(德国数学家，1690-1764)1725定居俄罗斯，圣彼得堡帝国科学院院士，1728年，彼得二世的宫廷教师。1742年在与好友欧拉的通信中提出了两个有关正整数和素数的命题；其中，第二个问题很容易由第一个推得。而第一个问题就是著名的哥德巴赫猜想！第八十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；1+1

2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。

歌德巴赫的两个问题：叙述如此简单，连小学生都能明白，但至今没有完全解决，最好的结果1+2属于陈景润！第八十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日验证工作:

6=3+3,8=3+5,

10=5+5=3+7,

12=5+7,

14=7+7=3+11,

16=5+11,18=5+13,……等等，直到330000000的偶数都对，但欧拉等人也都无法证明！

Hilbert23个问题的第8个第八十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛法证明，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为（9+9）。第八十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

布朗筛法的思路是这样的：

任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数。2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和：

2n=1+(2n-1)

=2+(2n-2)

=3+(2n-3)

=…

=n+n第八十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日再筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，并且p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。第九十页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。

第九十一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日在陈景润之前，关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s+t”问题)之进展情况如下:

第九十二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3+4”。

1957年，中国的王元先后证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。

第九十三页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。

陈景润的工作发表时，英国数学家哈伯斯坦和德国数学家黎希特的著作《筛法》正在印刷厂校印，他们立即暂停付印，并在书里把陈景润的结果写为第十一章：陈氏定理，并荣誉之为筛法的顶峰！第九十四页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日徐迟的报告文学陈景润的成就伴随徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》走入了1978年科学的春天，走进了千家万户！陈景润成了家喻户晓的明星，成了科学家和年轻人攀登科学高峰的楷模！第九十五页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日全国科学大会第九十六页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

北京解放军309医院由昆被称为“痴人”和“怪人”的数字家陈景润有了一个温暖的家。第九十七页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

1984年4月27日，陈景润在横过马路时，被一辆急驶而来的自行车撞倒，后脑着地，酿成意外的重伤。雪上加霜，身体本来就不大好的陈景润，受到了几乎致命的创伤。他从医院里出来，苍白的脸上，有时泛着让人忧郁的青灰色，不久，终于诱发了帕金森氏综合症。

第九十八页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

1996年3月19日，著名数学家陈景润因病长期住院，经抢救无效逝世，终年63岁。第九十九页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日第一百页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日四、四色问题

四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。第一百零一页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日

德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。

第一百零二页，共一百一十三页，编辑于2023年，星期日但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一