2023学年完整公开课版奇偶性

函数的奇偶性观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0x-3-2-10123f(x)=x212345y12x－33－2－10x-3-2-10123g(x)=|x|94104932101231-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4

f(-1)=(-1)2=1f(1)=1对于函数f(x)=x2你能否推广到一个一般的结论,并证明呢？思考：请大家不看课本自己尝试着从代数的角度来给偶函数下个定义.偶函数定义:

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.对于函数f(x)=x3-xx对于函数f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8

f(-x)=(-x)3=-x3f(x)=x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值互为相反数,即f(-x)=-f(x)偶函数定义:

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.函数奇偶性的定义:思考：对比函数的单调性，函数的奇偶性是局部性质还是整体性质？

(1).f(x)=x3x∈[1,3](2).f(x)=x2x∈[-1,3]f(x)为非奇非偶函数f(x)为非奇非偶函数ox-13y判断下列函数的奇偶性ox1y3

定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

由上面两个例子大家能否发现什么？对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？若f(－2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数．若f(－2)≠

f(2)，则函数f(x)不是偶函数．若函数f(x)是奇函数，f(－1)=5，则f(1)=------．×√-5对于奇、偶函数定义的几点说明:(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数,则函数f(x)具有奇偶性。（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（4）偶函数的图象关于y轴对称奇函数的图象关于原点对称（2）奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中每一个x都有f(-x)=f(x)或

f(-x)=-f(x)才能说是偶函数或奇函数；对于奇、偶函数定义的几点说明:（5）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（6）奇函数在x=0处有定义，f(0)=0xyO2－2根据下列函数图象，判断函数的奇偶性-1-110xy-1-110xy-1-110xy奇函数偶函数偶函数图象法12例1、证明函数的奇偶性。请大家总结证明函数奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵判断f(－x)与f(x)的关系

。☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:解：1-x2≥0|x+2|≠2-1≦x≦1x≠0且x≠-4-1≦x≦1且x≠0∴定义域为[-1,0)∪(0,1]√1-x2∴f(x)=(x+2)-2∵f(-x)=√1-(-x)2-x√1-x2x-=即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数.例2.证明函数f(x)=的奇偶性。|x+2|-2√1-x2√1-x2x=1、判断下列函数是否具有奇偶性：

课堂练习：按照奇偶性不同，函数可以分为多少种？小结收获：请你回顾一下本节课研究什么内容，从哪些角度去研究，用到了哪些什么思想方法。1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f