测量平差 第三章

第三章协方差传播律与权在实际工作中，经常间接测量某些量，待求量通过间接测量的方程式获得。通过测量获得量的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y的数值。本章将要讨论的问题是：测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据的测量误差，现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？阐述这种关系的公式称为协方差传播律。测量平差第三章一．常见问题举例1．如图，观测了一个三角形的三个内角L1,L2,L3.将其闭合差ω平均分配后的各角的平差值为：ABCL2L1L3即：平差值是对过观测值计算得到的，如果已知观测值的中误差，怎么求平差值中误差？测量平差第三章ABCL2L1α02．如图，在侧方交会中，已知A，B两点的坐标(XA,YA)和(XB,YB)，它们之间的距离为S0，坐标方位角为α0，由交会的观测角L1,L2求交会点的坐标：XC,YC的中误差与L1,L2的中误差之间的关系是什么？测量平差第三章二．本章将要阐述的问题数学期望和协方差的基本概念；协方差传播律的一般公式；权、权阵、协因数阵；协因数传播律。测量平差第三章§3-1数学期望的传播

数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义式为：测量平差第三章数学期望的传播规律：常数c的数学期望为E（c）=c随机变量X乘以常数c，则有

随机变量之和的数学期望为

相互独立的随机变量之积的数学期望为：

测量平差第三章§3-2协方差传播律

从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误差的关系。一、观测值线性函数的方差设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：

测量平差第三章测量平差第三章设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？式中K为系数阵，K0为常数。根据方差的定义得：测量平差第三章上式的纯量形式为：当向量中的各分量两两独立时，它们之间的互协方差为０，以上三式称为：协方差传播律。测量平差第三章

例1:设，已知，求的方差。例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长度最多可达几公里?测量平差第三章例3：设在测站A上（如图），已知∠ABC=α，设无误差，而观测角β1和β2的中误差为σ1＝σ2＝1.4秒，协方差σ1２＝－1秒，就角x的中误差σx测量平差第三章测量平差第三章测量平差第三章二、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测向量n维X，其数学期望和协方差阵已知：测量平差第三章若有X的t个函数：测量平差第三章若有X的r个函数：可得：测量平差第三章Y关于Z的互协方差阵：测量平差第三章例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求测量平差第三章三、非线性函数的情况设有观测值X的非线性函数：已知：测量平差第三章将Z按台劳级数在X0处展开：测量平差第三章测量平差第三章例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。ABPmssmump测量平差第三章协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化应用协方差传播律测量平差第三章a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-1§3-3协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度测量平差第三章

设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同,其方差均为

,则具有N个测站的水准路线的总高差为

在平坦地区的水准测量中,每公里的测站数大致相等,

因此,

每公里观测高差的方差相等,

设其均为

,

则S公里观测高差的方差和中误差分别为

其估值公式为

测量平差第三章例题

水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm,则该水准路线长度不应超过多少公里？

解：由公式

可得

答：该水准路线长度不应超过36公里。

测量平差第三章同精度独立观测算数平均值的精度

设l1,l2,…,ln为一组等精度的独立观测值(方差均为σ2),其算术平均值为

应用协方差传播公式得

测量平差第三章

例题

已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少应测多少测回？

解：由公式

可得

答：至少应测9测回测量平差第三章三、若干独立误差的联合影响设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差为

由协方差传播律可得：

即,观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。

测量平差第三章四、平面控制点的点位精度

如下图所示导线,A为已知点,

α0为AB方向的方位角,β为观测角,其方差为±4.0(″)2,观测边长S为600.00m,其方差为0.5cm2,试求C点的点位方差。

测量平差第三章解法一（1）、列函数式,由图知:

（2）、线性化

（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式（4）.计算点位方差

测量平差第三章解法二由C点纵、横向方差求点位方差

如图AC边上边长方差称为纵向方差,而在它的垂直方向的方差称为横向方差。

横向方差是由AC边的坐标方位角α的方差引起的,由图知

点位方差为测量平差第三章§3-４权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。测量平差第三章3.权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。4.只要事先给定一定的条件，就可以定权。测量平差第三章二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权或测量平差第三章2、边角定权测量平差第三章§3-5协因数及其传播律一、协因数的定义观测值Li和Lj的协因数（权倒数），Li与Lj的协因数与相关权倒数分别定义如下：权是一种比较观测值之间精度高低的指标，与前述协方差传播律相似，也存在根据观测值的权来求观测值函数的权的问题测量平差第三章显然有：观测向量X(n维)和Y(r维)的方差阵、互协方差阵与协因数阵、互协因数阵的关系：测量平差第三章二、协因数传播律由协方差传播律得：测量平差第三章即：这就是观测值的协因数阵与其线性函数的协因数阵的关系式，通常称之为协因数传播律，又称为权逆阵传播律。通常将协方差传播律与协因数传播律合称为广义传播律。对于非线性的函数，与协方差传播律一样，首先要对非线性的方程进行线性化，然后再运用传播律。测量平差第三章§3-6由真误差计算中误差

一定的测量条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的方差。在实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。观测值的绝对精度——中误差是无法事先确定的，只是可以根据一定的测量条件，知道观测值的相对精度——权。按照某种平差原则平差后得到的平差值，其绝对精度也是无法直接确定，但可以通过协因数传播定律得到它的协因数。而某一个量的协因数和它的方差只是相差一个比例常数－单位权方差，因此确定单位权中误差就成为了一个重要的环节。测量平差第三章其中分别是观测值向量的真误差向量、自协方差阵、权阵和自协因素阵（权逆阵）。并设是单位权方差，则它们存在如下关系：一、单位权方差和真误差的理论关系组成的向量是、

设有一系列观测值测量平差第三章这样有上式两边取矩阵的迹，有因为测量平差第三章所以其估值公式是当各观测值相互独立时，则有当各观测值是独立等精度观测时，其权可视为1，则有测量平差第三章１、由三角形闭合差求测角中误差——菲列罗公式

三角形三个内角和的真值为180°。设等精度观测了三角网中各三角形的各个内角αi、βi、γi，求得每个三角形的闭合差ωi，即二、由真误差计算中误差的实际应用三角形内角和的中误差为测量平差第三章于是，得测角中误差为

这就是由三角形闭合差计算的测角中误差公式，由德国测量学家菲列罗所创，所以称为“菲列罗公式”。在三角测量中，常用它来初步评定测量的精度。测量平差第三章在测量工作中，对一些量观测两次（如距离测量时进行往测与返测），这种观测称为双次观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。2、用同精度双次观测列差值求观测值中误差对同一个量两次观测值的差，设为di，则有

式中，n为双次观测的个数。上式是计算双次观测差值的中误差公式测量平差第三章为单个观测值的中误差。

观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即

根据中误差传播定律，平均值的中误差应为测量平差第三章前几节所讨论的问题，是以观测值只是含有偶然误