第07讲基本不等式及其应用（2大考点4种解题方法）（解析版）

第07讲基本不等式及其应用（2大考点4种解题方法）考点考点考向一、平均值不等式：变式：推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数，它们的关系是：，当且仅当时等号成立。二、三角不等式如果是实数，则注：当为复数或向量时结论也成立.推论1：推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.考点考点精讲考点一：平均值不等式及其应用题型一：简单基本不等式问题一、单选题1．（2021·上海·高一专题练习）若0<a<b，则下列不等式一定成立的是（

）A．b>>a> B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>【答案】C【分析】利用不等式的性质结合基本不等式进行判断【详解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>.故b>>>.故选：C2．如果正数满足，那么（），且等号成立时的取值唯一（B），且等号成立时的取值唯一（C），且等号成立时的取值不唯一（D），且等号成立时的取值不唯一【答案】A3．设a>0，b>0则下列不等式中不成立的是（）A．a+b+≥2B(a+b)(+)≥4C≥a+bD≥【答案】D，A,B显然满足，而C中，二、填空题4．（2020·上海·高一专题练习）设，，，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号)①；②；③．【答案】①③【分析】利用不等式性质可判断①；将平方展开再结合已知条件和①可判断②；将两边平方再展开结合①可判断③，进而可得正确答案.【详解】对于①：，所以，当且仅当时等号成立，故①正确；对于②：，所以，当且仅当时等号成立，故②不正确；对于③：，所以，当且仅当时等号成立，故③正确；故答案为：①③.三、解答题5．已知正数满足，求的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。的最小值为【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，当时，即，取得最小值。题型二：不等式的最值问题一、单选题1．（2021·上海市崇明中学高一期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为故选：D二、填空题2．（位育中学高一期中）若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【答案】【分析】对x2＋y2＋xy＝1进行变形，利用基本不等式求解最值.【详解】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤∴，∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立.故答案为：3．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知，则的最小值为___________.【答案】【分析】先将原等式转化，再利用重要不等式，即可求出的最小值.【详解】，，，当且仅当时等号成立.，的最小值为.故答案为：4．（2021·上海·上外附中高一期中）设，则的最小值是___________.【答案】4【分析】先对化简得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】当且仅当，即，时等号成立.故答案为：45．（2020·上海·高一单元测试）当时，的最小值为______．【答案】【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.6．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知正数满足，则的最小值为__________.【答案】9【分析】将展开，再利用基本不等式求解即可.【详解】解：.当且仅当，即时等号成立.故答案为：9.7．（2020·上海·古美高中高一期中）已知，则的最大值是___________.【答案】【分析】将代数式变形为，然后利用基本不等式可求出的最大值.【详解】由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此的最大值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求积的最大值，解题的关键就是对代数式进行配凑，利用“积定和小，和定积大”的思想进行求解，考查计算能力，属于中等题.8．（2021·上海·高一专题练习）设，已知，则的最小值为__________.【答案】32【分析】将变为，然后利用平方平均数与调和平均数的大小关系求得的最小值.【详解】即，所以由得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.9．（2021·上海·高一专题练习）设，且，则的最小值是__________.【答案】3【分析】将适当分拆后利用三元均值不等式求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.所以的最小值3，故答案为：3.10．（2020·上海·高一专题练习）若为正常数且，则实数的取值范围_________.【答案】【分析】利用基本不等式求得的最小值，可得结论．【详解】因为为正常数且，所以，当且仅当，即时等号成立．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的条件是一正二定三相等，即两个变量（或式子）为正数，积为定值，则和有最小值，和为定值，则积有最大值，但最值是在两个变量能相等的情况下才能取得，否则取不到这个最值．题型三：基本不等式的应用一、单选题1．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知x、y、z是互不相等的正数，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】首先证明、、三个值中不可能都大于，然后举例判断即可【详解】首先证明、、三个值中不可能都大于，假设、、三个值中都大于，因为x、y、z是互不相等的正数，且，由，可得，同理可得，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，同理可得，所以，而，所以假设错误，所以、、三个值中不可能都大于，取，则，，，所以这3个数中有两个大于，所以大于的个数的最大值是2，故选：C2．（2021·上海·南洋中学高一期中）若，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法判断A，利用不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，利用绝对值的概念判断D.【详解】∵，，故A正确；由得，故B正确；∵，∴，故C错误；∵，∴，故D正确.故选：C.二、填空题3．（2022·上海交大附中高一期末）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.【答案】[1,13]【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].4．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）若一个直角三角形的面积为，则此三角形周长的最小值是________.【答案】【分析】设两条直角边长分别为、，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.【详解】设两条直角边长分别为、，则该直角三角形的周长为，当且仅当时，即当时，等号成立.故答案为：.5．（2021·上海中学高一期中）已知，，均为正数，则的最大值为______．【答案】【分析】先利用基本不等式判断出，即可求出的最大值.【详解】因为，（当且仅当时取等号）．所以，所以，的最大值为.故答案为：.三、解答题6．（2022·上海·曹杨二中高一期末）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；(2)若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．【答案】(1)物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；(2)当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L.【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解；（2）求出，再利用基本不等式判断求解.(1)解：当时，由题得，解之得；当时，由题得，解之得；所以.所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.(2)解；当时，水中含有物质N的浓度为ymol/L，则.当且仅当时等号成立.所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3mol/L.所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L.7．（2021·上海市桃浦中学高一期中）已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．(1)若不等式f（x）＞0的解集为R，求m的取值范围；(2)当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；(3)若不等式f（x）≥x2+x﹣1的解集为D，且（0，1]⊆D，求m的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)【分析】（1）分和两种情况讨论，即可求解；（2）由不等式，可得，分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解；（3）由题设条件将不等式转化为不等式恒成立，基本不等式求得最大值，即可求解.(1)解：①当时，即时，，不合题意；②当时，即时，满足，即，解得，即实数的取值范围是.(2)解：因为不等式，即，即，①当时，即时，不等式的解集为；②当时，即时，不等式可化为，因为，所以不等式的解集为；③当时，即时，不等式可化为因为，可得，所以，所以不等式的解集为.综上得：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.(3)解：不等式的解集为，若，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，因为恒成立，所以恒成立，设，因为，则，当且仅当，即时取等号，所以，所以的取值范围是.8．（2020·上海市进才中学高一期中）销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式．其中，为常数．现将万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品．所得利润为万元．若将万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y万元（1）求利润总和y关于x的表达式：（2）怎样将万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．【答案】（1）；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．【分析】（1）由题意得，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为万元，由题意知：，当时，，当时，，则解得，则．（2）由（1）可得，当且仅当时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．9．（2020·上海·高一专题练习）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?【答案】将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.【分析】设底面长为，宽为，由容积为，可得，列出水池的总造价关于的函数关系可得，借助均值不等式即得解【详解】设底面长为，宽为则水池的总造价：（元）当且仅当时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.10．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习）精准扶贫是巩固温饱成果､加快脱贫致富､实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5万元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）（其中）；（2）推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.【分析】（1）根据题意，结合利润计算方法，即可得到y关于x的函数；（2）利用基本不等式得出最大利润.【详解】（1）由题意知，利润（其中）.（2）由（1）知，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，y取最大值27.答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.11．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：（＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【答案】（1）当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）25＜v＜64．【分析】（1）根据基本不等式性质可知，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）解不等式，即可求出v的范围．【详解】（1）依题意知，，当且仅当v，即v＝40时，上式等号成立，∴ymax（千辆/时）．∴当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时．（2）由条件得，整理得v2﹣89v+1600＜0，即．解得25＜v＜64．12．（2020·上海市第三女子中学高一期中）某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8.（1）试写出制作此框架的用料（米）与（米）之间的关系式；（2）当取何值时，框架用料最少？并求此最小值.（精确到0.01m）【答案】（1）；（2）m，最小值约为m.【分析】（1）由题意可得，整理即可，并求出定义域；（2）框架用料总长度为，化简整理，并利用基本不等式求出最值即可.【详解】解：（1）由题意可得，整理得；（2）框架用料总长度为因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当m时，框架用料最少，并且最小值约为m.13．（2020·上海交大附中高一阶段练习）有10辆货车从A站匀速驶往2000千米的B站，其时速都是千米/小时，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，货车长度不计），设第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间小时.（1）求(用含有和的代数式表示）；（2）假设，试确定当为何值时，取得最小值，并求出的最小值.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）由时间路程/速度，代入具体数值，即得解；（2）转化，利用均值不等式即得解【详解】（1）由题意，时间路程/速度因此（2）当时，当且仅当，即时，等号成立故当时，考点二：三角不等式题型四：三角不等式一、填空题1．（2022·上海·华师大二附中高一期末）如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.【答案】【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故答案为：2．（2022·上海浦东新·高一期末）已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围___________．【答案】【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.【详解】根据三角不等式，所以恒成立，只需，所以或解得.故答案为：3．（2022·上海长宁·高一期末）若对恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】，【分析】若对恒成立，求出函数的最小值，即可求的取值范围．【详解】由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值5，又当时，取得最小值0，所以当时，取得最小值5，故，取的取值范围为，．故答案为：，4．（2021·上海市通河中学高一阶段练习）三角不等式中，等号当且仅当________成立．【答案】【分析】当、同号或时，的等号成立.【详解】当时，，当时，，故当且仅当时，等号成立故答案为：5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】求出的最小值即得解.【详解】解：由题得关于的不等式在上有解，因为，所以的最小值为7，所以.故答案为：6．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知不等式对所有实数恒成立，等号成立时的取值范围是______.【答案】【分析】设，化简函数的解析式，即可得出结果.【详解】设，当时，；当时，；当时，.综上所述，不等式对所有实数恒成立，等号成立时的取值范围是.故答案为：.二、解答题7．（2021·上海市崇明中学高一期中）已知．(1)若均为正数，证明，并且写出等号成立的条件；(2)若，且恒成立，求的取值范围；【答案】(1)证明见解析，当且仅当时取等号；(2)的取值范围或.【分析】（1）、三次利用基本不等式，再相加整理化简即可证明；（2）、利用绝对值三角不等式求出，根据题意可知，解不等式即可得到的取值范围.(1)，，，，，，三式相加可得，，当且仅当时取等号.,,当且仅当时取等号.(2)若，，，，，，，当且仅当时等号成立，，恒成立，，即或．的取值范围为或.巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海市川沙中学高一期末）对于，下列结论正确的是(

)A．当异号时，左边等号成立B．当同号时，右边等号成立C．当时，两边等号均成立D．当时，右边等号成立；当时，左边等号成立【答案】B【分析】采用特殊值法验证即可.【详解】当时，左边等号成立，故A不正确.当时，右边等号不成立，故C不正确.当时，右边等号不成立；故D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，还考查了特殊与一般的思想和理解辨析的能力，属于基础题.2．（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用绝对值三角不等式求出代数式的最小值，可得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】由于存在实数，使得不等式成立，则，由绝对值三角不等式可得，所以，，即，解得.故选：D.3．（2020·上海高一专题练习）已知，，，则m，n之间的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用绝对值三角不等式，结合转化比较.【详解】因为且，所以，因为且，所以，所以，故选：D【点睛】本题主要考查绝对值表达式的大小比较以及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.4．（2020·上海高一课时练习）已知，则取得最大值时的值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，则，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，则，由，当且仅当时，即时等号成立．故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5．（2020·上海高一专题练习）已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是A．|a+b|≥a－b B． C．|a+b|<|a|+|b| D．【答案】C【详解】由题意a,b同号；则BD正确；|a+b|=≥a－b，A正确当时，，故C不正确，故选C.二、填空题6．（2021·上海高一期末）函数的最小值等于__________．【答案】4【分析】利用绝对值不等式求解.【详解】因为,当时，取等号，所以的最小值为4故答案为：47．（2020·上海高一单元测试）已知，则的最小值为_______．【答案】1【分析】将原式变形为，再使用基本不等式即可．【详解】解：∵，∴，∴，当且仅当，又，即取等号．故答案为：1．【点睛】本题考查基本不等式的运用，属于基础题.8．（2021·上海高一）存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______.【答案】.【分析】由绝对值不等式的性质，求得，把不等式有解，转化为恒成立，列出不等式，即可求解.【详解】由绝对值不等式的性质，可得，当且仅当时等号成立，要使得不等式有解，转化为恒成立，所以，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：.9．（2021·上海曹杨二中高一期末）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】利用绝对值三角不等式可求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，，即实数的取值范围是.故答案为：.10．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）方程在上有解，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】由利用基本不等式求解.【详解】，当且仅当，即时等号成立，.故答案为：.11．（2021·上海市控江中学高一期末）如果关于的方程有解，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】根据绝对值的几何意义求得最小值为8，即可求出实数的取值范围．【详解】因为表示数轴上的x对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8，故当时，关于的方程有解，

故实数的取值范围为，

故答案为：．三、解答题12．（2022·上海长宁·高一期末）如图，在矩形地基的中心位置上建造一个面积为的一个矩形仓库，仓库四周铺设人行道；要求南北两侧的人行道宽，东西两侧的人行道宽，如何设计仓库的边长，才能使人行道的占地面积最小（结果精确到）？【答案】仓库的长为米，宽为16.7米时，人行道的占地面积最小为414.7平方米．【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】设仓库的长度为，宽为，人行道的占地面积，则，当且仅当，即时，等号成立，故仓库的长为米，宽为16.7米时，人行道的占地面积最小为414.7平方米．13．（2020·上海高一专题练习）据预测，某旅游区游客人数在500至1300之间，游客人数人与游客的消费总额元之间近似的满足关系式：，若该景区游客的人数为多少时，游客的人均消费最高，并求游客的人均最高消费额.【答案】当时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元.【分析】根据游客人数人与游客的消费总额元之间近似地满足的关系，求出游客的人均消费额，再利用基本不等式即可求出最高消费额．【详解】设游客的人均消费额为，由，可得：，当且仅当时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元.14．（2021·上海上外浦东附中高一期末）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中．（1）请求出的值，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．【答案】（1）950；发车间隔为5，载客量为950；