等腰三角形 全省一等奖

汕头市翠英中学王炜煜

13.3.1等腰三角形（1）

北京五塔寺

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形.一、复习旧课

1.等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是

；

2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；

3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。

10cm10cm或11cm19cm一、复习旧课如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC

有什么特点？ABCDAB=AC二、自主探究

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.找一找等腰三角形是轴对称图形吗？思考是重合的线段重合的角

AC

B

D

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC

等腰三角形除了两腰相等以外,

你还能发现它的其他性质吗?

大胆猜想已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.如何证明两个角相等？2.如何构造两个全等的三角形？ABCD等腰三角形的两个底角相等猜想与论证如何证明两个三角形全等?ABC则∠ADB＝∠ADC＝90º.D在Rt△ABD和Rt△ACD中证明：作BC边上

的高AD，AB＝AC，

AD＝AD

（公共边），

∴

Rt△ABD≌Rt△ACD

（HL）.

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）.

方法一ABC则有BD＝CD.D在△ABD和△ACD中证明:

作△ABC

的中线AD，AB＝AC，

BD＝CD，AD＝AD

（公共边），

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS），

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）.

方法二ABC则有∠1＝∠2.D12在△ABD和△ACD中证明:

作顶角的平分线AD，AB＝AC，

∠1＝∠2，

AD＝AD

（公共边），

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）.

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）.

方法三D如图，作△ABC的中线AD

D┌如图，作△ABC的高ADD如图，作顶角的平分线AD.ABCABCABC等腰三角形常见辅助线想一想:

由刚才证明的△ABD≌△ACD，除了能得到∠B＝∠C你还能发现什么?重合的线段重合的角

A

B

D

C

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成三线合一）.ABCD性质1在△ABC中，∵AB=AC∴________=________.性质2(1)∵AB=AC，AD是角平分线，∴______⊥______，________=________

；

(2)∵AB=AC，AD是中线，∴

⊥

，∠

=∠____；

(3)∵AB=AC

，AD⊥BC，∴∠_____=∠______，_____=______.几何语言：ABCD∠B∠CADBCBDCDADBCBADCADBADCADBDCDABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角).设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x二、自主探究例1

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各内角的度数？例2如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC设∠C=x，则∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=2x+x+26°+x=180°.解得：x=38.5°.∴∠B=77°，∠C=38.5°.三、课堂练习P771、2四、补充练习1.如图，△ABC中,AB=AC,∠A=36°,则∠B=

；2.如图，△ABC中,AB=AC,∠A=3∠B,则∠A=

；

3.等腰三角形一个角为40°,它的另外两个角为___________________.ABCABC70°，70°或40°，100°108°72°第一题图第二题图4.如图，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠DBC的度数.45度5.求证：等腰三角形底边中点到两