高二数学排列、组合、概率课件

第4章排列、组合与概率4.1两个原理4.2排列4.3组合4.4二项式定理*4.5概率第4章排列、组合与概率4.1两个原理问题1某人从甲地到乙地，可以乘汽车、轮船或火车，一天中汽车有3班、轮船有2班、火车有1班。那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法呢？火车汽车1汽车2汽车3轮船1轮船2甲地乙地从甲地到乙地的不同走法的种数，恰好是各类走法种数的和，也就是3+2+1=6种4.1两个原理问题1某人从甲地到乙地，可以乘汽车、轮问题2某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？BAC甲乙丙ab显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）问题2某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，由问题1可得分类计数原理：若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种不同的方法，在第二类办法中有k2种不同的方法……在第n类办法中有kn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。由问题2可得分步计数原理：若一件事需要分成n个步骤完成，做第一步有k1种不同的方法，做第二步有k2种不同的方法……做第n步有kn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。由问题1可得分类计数原理：若完成一件事（1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取语文书，可以从5本书中任取1本，有5种方法；第二类办法是从中取数学书，可以从6本书中任取1本，有6种方法；第三类办法是从下层取外语书，可以从4本书中任取1本，有4种方法。根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=5+6+4=15（2）从书架上任取语文、数学和外语各1本，可以分成三个步骤完成：第一步是从上层取1本语文书，有5种方法；第二步是从中层取1本数学书，有6种方法；第三步是从下层取1本外语书，有4种方法。根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是N=5×6×4=120例题解析例1书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：（1）从中任取1本，有多少种不同取法？（2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种不同的取法？解单击鼠标继续（1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一要组成一个三位数，可以分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选1个数字，有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，仍有5种选法；第三步确定个位上的数字，同理，也有5种选法。根据分步计数原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5×5×5=125

例2由数字1、2、3、4、5可以组成多少个三位数？（各位上的数字允许重复）解单击鼠标继续要组成一个三位数，可以分成三个步骤：第一从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是N=3×2=6例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解单击鼠标继续从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可

1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同的选法？2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？3．由1、3、5、7这4个数字可以组成允许有重复数字的两位数共有多少个？4．某市电话局管辖范围内的电话由8位数字组成，其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0~9之间的1个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？

4.2排列魔方的发明者是布达佩斯应用艺术学院室内设计系的讲师ErnoRubik。魔方有3252003274489856000种排列方式，而解决方法只有一种。魔方的发明让ErnoRubik成为东欧第一个白手起家的百万富翁，也让他成为匈牙利最富有的人。扩展：快速调整魔方4.2排列魔方的发明者是布达佩斯应用问题1北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题。根据分步计数原理，共有3×2=6种不同的排法。起点站终点站飞机票北京上海广州北京→上海北京→广州上海北京广州上海→北京上海→广州广州北京上海广州→北京广州→上海问题1北京、上海、广州3个民航站之间的直根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的两位数。问题2从1、2、3、4这4个数字中，任取2个不同的数字，可以组成多少个不同的两位数？

步骤：先确定十位上的数，在4个数字中任取1个作为十位上的数，有4种选法；再确定个位上的数，当十位上的数字确定后，从余下的3个数字中任取1个作为个位上的数，有3种选法。根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的两定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m<n时，所得的排列叫做选排列；当m=n时，所得的排列叫做全排列。由定义可知，在从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素组成的排列中，任意两个不同的排列可分为两种情形：（1）两个排列中至少有一个元素不相同；（2）两个排列中的元素相同，但排列的顺序不相同。只有元素相同且元素排列的顺序也相同的两个排列才是相同的排列。排列的概念定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元

1．从1、2、3、4这四个数字中，任取3个不同的数字组成两位数，请写出所有的不同的三位数。2．本节开头的两个实例中提到的飞机票的种数、两位数的个数能否由一个数学公式来表示，请写出此表达式。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。m＝1、2、3…n

排列数公式的特点是：等号右边第一个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为n-m+1，共有m个因数相乘。例如排列数公式从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有全排列种数公式为这就是说，全排列数等于正整数1、2、3…n的连乘积，正整数1、2、3…n的连乘积叫做n的阶乘，记作n!，即全排列种数公式为这就是说，全排列数等于正整例题解析例1计算下列各题：（1）（2）解（1）例2有5本不同的书，发给3名同学，每人1本，共有多少种不同的分法？解（2）分书方法的种数就是从5本书中任取3本书的排列数，即种单击鼠标继续例题解析例1计算下列各题：解（1）例3某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号？解用1面旗表示的信号有种，用2面旗表示的信号有种，用3面旗表示的信号有种。根据分类计数原理，所求信号种数是种单击鼠标继续例3某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖例4用0~9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1符合条件的三位数可以分为三类：第一类：每位数字都不是0的三位数，有个。第二类：个位数字是0的三位数，有个。第三类：十位数字是0的三位数，有个。根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是个解法2因为百位上的数字不能是0，所以可分为两个步骤来完成：第一步，先排百位上的数字，它只能从除0以外的1~9这9个数字中任选一个，有种选法。第二步，再排十位和个位上的数字，它可以从余下的9个数字（包括0）中任选两个，有种选法。根据分步计数原理，所求的三位数的个数是=9×9×8=648个解法3

从0~9这10个数字中任选3个数字的排列数为，其中0排在百位上的排列数为，因此所求的三位数的个数是个单击鼠标继续例4用0~9这10个数字可以组成多少个没有重知识扩展利用阶乘记号，排列数公式可变形为

因此排列数公式还可写成知识扩展利用阶乘记号，排列数公式可变形为因5个人的生日的不同情形有多少种？可重复排列问题举例设一年有365天，5个人的第1个人的生日有365种可能，第2个人的生日有365种可能，依此类推，第5个人的生还是365种可能。根据分步计数原理，5个人的生日的不同的情形有365×365×365×365×365=3655（种）解一般地，从n个不同的元素中任取可以重复的m个元素的排列数计算公式为5个人的生日的不同情形有多少种？可重复排列

1．按要求写出排列：（1）3个元素a、b、c的所有全排列。（2）从4个元素a、b、c、d中任取2个元素的所有排列。（3）从4个元素a、b、c、d中任取2个元素的所有可以重复的排列。2．计算：（1）（2）（3）（4）

3．由0、1、2、3、5、7、9这7个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？4．有10件不同的产品，每次取1件，连续取3次，求：（1）每次取出1件产品，不再放回，有几种不同的取法？（2）每次取出1件产品，取后放回，有几种不同的取法？

问题某航空公司在北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？我们知道，同类型飞机票价只与起点站和终点站之间的距离有关，如从北京到上海和从上海到北京，飞机票价是相同的，也就是与起点和终点的顺序没有关系。所以，在北京、上海、广州3个民航站之间只有3种不同的票价：北京—上海北京—广州上海—广州4.3组合问题某航空公司在北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序地组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。组合与组合数的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元根据分步计数原理，得由此，得到组合数公式：m=1、2、3…n

通常，从n个不同元素中取出m个元素的排数，可以按以下两步求得：第一步，先求出从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数。根据分步计数原理，得由此，得到组合数公式：m=1、2、3…例题解析解例1计算：、。例2平面内有12个点，任何3个点不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形？解因为12个点中任何3点都不在同一直线上，所以任取3个点都可以画出一个三角形。因此所求三角形的个数，就是从12个不同的元素中取出3个元素的组合数，也就是一共可画个单击鼠标继续例题解析解例1计算：、。例3一次集会，每一个到会者都和其他与会者握一次手，据统计，到会者共握手378次，问到会的人数是多少？解设到会的人数为n，根据题意，互相握手的次数为即解得n＝28所以有28人与会。单击鼠标继续例3一次集会，每一个到会者都和其他与会者握一

1．按要求写出下列组合：（1）从5个元素a、b、c、d、e中任取2个元素的所有组合。（2）从5个元素a、b、c、d、e中任取3个元素的所有组合。2．计算：（1）（2）3．平面内有8个点，设有3个点在一条直线上，过每2个点作一条直线，一共可以作几条直线？4．从2、3、5、7、11这5个数中任取2个相加，可以得到多少个不同的和？

性质1性质2组合数的性质性质1性质2组合数的性质例题解析例1计算：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）单击鼠标继续例题解析例1计算：解（1）（2）（3）单击例2100件商品中含有3件次品，其余都是正品，从中任取3件：（1）3件都正品，有多少种不同的取法？（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？解（1）3件都是正品，应从97件正品中取，所有不同取法的种数是（2）从97件正品中取2件，有种取法；从3件次品中取1件，有种取法。因此，根据分步计数原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的种数是单击鼠标继续例2100件商品中含有3件次品，其余都是正品（3）3件中最多有1件次品的取法，包括只有1件是次品和没有次品两种，其中只有1件是次品的取法有种，没有次品的取法有种，因此，3件中最多有1件次品的取法的种数是（4）3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品的、2件是次品的和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的种数是本小题也可以这样解：从100件商品中任取3件的取法的种数是，在这些取法中，包含了3件全部是合格品的情形，必须去掉，其他取法都符合题目要求。3件全部是合格品的取法的种数是。因此，取出的3件中至少有1件是次品的取法的种数是单击鼠标继续（3）3件中最多有1件次品的取法，包括只有1

1．计算：（1）（2）（3）2．6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？3．有50个球队举行单循环比赛（即每队都要与其他各队比赛一场），共需要比赛多少场？

上面乘法公式的展开式中各项的系数有什么特点？有什么规律？观察上述两个公式中右边系数的规律，发现它们可以表示为4.4二项式定理*上面乘法公式的展开式中各项的系数有什么特点？一般地，对于任意正整数n，有以下公式这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项的系数（r＝0、1、2…n）叫做二项式系数。式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，记作，即一般地，对于任意正整数n，有以下公式这个公式例题解析例1展开(1＋x)4。解例2展开(2x－3y)5。解单击鼠标继续例题解析例1展开(1＋x)4。解例例3求的展开式的第4项的系数。解展开式的第4项是

所以展开式的第4项的系数是－84。单击鼠标继续例3求的展开式的例4求的展开式中的常数项。解设展开式中的常数项是r＋1项，则由单击鼠标继续因此，所求常数项是第5项，即对于常数项有解得r＝4例4求

1．写出(x＋y)5的展开式。2．求(1－2x)7的展开式的第3项。

3．求的展开式中不含x的项。

下面的事件一定会出现吗？（1）在标准大气压下，纯水加热到100℃，沸腾。（2）抛一块石头，落回地面。（3）没有空气和水，种子发芽。（4）某人射击一次，中靶。（5）掷一枚均匀硬币，正面朝上。从上面的各事件中可以看到，事件（1）（2）必然会发生；（3）不可能发生；而（4）（5）可能发生，也可能不发生。4.5概率概率的概念下面的事件一定会出现吗？（1）在标准大气压下，纯水加热到10根据上面的分析，我们把所有事件分成三类。在一定条件下必然会发生的事件，叫做必然事件。在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。上述事件中，（1）（2）是必然事件，（3）是不可能事件，（4）（5）是随机事件。随机事件简称事件，通常用字母A、B、C等表示。根据上面的分析，我们把所有事件分成三类。在一抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：抛掷次数(n)正面向上次数(m)频率(n/m)20484040120002400030000720881061204860191201214984361420.51810.50690.50160.50050.49960.5011我们看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5。将事件的条件实现一次，称为一次试验。随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，具有偶然性。但是在大量重复试验的情况下，它的发生又呈现出一定的规律性。抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：抛掷次数某批乒乓球产品质量检查结果表抽取球数(n)5010020050010002000优等品数(m)45921944709541902优等品频率(m/n)0.90.920.970.940.9540.951从表中看到，当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率（m/n）接近于常数0.95，在它附近摆动。某批乒乓球产品质量检查结果表抽取球数(n)5010020一般地，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。由于随机事件A在n次试验中发生了m次，即则于是可得很明显，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。0≤m≤n0≤≤1≤10≤一般地，大量重复进行同一试验时，事件A发生

1．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：（1）当x是实数时，x2≥0。（2）同性电荷，相互排斥。（3）手电筒的电池没电，灯泡发亮。（4）某人乘公共汽车，等待3分钟。（5）从一副扑克牌中任抽1张，得到黑桃K。（6）一个电影院某天的上座率超过50%。2．某地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示。试完成以下问题：（1）填写上表中的男婴出生频率。（2）这一地区男婴出生的概率约为多少？时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554496071352017190男婴数2883497069948892男婴出生频率时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数55从上面知道，随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件，可以不通过重复试验，只要通过对一次试验中可能发生的结果进行分析，就可计算出它的概率。随机事件的概率掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有两个：正面朝上、反面朝上。抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能是情形1、2、3、4、5、6之一，即可能出现的结果有6种。扩展：投掷骰子从上面知道，随机事件的概率，一般可以通过大量一次试验可能发生的每一个结果称为一个基本事件。设一次试验中总共有n个基本事件，且每一个基本事件发生的可能性都相等（简称等可能）。若试验中的某一事件A由m(m≤n)个基本事件组成，则事件A的概率在随机试验中，确定事件A的概率时，只需求出基本事件的总数n以及事件A所含的基本事件的个数m。一次试验可能发生的每一个结果称为一个基本事件例题解析例1从编号分别为1、2、3…10的大小相同的10球中任取1球，求取到的球是偶数号的概率。解从10个球中任取1球的基本事件总数，就是从10个元素中任取1个的组合数，即由于球的大小相同，且抽取是任意的，这些结果出现的可能性都相等。设事件A={取得偶数号球}，则A包含的基本事件个数所以单击鼠标继续例题解析例1从编号分别为1、2、3…10的设Bi所含的基本事件数为mi(i＝1、2、3)。首先，求基本事件总数n。因为是取后放回，所以每次从10个数码中任取1个的取法是10种，连续取5次的取法是n＝10×10×10×10×10＝105其次，求Bi所含的基本事件数mi(i＝1、2、3)。

B1={5个数码全不同}，因此B1所含的基本事件数应是从10个数码中取出5个不同数码进行排列的排列数。即

B2={不含0与1}，因此B2所含的基本事件数就是从除0、1之外的8个数码中可以重复地选取5个元素进行排列的排列数。即m2＝85例2从0、1、2…9这10个数码中任取1个，然后放回，连续5次，求下列事件的概率：

B1={5个数码全不同}B2＝{不含0与1}

B3={0恰好出现2次}解单击鼠标继续设Bi所含的基本事件数为mi(i＝1B3={0恰好出现2次}，因此B3所含基本事件有2个位置是0，其他位置上的数码允许重复。即单击鼠标继续最后，求事件Bi的概率P(Bi)。B3={0恰好出现2次}，因此B3所含基本事从100件产品中任取2件的基本事件总数是（1）设A={2件都是合格品}，因为在100件产品中有95件合格品，所以选取2件合格品的基本事件数是因此，有（2）设B={1件是合格品，1件是次品}，则B包含的基本事件数是因此，有例3在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：

（1）2件都是合格品的概率。（精确到0.0001）（2）1件是合格品，1件是次品的概率。（精确到0.0001）解单击鼠标继续从100件产品中任取2件的基本事件总数是

1．先后抛掷2枚均匀的硬币：（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？（3）出现“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？（4）有人说，“一共可能出现‘2枚正面’‘2枚反面’‘1枚正面，1枚反面’这3种结果，因此出现‘1枚正面，1枚反面’的概率是1/3。”这种说法对吗？2．在10件产品中，有8件正品，2件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：（1）恰有1件次品。（2）恰有2件次品。（3）3件都是正品。（4）至少有1件次品。3．盒中有红、白、黄色球各1个，每次取1个，有放回地抽取3次，求下列事件的概率：（1）都是红球。（2）颜色都相同。（3）颜色都不同。

在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个白球、1个黄球，从中任取1球。记A={取得的一个球是红球}，B={取得的一球是白球}，C={取得的一球是黄球}，事件A、B、C会同时发生吗？如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是白球，即事件B发生，那么事件A就不发生。这就是说，事件A与B不可能同时发生。同样，事件B与C、A与C也不可能同时发生。互斥事件与加法公式在一次试验中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或互不相容事件）。显然，事件A与B、B与C、A与C都是互斥事件。在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有如果n个事件中的任何两个都是互斥事件，那么就说n个事件彼此互斥。两个互斥事件中必有一个发生，则这两个事件叫做对立事件。事件A的对立事件通常记作。如果把“从盒中摸出1个球，得到红球或白球”看作一个事件，当摸出的是红球或白球时，这个事件就发生。我们把这个事件记作A+B。如果n个事件中的任何两个都是互斥事件，那一般地，如果事件A、B互斥，则根据对立事件的意义，A+是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A与互斥，则P(A)+P()=P(A+)=1，因此推广以上结论：如果n(n≥2)个事件A1、A2…An互斥，则得加法公式一般地，如果事件A、B互斥，则例题解析例一批产品共有100件，其中90件是合格品，10件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。（精确到0.001）

解法1设A={有次品}，Ai={有i件次品}(i＝1、2、3)。故A＝A1＋A2＋A3，并且A1、A2、A3两两互斥。因为则

解法2由于事件A的逆事件={取出的3件产品全是合格品}，又因为，所以单击鼠标继续例题解析例一批产品共有100件，其中90件

1．判别下列事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件。从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：（1）恰有1件次品和恰有2件次品。（2）至少有1件次品和全是次品。（3）至少有1件正品和至少有1件次品。（4）至少有1件次品和全是正品。2．某车间有男工7人，女工4人，现要选3个代表前往先进单位参观学习，问3个代表中至少有1个女工的概率是多少？3．某人在一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.26、0.30、0.20，试求此人在一次射击中：（1）击中8环及8环以的概率。（2）不足8环的概率。

甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有2个白球，2个黑球。从这两个盒子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？规定：A={从甲盒中摸出一