高中数学人教A版选修22讲义复习课（三）数系的扩充与复数的引入

复习课(三)数系的扩充与复数的引入复数的概念(1)复数的概念是学习复数的根底，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式消失，难度较小．(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．eq\a\vs4\al([考点精要])1．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0.(2)z∈R⇔z＝eq\x\to(z).(3)z∈R⇔z2≥0.2．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.(2)z是纯虚数⇔z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)．(3)z是纯虚数⇔z2<0.3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝d))(a，b，c，d∈R)．[典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：假设复数z满意eq\f(1,z)∈R，那么z∈R；p2：假设复数z满意z2∈R，那么z∈R；p3：假设复数z1，z2满意z1z2∈R，那么z1＝eq\x\to(z)2；p4：假设复数z∈R，那么eq\x\to(z)∈R.其中的真命题为()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4(2)(2017·天津高考)a∈R，i为虚数单位，假设eq\f(a－i,2＋i)为实数，那么a的值为________．[解析](1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，那么z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠eq\x\to(z)2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．(2)由eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(2＋a,5)i是实数，得－eq\f(2＋a,5)＝0，所以a＝－2.[答案](1)B(2)－2[类题通法]处理复数概念问题的两个留意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要留意实部和虚部本身对变量的要求，否那么简洁产生增根．eq\a\vs4\al([题组训练])1．假设复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，那么z2＋eq\o(z,\s\up6(－2))的虚部为()A．0 B．－1C．1 D．－2解析：选A由于z＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1－i，所以z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.应选A.2．z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，假设z1－z2＝0，那么m的值为()A．4 B．－1C．6 D．－1或6解析：选B由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，依据两个复数相等的充要条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝4，,m2＝5m＋6，))解得m＝－1，应选B.复数加、减法的几何意义(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小．(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．eq\a\vs4\al([考点精要])1．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq\o(OZ,\s\up7(→))是以原点O为起点的，否那么就谈不上一一对应，由于复平面上与eq\o(OZ,\s\up7(→))相等的向量有很多个．2．复数的模(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)；(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离．[典例](1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满意(1＋i)z＝2i，那么|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)(2)复数z＝eq\f(m－2i,1＋2i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不行能位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)由于z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).(2)z＝eq\f(m－2i,1＋2i)＝eq\f(m－2i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为eq\f(1,5)(m－4)，虚部为－eq\f(2,5)(m＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－4>0，,－2m＋1>0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>4，,m<－1.))此时无解．故复数在复平面上对应的点不行能位于第一象限．[答案](1)C(2)A[类题通法]在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)．(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)．eq\a\vs4\al([题组训练])1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，那么|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选B∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，应选B.2．假设复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，那么实数k的取值范围是________．解析：由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6＋k2<0，,k2－4>0，))∴4<k2<6.∴－eq\r(6)<k<－2或2<k<eq\r(6).答案：(－eq\r(6)，－2)∪(2，eq\r(6))3．复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.假设eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，那么a＝________，b＝________.解析：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝4＋a，,－4＝6＋b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－10.))答案：－3－10复数的代数运算(1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．(2)解答此类问题的关键是熟记并敏捷运用复数的四那么运算法那么，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．eq\a\vs4\al([考点精要])复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[典例](1)假设z＝1＋2i，那么eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1 B．－1C．i D．－i(2)计算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝________.[解析](1)由于z＝1＋2i，那么eq\x\to(z)＝1－2i，所以zeq\x\to(z)＝(1＋2i)(1－2i)＝5，那么eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝eq\f(4i,4)＝i.应选C.(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－i10＝(1＋i)2－i2＝1＋2i.[答案](1)C(2)1＋2i[类题通法]进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的根本思路就是应用运算法那么进行计算．①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要留意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化〞(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要留意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)复数的四那么运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要留意把i的幂写成最简洁的形式．(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．eq\a\vs4\al([题组训练])1．复数z满意z(eq\x\to(z)＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，那么z＝()A．1＋i或－2＋i B．i或1＋iC．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i解析：选C设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z(eq\x\to(z)＋1)＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或az＝i或z＝－1＋i.2．i是虚数单位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2018＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＝________.解析：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2))1009＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))1009＋i6＝i1009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.答案：－1＋i1．a，b∈R，i是虚数单位．假设a＋i＝2－bi，那么(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i解析：选A由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，那么(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.2．复数z满意(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，那么在复平面上复数z对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选Dz＝eq\f(1＋i2,－1＋i)＝eq\f(2i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2i－1－i,2)＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．假如复数z＝eq\f(2,－1＋i)，那么()A．|z|＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i解析：选C由于z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C.4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，那么向量eq\o(CA,\s\up7(→))对应的复数为()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i解析：选D∵对应复数2＋i，eq\o(BC,\s\up7(→))对应复数1＋3i，∴对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴eq\o(CA,\s\up7(→))对应的复数是－3－4i.5．i为虚数单位，假设复数z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的实部为－3，那么|z|＝()A.eq\r(10) B．2eq\r(3)C.eq\r(13) D．5解析：选D∵z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)的实部为－3，∴eq\f(1－a,2)＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，那么|z|＝5.应选D.6．设z是复数，那么以下命题中的假命题是()A．假设z2≥0，那么z是实数B．假设z2<0，那么z是虚数C．假设z是虚数，那么z2≥0D．假设z是纯虚数，那么z2<0解析：选C设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z肯定为虚数，正确．选项C，假设z为虚数，那么b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比拟大小，错误．选项D，假设z为纯虚数，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))那么z2＝－b2<0，正确．7．复数z＝eq\f(3＋i,1＋2i)的共轭复数是________．解析：依题意得z＝eq\f(3＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，假设z1＝2－3i，那么z2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.答案：－2＋3i9．z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝eq\f(z,2＋i)，且|ω|＝5eq\r(2)，那么ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，那么ω＝eq\f(ki,2＋i1＋3i).∵|ω|＝5eq\r(2)，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．答案：±(7－i)10．复数z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)假设z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求实数a，b的值．解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵eq\x\to(z)＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))∴a＝－3，b＝4.11．z＝eq\f(x－i,1－i)(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－eq\f(3,2)，求ω·eq\x\to(ω).解：ω＝z(z＋i)＝eq\f(x－i,1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－i,1－i)＋i))＝eq\f(x－i,1－i)·eq\f(x＋1,1－i)＝eq\f(x＋1,2)＋eq\f(x2＋x,2)i.依据题意eq\f(x＋1,2)－eq\f(x2＋x,2)＝－eq\f(3,2)，得x2－1＝3.∵x>0，∴x＝2，∴ω＝eq\f(3,2)＋3i.∴ω·eq\x\to(ω)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋3i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－3i))＝eq\f(45,4).12．等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，由于OA∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(32＋42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4.))由于|OA|≠|BC|，所以x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.(时间120分钟总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，那么eq\f(z1,z2)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第三象限C．其次象限 D．第四象限解析：选Deq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,1＋i)＝eq\f(3,2)－eq\f(i,2)，对应点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))在第四象限．2．函数y＝(sinx2)3的导数是()A．y′＝3xsinx2·sin2x2 B．y′＝3(sinx2)2C．y′＝3(sinx2)2cosx2 D．y′＝6sinx2cosx2解析：选Ay′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，应选A.3．复数eq\f(a＋i,1－i)为纯虚数，那么它的共轭复数是()A．2i B．－2iC．i D．－i解析：选D∵复数eq\f(a＋i,1－i)＝eq\f(a＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a－1＋1＋ai,2)为纯虚数，∴eq\f(a－1,2)＝0，eq\f(1＋a,2)≠0，解得a＝1.∴eq\f(a＋i,1－i)＝i，那么它的共轭复数是－i.4.eq\a\vs4\al(∫\o\al(2π,0))|sinx|dx＝()A．0 B．1C．2 D．45．x1>0，x1≠1，且xn＋1＝eq\f(xnx\o\al(2,n)＋3,3x\o\al(2,n)＋1)(n∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n都满意xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满意xn>xn＋1〞，当此题用反证法否认结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn>xn＋1C．存在正整数n(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0解析：选D命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列〞，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列〞，由此可知选D.6．观看以下等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，依据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202C．212 D．222解析：选C归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋…＋6))2＝212.7．设m＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx，n＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))eq\f(1,x)dx，那么m与n的大小关系为()A．m＜n B．m≤nC．m＞n D．m≥n解析：选Cm＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx＝exeq\o\al(1,0)＝e－1＞n＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,e,))eq\f(1,x)dx＝lnxeq\o\al(e,1)＝1.8.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，那么函数y＝ax2＋eq\f(3,2)bx＋eq\f(c,3)的单调递增区间是()A．(－∞，－2] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．[－2,3] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞))解析：选D由题图可知da＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－eq\f(3,2)，c＝－18.∴y＝x2－eq\f(9,4)x－6，y′＝2x－eq\f(9,4).当x＞eq\f(9,8)时，y′＞0，∴y＝x2－eq\f(9,4)x－6的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)).应选D.9．设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，那么函数y＝x2g(x)的局部图象可以为()解析：选C依据题意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，y＝0，应选C.10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，那么f(－1)与f(1)的大小关系是()A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)C．f(－1)<f(1) D．不确定解析：选B由于f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，那么f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1).11．假设不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选B由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x＞0)，那么h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2).当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝ha≤h(x)mina的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的函数f(x)满意：f′(x)＞f(x)恒成立，假设x1＜x2，那么ef(x2)与ef(x1)的大小关系为()A．ef(x2)＞ef(x1)B．ef(x2)＜e(x1)C．ef(x2)＝ef(x1)D．ef(x2)与ef(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)＝eq\f(fx,ex)，那么g′(x)＝eq\f(f′xex－fxex′,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即eq\f(fx1,e)＜eq\f(fx2,e)，所以ef(x2)＞ef(x1)．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．复数z满意(1＋i)z＝|eq\r(3)－i|，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝________.解析：∵(1＋i)z＝|eq\r(3)－i|＝2，∴z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i.答案：1＋i14．函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．假设f′(1)＝3，那么a的值为________．解析：f′(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋x·\f(1,x)))＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，假设该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，那么该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，那么y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，那么y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．那么p，y，y′变化关系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)y′＋0－y极大值故当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：302300016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上讨论数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，依据点或小石子能排列的外形对数进行分类．以下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．依据图形的构成，记第2018个梯形数为a2018，那么a2018＝________.解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝eq\f(n＋12＋n＋2,2)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n＋4)，由此可得a2018＝2＋3＋4＋…＋2020＝eq\f(1,2)×2019×2022＝2019×1011.答案：2019×1011三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)复数z＝eq\f(1－i2＋31＋i,2－i).(1)假设复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；(2)假设实数a，b满意z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．解：由得复数z＝eq\f(1－i2＋31＋i,2－i)＝eq\f(－2i＋3＋3i,2－i)＝eq\f(3＋i,2－i)＝eq\f(3＋i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(5＋5i,5)＝1＋i.(1)复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，那么它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1＝－1＋i.(2)由于z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，由于a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i，所以z2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题总分值12分)函数f(x)＝ex＋2(x2－3)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的极值．解：(1)函数f(x)＝ex＋2(x2－3)，那么f′(x)＝ex＋2(x2＋2x－3)＝ex＋2(x＋3)(x－1)，故f′(0)＝－3e2，又f(0)＝－3e2，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＋3e2＝－3e2(x－0)，即3e2x＋y＋3e2＝0.(2)令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝－3，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值微小值∴当x＝－3时，函数取极大值，极大值为f(－3)＝eq\f(6,e)，当x＝1时，函数取微小值，微小值为f(1)＝－2e3.19．(本小题总分值12分)设函数f(x)＝eq\f(1,x＋2)，a，b∈(0，＋∞)．(1)用分析法证明：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))≤eq\f(2,3)；(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于eq\f(1,2).证明：(1)要证明feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))≤eq\f(2,3)，只需证明eq\f(1,\f(a,b)＋2)＋eq\f(1,\f(b,a)＋2)≤eq\f(2,3)，只需证明eq\f(b,a＋2b)＋eq\f(a,b＋2a)≤eq\f(2,3)，即证eq\f(b2＋4ab＋a2,2a2＋5ab＋2b2)≤eq\f(2,3)，即证3b2＋12ab＋3a2≤4a2＋10ab＋4b2.即证(a－b)2≥0，这明显成立，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))≤eq\f(2,3).(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于eq\f(1,2)，即eq\f(a,b＋2)≤eq\f(1,2)，eq\f(b,a＋2)≤eq\f(1,2)，∴2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，这与a＋b>4冲突，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于eq\f(1,2).20．(本小题总分值12分)函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，假设函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤eq\f(x,lnx)在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝eq\f(x,lnx)，那么g′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2)，当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤m的取值范围是(－∞，e]．(2)由可得k(x)＝x－2lnx－a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．φ′(x)＝1－eq\f(2,x)＝eq\f(x－2,x)，当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3，要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，那么2－2ln2＜a＜3－2ln3.即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln