高一数学苏教版必修四讲义第1章12122同角三角函数关系

1．2.2同角三角函数关系预习课本P16～17，思索并完成以下问题1.对于角α，sinα与cosα有什么关系？2.对于角α，eq\f(sinα,cosα)的值与tanα有什么关系？3．sinα，cosα和tanα其中的一个值，如何求其余两个值？eq\a\vs4\al([新知初探])同角三角函数的根本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan_α＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).[点睛](1)同角三角函数关系中要求“角相同〞．(2)同角三角函数关系对使等式有意义的“任意〞角都成立．eq\a\vs4\al([小试身手])1．α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，那么cosα＝________.答案：－eq\f(4,5)2．sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，那么tanα＝________.答案：－eq\f(5,12)3．假设tanα＝2，那么eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝________.解析：eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5).答案：eq\f(16,5)4．化简：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝________.解析：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：1利用同角根本关系式求值[典例](1)sinα＝eq\f(12,13)，且α是其次象限角，求cosα和tanα.(2)sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．[解](1)cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2，又α是其次象限角，所以cosα<0，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).(2)由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα－1,tan2α＋1)＝eq\f(－4－1,4＋1)＝－1.某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要留意：(1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限打算；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)代入sinα，cosα的值即可求得tanα.[活学活用]1．假设sinα＝－eq\f(4,5)，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值．解：∵sinα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝eq\f(4,3).2．tanα＝2，求eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)的值．解：∵tanα＝2，∴eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－2,4tanα－9)＝eq\f(2×2－2,4×2－9)＝－2.三角函数式的化简[典例]化简：eq\f(tanα＋tanαsinα,tanα＋sinα)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,cosα)))·eq\f(sinα,1＋sinα).[解]原式＝eq\f(tanα1＋sinα,tanα＋sinα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·eq\f(sinα,1＋sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα),\f(sinα,cosα)＋sinα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·sinα＝eq\f(1,1＋cosα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·sinα＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而削减函数种类以便化简．(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号到达化简的目的．(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1〞的代换，以降低函数次数，到达化简目的．[活学活用]化简：(1)eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°))；(2)eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1).解：(1)原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.(2)原式＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(cosθsinθ－cosθ,sinθ－cosθ)＝cosθ.证明简洁的三角恒等式[典例]求证：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[证明]法一：左边＝eq\f(tanα·sinαtanα＋sinα,tan2α－sin2α)＝eq\f(tanα·sinαtanα＋sinα,tan2α－tan2α·cos2α)＝eq\f(tanα·sinαtanα＋sinα,tan2α1－cos2α)＝eq\f(tanα·sinαtanα＋sinα,tan2α·sin2α)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα)＝右边，∴原等式成立．法二：右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立．法三：左边＝eq\f(tanα·sinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sin2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，∴左边＝右边，原等式成立．法四：∵eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)－eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα)＝eq\f(tan2α·sin2α－tan2α－sin2α,tanαsinαtanα－sinα)＝eq\f(tan2α·sin2α－tan2α＋sin2α,tanαsinαtanα－sinα)＝eq\f(tan2αsin2α－1＋sin2α,tanαsinαtanα－sinα)＝eq\f(－tan2αcos2α＋sin2α,tanαsinαtanα－sinα)＝eq\f(－sin2α＋sin2α,tanαsinαtanα－sinα)＝0，∴eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).法五：∵(tanα－sinα)(tanα＋sinα)＝tan2α－sin2α＝tan2α－tan2α·cos2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α·sin2α，∴eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开头，证得它等于另一边，一般是由比拟简单的一边开头化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．(3)综合法：即由一个成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(4)比拟法：即证左边－右边＝0或证eq\f(左边,右边)＝1.[活学活用]1．求证：eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx).证明：法一：右边＝eq\f(1＋\f(sinx,cosx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(cosx＋sinx2,cosx－sinxcosx＋sinx)＝eq\f(cos2x＋sin2x＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝左边，∴原式成立．法二：左边＝eq\f(sin2x＋cos2x＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(sinx＋cosx2,cosx＋sinxcosx－sinx)＝eq\f(sinx＋cosx,cosx－sinx)＝eq\f(tanxcosx＋cosx,cosx－tanxcosx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝右边，∴原式成立．2．求证：eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα).证明：左边＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－cos2α,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinα1＋sinα,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右边．∴原等式成立．层级一学业水平达标1．α为钝角，sinα＝eq\f(1,3)，那么tanα＝________.解析：由于α为钝角，sinα＝eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(1,3),\f(－2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4).答案：－eq\f(\r(2),4)2．假设sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，那么cosθ＝________.解析：由题意知，θ为第三象限角，所以cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)3．α是其次象限角，tanα＝－eq\f(1,2)，那么cosα＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＋cos2α＝1，,\f(sinα,cosα)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(\r(5),5)，,cosα＝－\f(2\r(5),5).))答案：－eq\f(2\r(5),5)4．sinxcosx＝eq\f(1,6)，且eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，那么cosx－sinx的值等于________．解析：由于(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(2,3)，又eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，所以cosx<sinx，所以cosx－sinx＝－eq\f(\r(6),3).答案：－eq\f(\r(6),3)5．eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，那么sinθcosθ＝________.解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，所以sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(3,32＋1)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)6．假设α为第三象限角，那么eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝________.解析：∵α为第三象限角，∴原式＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－3.答案：－37．化简：eq\f(\r(1－2sin40°cos40°),cos40°－\r(1－sin250°))＝________.解析：eq\f(\r(1－2sin40°cos40°),cos40°－\r(1－sin250°))＝eq\f(\r(sin40°－cos40°2),cos40°－sin40°)＝eq\f(cos40°－sin40°,cos40°－sin40°)＝1.答案：18．tanα＋sinα＝a(a≠0)，tanα－sinα＝b，那么cosα＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋sinα＝aa≠0，,tanα－sinα＝b，))解得tanα＝eq\f(a＋b,2)，sinα＝eq\f(a－b,2)，∴cosα＝eq\f(1,tanα)·sinα＝eq\f(2,a＋b)×eq\f(a－b,2)＝eq\f(a－b,a＋b).答案：eq\f(a－b,a＋b)9．化简：eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α).解：原式＝eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α)＝eq\f(1－cos2α1＋cos2α－sin4α,1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α)＝eq\f(sin2α1＋cos2α－sin4α,sin2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α)＝eq\f(1＋cos2α－sin2α,1＋cos2α＋cos4α－sin4α)＝eq\f(2cos2α,1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α)＝eq\f(2cos2α,1＋cos2α＋cos2α－sin2α)＝eq\f(2cos2α,3cos2α)＝eq\f(2,3).10．sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tanθ＋eq\f(1,tanθ)的值．解：(1)由根与系数的关系知：sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝a.由于(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以a2＝1＋2a.解得a＝1－eq\r(2)或a＝1＋eq\r(2).由于sinθ≤1，cosθ≤1，所以sinθcosθ≤1，即a≤1，所以a＝1＋eq\r(2)舍去．所以sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝a(1－a)＝eq\r(2)－2.(2)tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,1－\r(2))＝－1－eq\r(2).层级二应试力量达标1．假设sinα＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α＝________.解析：由sinα＋sin2α＝1得sinα＝1—sin2α＝cos2α，那么cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.答案：12．eq\f(1＋sinθ,cosθ)＝－eq\f(1,2)，那么eq\f(cosθ,sinθ－1)的值是________．解析：设eq\f(cosθ,sinθ－1)＝t，那么eq\f(1＋sinθ,cosθ)·eq\f(sinθ－1,cosθ)＝eq\f(sin2θ－1,cos2θ)＝－1＝－eq\f(1,2t)，解得t＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．假设sinα＋cosα＝1，那么sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．解析：∵sinα＋cosα＝1，∴(sinα＋cosα)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinαcosα＝0，∴sinα＝0或cosα＝0，当sinα＝0时，cosα＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；当cosα＝0时，sinα＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，∴sinnα＋cosnα＝1.答案：14．假设sinθ＝eq\f(k＋1,k－3)，cosθ＝eq\f(k－1,k－3)，且θ的终边不落在坐标轴上，那么tanθ＝________.解析：由于sin2θ＋cos2θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,k－3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－1,k－3)))2k2＋6k－7＝0，所以k＝1或kk＝1时，cosθ不符合，舍去．当k＝－7时，sinθ＝eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)，tanθ＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)5．sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，那么eq\f(1,sin2α)＋eq\f(1,cos2α)的值为________．解析：由sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝1＋2sinαcosα＝eq\f(1,2)，于是sinαcosα＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(1,sin2α)＋eq\f(1,cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sin2αcos2α)＝16.答案：166．假设0<α<eq\f(π,2)，那么eq\r(1－2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＋eq\r(1＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＝________.解析：由0<α<eq\f(π,2)，得0<eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，所以coseq\f(α,2)>sineq\f(α,2)>0，所以原式＝eq\r(sin2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＋eq\r(sin2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2)＝coseq\f(α,2)－sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＋sineq\f(α,2)＝2coseq\f(α,2).答案：2coseq\f(