高一数学苏教版必修四讲义第1章12122同角三角函数关系_第1页
高一数学苏教版必修四讲义第1章12122同角三角函数关系_第2页
高一数学苏教版必修四讲义第1章12122同角三角函数关系_第3页
高一数学苏教版必修四讲义第1章12122同角三角函数关系_第4页
高一数学苏教版必修四讲义第1章12122同角三角函数关系_第5页
已阅读5页,还剩6页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1.2.2同角三角函数关系预习课本P16~17,思索并完成以下问题1.对于角α,sinα与cosα有什么关系?2.对于角α,eq\f(sinα,cosα)的值与tanα有什么关系?3.sinα,cosα和tanα其中的一个值,如何求其余两个值?eq\a\vs4\al([新知初探])同角三角函数的根本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:tan_α=eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z)).[点睛](1)同角三角函数关系中要求“角相同〞.(2)同角三角函数关系对使等式有意义的“任意〞角都成立.eq\a\vs4\al([小试身手])1.α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),sinα=eq\f(3,5),那么cosα=________.答案:-eq\f(4,5)2.sinα=eq\f(5,13),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),那么tanα=________.答案:-eq\f(5,12)3.假设tanα=2,那么eq\f(sinα+cosα,sinα-cosα)+cos2α=________.解析:eq\f(sinα+cosα,sinα-cosα)+cos2α=eq\f(sinα+cosα,sinα-cosα)+eq\f(cos2α,sin2α+cos2α)=eq\f(tanα+1,tanα-1)+eq\f(1,tan2α+1)=eq\f(16,5).答案:eq\f(16,5)4.化简:cos4α+sin2αcos2α+sin2α=________.解析:cos4α+sin2αcos2α+sin2α=cos2α(cos2α+sin2α)+sin2α=cos2α+sin2α=1.答案:1利用同角根本关系式求值[典例](1)sinα=eq\f(12,13),且α是其次象限角,求cosα和tanα.(2)sinα+2cosα=0,求2sinαcosα-cos2α的值.[解](1)cos2α=1-sin2α=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2,又α是其次象限角,所以cosα<0,cosα=-eq\f(5,13),tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(12,5).(2)由sinα+2cosα=0,得tanα=-2.所以2sinαcosα-cos2α=eq\f(2sinαcosα-cos2α,sin2α+cos2α)=eq\f(2tanα-1,tan2α+1)=eq\f(-4-1,4+1)=-1.某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值时要留意:(1)角所在的象限;(2)用平方关系求值时,所求三角函数的符号由角所在的象限打算;(3)用商数关系时,不要另加符号,只需用公式tanα=eq\f(sinα,cosα)代入sinα,cosα的值即可求得tanα.[活学活用]1.假设sinα=-eq\f(4,5),且α是第三象限角,求cosα,tanα的值.解:∵sinα=-eq\f(4,5),α是第三象限角,∴cosα=-eq\r(1-sin2α)=-eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,5)))2)=-eq\f(3,5),tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(5,3)))=eq\f(4,3).2.tanα=2,求eq\f(2sinα-2cosα,4sinα-9cosα)的值.解:∵tanα=2,∴eq\f(2sinα-2cosα,4sinα-9cosα)=eq\f(2tanα-2,4tanα-9)=eq\f(2×2-2,4×2-9)=-2.三角函数式的化简[典例]化简:eq\f(tanα+tanαsinα,tanα+sinα)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,cosα)))·eq\f(sinα,1+sinα).[解]原式=eq\f(tanα1+sinα,tanα+sinα)·eq\f(1+cosα,cosα)·eq\f(sinα,1+sinα)=eq\f(\f(sinα,cosα),\f(sinα,cosα)+sinα)·eq\f(1+cosα,cosα)·sinα=eq\f(1,1+cosα)·eq\f(1+cosα,cosα)·sinα=eq\f(sinα,cosα)=tanα.化简三角函数式的常用方法(1)切化弦,即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数,从而削减函数种类以便化简.(2)对含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号到达化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或用“1〞的代换,以降低函数次数,到达化简目的.[活学活用]化简:(1)eq\f(cos36°-\r(1-cos236°),\r(1-2sin36°cos36°));(2)eq\f(sinθ-cosθ,tanθ-1).解:(1)原式=eq\f(cos36°-\r(sin236°),\r(sin236°+cos236°-2sin36°cos36°))=eq\f(cos36°-sin36°,\r(cos36°-sin36°2))=eq\f(cos36°-sin36°,|cos36°-sin36°|)=eq\f(cos36°-sin36°,cos36°-sin36°)=1.(2)原式=eq\f(sinθ-cosθ,\f(sinθ,cosθ)-1)=eq\f(cosθsinθ-cosθ,sinθ-cosθ)=cosθ.证明简洁的三角恒等式[典例]求证:eq\f(tanα·sinα,tanα-sinα)=eq\f(tanα+sinα,tanαsinα).[证明]法一:左边=eq\f(tanα·sinαtanα+sinα,tan2α-sin2α)=eq\f(tanα·sinαtanα+sinα,tan2α-tan2α·cos2α)=eq\f(tanα·sinαtanα+sinα,tan2α1-cos2α)=eq\f(tanα·sinαtanα+sinα,tan2α·sin2α)=eq\f(tanα+sinα,tanα·sinα)=右边,∴原等式成立.法二:右边=eq\f(tan2α-sin2α,tanα-sinαtanαsinα)=eq\f(tan2α-tan2αcos2α,tanα-sinαtanαsinα)=eq\f(tan2α1-cos2α,tanα-sinαtanαsinα)=eq\f(tan2αsin2α,tanα-sinαtanαsinα)=eq\f(tanαsinα,tanα-sinα)=左边,∴原等式成立.法三:左边=eq\f(tanα·sinα,tanα-tanαcosα)=eq\f(sinα,1-cosα),右边=eq\f(tanα+tanαcosα,tanαsinα)=eq\f(1+cosα,sinα)=eq\f(1-cos2α,sinα1-cosα)=eq\f(sin2α,sinα1-cosα)=eq\f(sinα,1-cosα),∴左边=右边,原等式成立.法四:∵eq\f(tanα·sinα,tanα-sinα)-eq\f(tanα+sinα,tanα·sinα)=eq\f(tan2α·sin2α-tan2α-sin2α,tanαsinαtanα-sinα)=eq\f(tan2α·sin2α-tan2α+sin2α,tanαsinαtanα-sinα)=eq\f(tan2αsin2α-1+sin2α,tanαsinαtanα-sinα)=eq\f(-tan2αcos2α+sin2α,tanαsinαtanα-sinα)=eq\f(-sin2α+sin2α,tanαsinαtanα-sinα)=0,∴eq\f(tanαsinα,tanα-sinα)=eq\f(tanα+sinα,tanα·sinα).法五:∵(tanα-sinα)(tanα+sinα)=tan2α-sin2α=tan2α-tan2α·cos2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α·sin2α,∴eq\f(tanαsinα,tanα-sinα)=eq\f(tanα+sinα,tanαsinα).证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开头,证得它等于另一边,一般是由比拟简单的一边开头化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.(3)综合法:即由一个成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.(4)比拟法:即证左边-右边=0或证eq\f(左边,右边)=1.[活学活用]1.求证:eq\f(1+2sinxcosx,cos2x-sin2x)=eq\f(1+tanx,1-tanx).证明:法一:右边=eq\f(1+\f(sinx,cosx),1-\f(sinx,cosx))=eq\f(cosx+sinx,cosx-sinx)=eq\f(cosx+sinx2,cosx-sinxcosx+sinx)=eq\f(cos2x+sin2x+2sinxcosx,cos2x-sin2x)=eq\f(1+2sinxcosx,cos2x-sin2x)=左边,∴原式成立.法二:左边=eq\f(sin2x+cos2x+2sinxcosx,cos2x-sin2x)=eq\f(sinx+cosx2,cosx+sinxcosx-sinx)=eq\f(sinx+cosx,cosx-sinx)=eq\f(tanxcosx+cosx,cosx-tanxcosx)=eq\f(1+tanx,1-tanx)=右边,∴原式成立.2.求证:eq\f(sinα-cosα+1,sinα+cosα-1)=eq\f(1+sinα,cosα).证明:左边=eq\f(sinα-cosα+1sinα+cosα+1,sinα+cosα-1sinα+cosα+1)=eq\f(sinα+12-cos2α,sinα+cosα2-1)=eq\f(sin2α+2sinα+1-cos2α,1+2sinαcosα-1)=eq\f(2sinα1+sinα,2sinαcosα)=eq\f(1+sinα,cosα)=右边.∴原等式成立.层级一学业水平达标1.α为钝角,sinα=eq\f(1,3),那么tanα=________.解析:由于α为钝角,sinα=eq\f(1,3),所以cosα=-eq\r(1-sin2α)=-eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)=-eq\f(2\r(2),3).所以tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(\f(1,3),\f(-2\r(2),3))=-eq\f(\r(2),4).答案:-eq\f(\r(2),4)2.假设sinθ=-eq\f(4,5),tanθ>0,那么cosθ=________.解析:由题意知,θ为第三象限角,所以cosθ=-eq\r(1-sin2θ)=-eq\f(3,5).答案:-eq\f(3,5)3.α是其次象限角,tanα=-eq\f(1,2),那么cosα=________.解析:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α+cos2α=1,,\f(sinα,cosα)=-\f(1,2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα=\f(\r(5),5),,cosα=-\f(2\r(5),5).))答案:-eq\f(2\r(5),5)4.sinxcosx=eq\f(1,6),且eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2),那么cosx-sinx的值等于________.解析:由于(cosx-sinx)2=1-2sinxcosx=eq\f(2,3),又eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2),所以cosx<sinx,所以cosx-sinx=-eq\f(\r(6),3).答案:-eq\f(\r(6),3)5.eq\f(sinθ+cosθ,sinθ-cosθ)=2,那么sinθcosθ=________.解析:由条件得sinθ+cosθ=2sinθ-2cosθ,即3cosθ=sinθ,tanθ=3,所以sinθcosθ=eq\f(sinθcosθ,sin2θ+cos2θ)=eq\f(tanθ,tan2θ+1)=eq\f(3,32+1)=eq\f(3,10).答案:eq\f(3,10)6.假设α为第三象限角,那么eq\f(cosα,\r(1-sin2α))+eq\f(2sinα,\r(1-cos2α))=________.解析:∵α为第三象限角,∴原式=eq\f(cosα,-cosα)+eq\f(2sinα,-sinα)=-3.答案:-37.化简:eq\f(\r(1-2sin40°cos40°),cos40°-\r(1-sin250°))=________.解析:eq\f(\r(1-2sin40°cos40°),cos40°-\r(1-sin250°))=eq\f(\r(sin40°-cos40°2),cos40°-sin40°)=eq\f(cos40°-sin40°,cos40°-sin40°)=1.答案:18.tanα+sinα=a(a≠0),tanα-sinα=b,那么cosα=________.解析:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα+sinα=aa≠0,,tanα-sinα=b,))解得tanα=eq\f(a+b,2),sinα=eq\f(a-b,2),∴cosα=eq\f(1,tanα)·sinα=eq\f(2,a+b)×eq\f(a-b,2)=eq\f(a-b,a+b).答案:eq\f(a-b,a+b)9.化简:eq\f(1-cos4α-sin4α,1-cos6α-sin6α).解:原式=eq\f(1-cos4α-sin4α,1-cos6α-sin6α)=eq\f(1-cos2α1+cos2α-sin4α,1-cos2α1+cos2α+cos4α-sin6α)=eq\f(sin2α1+cos2α-sin4α,sin2α1+cos2α+cos4α-sin6α)=eq\f(1+cos2α-sin2α,1+cos2α+cos4α-sin4α)=eq\f(2cos2α,1+cos2α+cos2α+sin2αcos2α-sin2α)=eq\f(2cos2α,1+cos2α+cos2α-sin2α)=eq\f(2cos2α,3cos2α)=eq\f(2,3).10.sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根(a∈R).(1)求sin3θ+cos3θ的值;(2)求tanθ+eq\f(1,tanθ)的值.解:(1)由根与系数的关系知:sinθ+cosθ=a,sinθ·cosθ=a.由于(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,所以a2=1+2a.解得a=1-eq\r(2)或a=1+eq\r(2).由于sinθ≤1,cosθ≤1,所以sinθcosθ≤1,即a≤1,所以a=1+eq\r(2)舍去.所以sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=a(1-a)=eq\r(2)-2.(2)tanθ+eq\f(1,tanθ)=eq\f(sinθ,cosθ)+eq\f(cosθ,sinθ)=eq\f(sin2θ+cos2θ,sinθcosθ)=eq\f(1,sinθcosθ)=eq\f(1,a)=eq\f(1,1-\r(2))=-1-eq\r(2).层级二应试力量达标1.假设sinα+sin2α=1,那么cos2α+cos4α=________.解析:由sinα+sin2α=1得sinα=1—sin2α=cos2α,那么cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1.答案:12.eq\f(1+sinθ,cosθ)=-eq\f(1,2),那么eq\f(cosθ,sinθ-1)的值是________.解析:设eq\f(cosθ,sinθ-1)=t,那么eq\f(1+sinθ,cosθ)·eq\f(sinθ-1,cosθ)=eq\f(sin2θ-1,cos2θ)=-1=-eq\f(1,2t),解得t=eq\f(1,2).答案:eq\f(1,2)3.假设sinα+cosα=1,那么sinnα+cosnα(n∈Z)的值为________.解析:∵sinα+cosα=1,∴(sinα+cosα)2=1,又sin2α+cos2α=1,∴sinαcosα=0,∴sinα=0或cosα=0,当sinα=0时,cosα=1,此时有sinnα+cosnα=1;当cosα=0时,sinα=1,也有sinnα+cosnα=1,∴sinnα+cosnα=1.答案:14.假设sinθ=eq\f(k+1,k-3),cosθ=eq\f(k-1,k-3),且θ的终边不落在坐标轴上,那么tanθ=________.解析:由于sin2θ+cos2θ=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k+1,k-3)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k-1,k-3)))2k2+6k-7=0,所以k=1或kk=1时,cosθ不符合,舍去.当k=-7时,sinθ=eq\f(3,5),cosθ=eq\f(4,5),tanθ=eq\f(3,4).答案:eq\f(3,4)5.sinα+cosα=eq\f(\r(2),2),那么eq\f(1,sin2α)+eq\f(1,cos2α)的值为________.解析:由sinα+cosα=eq\f(\r(2),2),可得sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=eq\f(1,2),于是sinαcosα=-eq\f(1,4),所以eq\f(1,sin2α)+eq\f(1,cos2α)=eq\f(sin2α+cos2α,sin2αcos2α)=16.答案:166.假设0<α<eq\f(π,2),那么eq\r(1-2sin\f(α,2)cos\f(α,2))+eq\r(1+2sin\f(α,2)cos\f(α,2))=________.解析:由0<α<eq\f(π,2),得0<eq\f(α,2)<eq\f(π,4),所以coseq\f(α,2)>sineq\f(α,2)>0,所以原式=eq\r(sin2\f(α,2)-2sin\f(α,2)cos\f(α,2)+cos2\f(α,2))+eq\r(sin2\f(α,2)+2sin\f(α,2)cos\f(α,2)+cos2\f(α,2))=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)-cos\f(α,2)))2)+eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)+cos\f(α,2)))2)=coseq\f(α,2)-sineq\f(α,2)+coseq\f(α,2)+sineq\f(α,2)=2coseq\f(α,2).答案:2coseq\f(

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论