高中数学人教A版选修22讲义复习课（一）导数及其应用

复习课(一)导数及其应用导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能消失，一般难度较小．(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．eq\a\vs4\al([考点精要])(1)切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)求解．[典例](2017·天津高考)a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，那么l在y轴上的截距为________．[解析]由于f′(x)＝a－eq\f(1,x)，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.[答案]1[类题通法]利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况(1)假设点是切点，那么在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)假如点不是切点，那么应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[留意]曲线与直线相切并不肯定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．eq\a\vs4\al([题组训练])1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1解析：选A由于y′＝ex＋xex＋2，所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝3，∴切线方程为y＝3x－1.2．曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线相互垂直，那么x0的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3,3),3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3,9),3)解析：选Dy＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－eq\f(1,2)x2⇒y′＝－x，由题意得3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，解得xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,3)，即x0＝eq\r(3,\f(1,3))＝eq\f(\r(3,9),3)，应选D.导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，假设以选择题、填空题的形式消失，那么难度以中、低档为主，假设以解答题形式消失，难度那么以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或推断函数的单调性等问题。eq\a\vs4\al([考点精要])函数的单调性与导函数值的关系假设函数f(x)在(a，b)内可导，那么f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．特殊要留意写单调区间时，区间之间用“和〞或“，〞隔开，肯定不能用“∪〞连接．[典例](2017·全国卷Ⅲ节选)函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x，争论f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq\f(x＋12ax＋1,x).假设a≥0，那么当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．假设a＜0，那么当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)＞0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)＜0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[留意]求函数单调区间肯定要先确定函数定义域，往往因无视函数定义域而导致错误．eq\a\vs4\al([题组训练])1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选C由题意得f′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x)，且x>0，由f′(x)>0，即4x2－1>0，解得x>eq\f(1,2).应选C.2．函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－aex.(1)假设a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)假设f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－ex，那么f(1)＝－eq\f(1,2)×12＋2×1－e＝eq\f(3,2)－e，f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－e))＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋eq\f(1,2).(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∵f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，即a≤eq\f(2－x,ex)在R上恒成立，令g(x)＝eq\f(2－x,ex)，那么g′(x)＝eq\f(x－3,ex)，令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：x(－∞，3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋g(x)减微小值－eq\f(1,e3)增故函数g(x)在x＝3处取得微小值，亦即最小值，即g(x)min＝－eq\f(1,e3)，所以a≤－eq\f(1,e3)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e3))).导数与函数的极值、最值从高考运用状况看，利用导数争论函数极值、最值是导数应用的核心局部，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．eq\a\vs4\al([考点精要])1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．利用导数求函数极值应留意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原那么；(2)f′(x0)＝0时，x0不肯定是极值点；(3)求最值时，应留意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类争论．[典例](2017·北京高考)函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[解](1)由于f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又由于f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，那么h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减．所以对任意x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减．因此f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为f(0)＝1，最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2).[类题通法]1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比拟得出函数f(x)在[a，b]上的最值．eq\a\vs4\al([题组训练])1．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有微小值，无极大值 B．无微小值，有极大值C．无微小值，无极大值 D．有微小值，有极大值解析：选Df′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得xx∈(－1,1)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，∴当x＝－1时，函数有微小值－1，当x＝1时，函数有极大值3，应选D.2．函数f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)(x≥1)，(1)试推断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)假设f(x)≥eq\f(k,x＋1)恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝－eq\f(lnx,x2)，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0.故函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵x≥1，∴f(x)≥eq\f(k,x＋1)⇔eq\f(x＋11＋lnx,x)≥k，令g(x)＝eq\f(x＋11＋lnx,x)，∴g′(x)＝eq\f([x＋11＋lnx]′x－x＋11＋lnx,x2)＝eq\f(x－lnx,x2).再令h(x)＝x－lnx，那么h′(x)＝1－eq\f(1,x).∵x≥1，那么h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.故实数k的取值范围为(－∞，2].生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所表达，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．eq\a\vs4\al([考点精要])[解答思路][典例]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建筑本钱仅与外表积有关，侧面的建筑本钱为100元/平方米，底面的建筑本钱为160元/平方米，该蓄水池的总建筑本钱为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)争论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)由于蓄水池侧面的总本钱为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总本钱为160πr2元，所以蓄水池的总本钱为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．由于r＞0，又由h＞0可得r＜5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．(2)由于V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，依据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的全部实数根．(3)比拟导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，依据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．eq\a\vs4\al([题组训练])1．书店估计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，假如每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书匀称投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书匀称投放市场，那么平均库存量为批量一半，即eq\f(x,2)，故有y＝eq\f(150,x)×30＋eq\f(x,2)×40，y′＝－eq\f(4500,x2)＋20＝eq\f(20x＋15x－15,x2)，∴当0＜x＜15时，y′＜0，当15＜x＜150时，y′＞0.故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为eq\f(150,15)＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：10150002．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，那么Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝eq\f(3,500).∴Q＝eq\f(3,500)x3.∴总费用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x).∵y′＝eq\f(6x,500)－eq\f(96,x2).令y′＝0，得x＝20.∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．定积分及应用定积分及应用在高考中单独考查较少，其难度较低，有时消失在与其他学问交汇考查中．eq\a\vs4\al([考点精要])常见求定积分的公式(1)eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xndx＝eq\f(1,n＋1)xn＋1eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a))(n≠－1)；(2)eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))Cdx＝Cxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a))(C为常数)；(3)eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a))；(4)eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))cosxdx＝sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a))；(5)eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a))；(6)eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))exdx＝exeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a)).[典例]曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．[解析]令2sinx＝1，得sinx＝eq\f(1,2)，当x∈[0，π]时，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6)，所以所求面积S＝eq\a\vs4\al(∫\f(5π,6)\f(π,6))(2sinx－1)dx＝(－2cosx－x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6),\f(π,6)))＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).[答案]2eq\r(3)－eq\f(2π,3)[类题通法]利用定积分求平面图形面积的一般步骤(1)画出草图；(2)分析围成平面图形的各曲线与直线，求出交点坐标，确定积分的上、下限，及被积函数；(3)将平面图形的面积表示成一个定积分或假设干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．eq\a\vs4\al([题组训练])1．假设eq\a\vs4\al(∫\f(π,2)0)(sinx－acosx)dx＝2，那么实数a等于()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：选A由题知(－cosx－asinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝1－a＝2，a＝－1.2.eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))(eq\r(1－x2)＋x)dx＝()A．πB.eq\f(π,2)C．π＋1 D．π－1解析：选Beq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))(eq\r(1－x2)＋x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))eq\r(1－x2)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))xdx＝eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\f(π,2).应选B.1．定积分eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(1＋x2,x)dx的值为()A.eq\f(3,2)＋ln2 B.eq\f(3,4)C．3＋ln2 D.eq\f(1,2)解析：选Aeq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(1＋x2,x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x))dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\f(1,x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))xdx＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1))＋eq\f(1,2)x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1))＝ln2－ln1＋eq\f(1,2)×22－eq\f(1,2)×12＝eq\f(3,2)＋ln2.应选A.2．函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有极值，那么c的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析：选A由题意得f′(x)＝x2－x＋c，假设函数f(x)有极值，那么Δ＝1－4c＞0，解得c＜eq\f(1,4).3．函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，那么该函数的一个递增区间是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：选B由于函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得af′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．f(x)＝3x2＋lnx，那么eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,Δx)＝()A．7 B．eq\f(7,3)C．21 D．－21解析：选C∵f′(x)＝6x＋eq\f(1,x)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,Δx)＝3eq\o(lim,\s\do4(3Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,3Δx)＝3f′(1)＝21，选C.5．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．e B．1C．－1 D．－e解析：选C函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，应选C.6．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2＋2x，假设存在满意0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，那么实数m的取值范围是()A．[6，＋∞) B．(－∞，2]C．[2,6] D．[5,6]解析：选Cf′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，由于x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又由于切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．7．曲线y＝eq\f(cosx,x)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为________．解析：∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，∴切线的斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝\f(π,2)))＝－eq\f(2,π).∴所求切线的方程为y－0＝－eq\f(2,π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，即y＝－eq\f(2,π)x＋1.答案：y＝－eq\f(2,π)x＋18．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(4－x2)，－2≤x≤0，,x＋2，0<x≤2，))那么eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))f(x)dx＝________.解析：由题意可得，eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－2,0,))eq\r(4－x2)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(x＋2)dx＝eq\f(1,4)×π×22＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0))＝π＋6.答案：π＋69．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，假设x1＜2＜x2，那么实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满意x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.答案：(2,6)10．函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2＋4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.(1)求a，b的值；(2)争论f(x)的单调性，并求f(x)的微小值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4.∵曲线在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.∴f(0)＝－3，f′(0)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,a＋b＋4＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.))(2)由(1)，知f(x)＝ex(x－3)－x2＋4x，f′(x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2)(ex－2)．令f′(x)＝0，得x＝ln2或x＝2.∴当x∈(－∞，ln2)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，ln2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减．∴当x＝2时，函数f(x)取得微小值，且微小值为f(2)＝4－e2.11．某工厂某种产品的年产量为1000x吨，其中x∈[20,100]，需要投入的本钱为C(x)(单位：万元)，当x∈[20,80]时，C(x)＝eq\f(1,2)x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝eq\f(20000,\r(x)).假设每吨商品售价为eq\f(lnx,x)万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)＝1000lnx－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000lnx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－30x＋500))，x∈[20，80]，,1000lnx－\f(20000,\r(x))，x∈80，100].))(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－eq\f(x－50x＋20,