中考数学总复习解答题重点难点题型解法汇总附带详细解析过程

中考数学总复习解答题重点难点题型解法汇总

(附带详细解析过程)

一、简单几何图形的证明与计算

1.特殊四边形的探究

2.几何问题的证明与计算

二、解直角三角形的实际应用试题

三、反比例函数与一次函数综合题试题

四、函数与方程的实际应用试题

五、几何图形探究题试题

1.几何图形静态探究

2.几何图形动态探究

六、二次函数与几何图形综合题试题

1.二次函数与图形判定

2.二次函数与图形面积

3.二次函数与线段问题

4.二次函数与三角形相似

题型一简单几何图形的证明与计算

类型一特殊四边形的探究

1.如图，在欣ZXABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,以边AC上一点0为圆心，0A为半

径作。0,恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.

(1)求证：BD是。。的切线；

(2)若BC=2，5,E是半圆刷上一动点，连接AE、AD、DE.

填空：

①当病的长度是时，四边形ABDE是菱形；

②当珑的长度是时，4ADE是直角三角形.

⑴证明：连接0D,如解图，

VZBAC=90°,点D为BC的中点，

，DB=DA=DC,

VZB=60°,...△ABD为等边三角形，

.,.ZDAB=ZADB=60°,ZDAC=ZC=30°,而OA=OD,

AZ0DA=Z0AD=30°,

.,.Z0DB=60°+30°=90°,

.-.0D±BC,又TOD是。0的半径，

；.BD是。。的切线；

⑵解：①连接0D、0E,•.'△ABD为等边三角形，

.,.AB=BD=AD=CD=A/3,

在服aODC中，OD=芈CD=L

当DE〃AB时，DE±AC,.*.AD=AE,

VZADE=ZBAD=60°,

.'.△ADE为等边三角形，

.*.AD=AE=DE,ZADE=60°,AZA0E=2ZADE=120°,.\AB=BD=DE=AE,

四边形ABDE为菱形，

.....120•n•12

=n

此时，的长度=l7o^U7oQt

180•JT•1

②当NADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度=-而一="，

loU

60•开•11

当NDAE=90°时，DE为直径，ZA0E=2ZADE=60°,此时的长度=-两一万,

loU6

所以当的长度为:万或万时，AADE是直角三角形.

O

2.如图，已知。0的半径为1,AC是。。的直径，过点C作。0的切线BC,E是BC的中

点，AB交。。于D点.

(1)直接写出ED和EC的数量关系：；

(2)DE是。。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；

(3)填空：当BC=时，四边形AOED是平行四边形，同时以点0、D、E、C为

顶点的四边形是.

解：(1)连接CD,如解图,

「AC是。。的直径，.,.ZADC=90°,

•••E是BC的中点，

.\DE=CE；

(2)DE是。。的切线.理由如下：

连接0D,如解图，

TBC为切线，.•.0CJ_BC,

AZ0CB=90o,即N2+N4=90°,

V0C=0D,ED=EC,.*.Z1=Z2,Z3=Z4,

.,.Zl+Z3=Z2+Z4=90°,即N0DE=90°,/.0D±DE,

...DE是。。的切线；

⑶当BC=2时，

VCA=CB=2,...△ACB为等腰直角三角形，，NB=45°,

.'.△BCD为等腰直角三角形，Z.DE1BC,DE=|BC=1,

V0A=DE=l,A0〃DE,四边形A0ED是平行四边形；

VOD=OC=CE=DE=1,Z0CE=90°,

：.四边形OCED为正方形.

3.如图，在菱形ABCD中，NABC=60°,BC=5M，点E从点A出发沿射线AD以1M/S

的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cWs的速度运动，设运动时间为t(s).

(1)连接EF,当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGEgZ\BGF；

(2)填空:

①当t为s时，4ACE的面积是4FCE的面积的2倍;

②当t为s时，四边形ACFE是菱形.

(1)证明：TG为BD的中点，

；.BG=DG,

•.•四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

:.ZEDG=ZFBG,ZGED=ZGFB,

.,.△DGE^ABGF(AAS)；

(2)解：①分两种情况考虑：当点F在线段BC上时，如解图①，连接AC,EC,设菱形

ABCD边BC上的高为h,由题意知S4ACE=：AE•h,SAFCE=^CF•h,〈△ACE的面积是4

FCE的面积的2倍，...施•h=2X/F•h,/.AE=2CF,VAE=t,CF=5-2t,.\t=2(5-

2t),解得t=2；当点F在线段BC的延长线上时，如解图②，连接AC,EC,AE=t,CF=2t

一5,'.•△ACE的面积是4FCE的面积的2倍，，AE=2CF,，t=2(2t-5),解得t=当；

②;四边形ABCD为菱形，r.AB=BC,VZABC=60°,.'.△ABC为等边三角形，；.AC=

AB=5,当四边形ACFE为菱形时，则AE=AC=CF=5,即t=5.

4.如图，AC是DABCD的一条对角线，过AC中点0的直线分别交AD,BC于点E,F.

(1)求证:AE=CF；

(2)连接AF,CE.

①当EF和AC满足条件_________时，四边形AFCE是菱形；

(!)若AB=1,BC=2,ZB=60°,则四边形AFCE为矩形时，EF的长是.

AED

(1)证明：•.•AD〃BC,.\ZEAO=ZFCO.

•.•0是AC的中点，.'.OAnOC,

在aAOE和aCOF中，

rZEAO=ZFCO

«OA=OC,

.ZAOE=ZCOF

.♦.△AOE四△COF(ASA).

.*.AE=CF.

⑵解：①当EF和AC满足条件EF_LAC时，四边形AFCE是菱形;

如解图所示，

VAE/7CF,AE=CF,

...四边形AFCE是平行四边形，

又「EF_LAC,.•.四边形AFCE是菱形；

②若四边形AFCE为矩形，

则EF=AC,ZAFB=ZAFC=90°,

VAB=1,BC=2,ZB=60°,.\ZBAF=30°,

.*.BF=|AB=1,

.,.AF=/BF=乎,CF=2—1=1，

；.AC=qAF2+CF2=

/.EF=V3.

类型二几何问题的证明与计算

1.如图，AB为。0的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作

。。的切线，交BA的延长线于点E.

(1)求证:AC/7DE；

(2)连接CD,若0A=AE=2时，求出四边形ACDE的面积.

证明：(l)TF为弦AC的中点，

.\AF=CF,/.OD1AC,

•.,DE切。0于点D,.-.OD±DE,

；.AC〃DE；

(2)VAC/7DE,且OA=AE,

...F为OD的中点，即OF=FD,

又TAF=CF,

ZAF0=ZCFD,

.♦.△AFO四△CFD(SAS),.*.SAAFO=SACFD,，S四边形ACDE=SaODE.

在RtZ\ODE中，0D=0A=AE=2,

.\0E=4,

:.DE=^0E2-0D2=742-22=2/,

AS四边形ACDE=Sz^ODE=:•OD・DE=：X2X2，§=2M§.

乙乙

2.如图，在nABCD中，DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：Z\ADE丝AFCE；

⑵若AB=2BC,NF=36°.求NB的度数.

FCB

(1)证明：•..四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD/7BC,AD=BC,

.\ZD=ZECF,

在4ADE和4FCE中,

"ND=NECF

«DE=CE,

、NAED=NFEC

.,.△ADE^AFCE(ASA)；

⑵解：VAADE^AFCE,，AD=FC,

VAD=BC,AB=2BC,.*.AB=FB,

.,.ZBAF=ZF=36°，，NB=180°-2X36°=108°.

3.如图，AABC内接于。0,且AB为。。的直径，OD1AB,与AC交于点E,与过点C的

O0的切线交于点D.

⑴若AC=4,BC=2,求0E的长.

(2)试判断NA与NCDE的数量关系，并说明理由.

解：(1).；AB为。。的直径，...NACB=90°,

在RtZXABC中，由勾股定理得：AB=dAC2+BC2=q42+22=2

•*.0A=^AB=^/5,

VOD±AB,

.\ZA0E=ZACB=90o,

又＜NA=NA,

.,.△AOE^AACB,

.OEOAgnOE^5

•♦丽=丽，即万=4'

解得：0E=等;

(2)ZCDE=2ZA,理由如下：连接0C,如解图所示:

VOA=OC,.*.Z1=ZA,

•.'CD是。0的切线，.*.OC±CD,/.ZOCD=90°,

.*.Z2+ZCDE=90°,

VOD_LAB,/.Z2+Z3=90°,.\Z3=ZCDE,

VZ3=ZA+Z1=2ZA,

/.ZCDE=2ZA.

4.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B,D重合)，GE_LDC于点E,

GFJ_BC于点F,连接AG.

(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系，并说明理由；

(2)若正方形ABCD的边长为1,ZAGF=105°,求线段BG的长.

解：(1)结论：AG2=GE2+GF2.

理由：如解图，连接CG.

•.•四边形ABCD是正方形，...A、C关于对角线BD对称,

•.•点G在BD上，.-.GA=GC,

•.•GE_LDC于点E,GF_LBC于点F,

AZGEC=ZECF=ZCFG=90°,

:.四边形EGFC是矩形，CF=GE,

在RtaGFC中，VCG2=GF2+CF2,，AG2=GF2+GE2；

(2)如解图，作AH_LBG于点H,

由题意得NAGB=60°,ZABH=45°,.'.△ABH是等腰直角三角形,

\[2乖乖

VAB=1.,HG=¥，.・M=国黄

题型二解直角三角形的实际应用

1.如图①，②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与

支架AC所成的角NACB=75°,支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=

1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角NFHE=60°,求篮框D到地面的距离.（精确

到0.01米）（参考数据：cos75°心0.2588,si由5°20.9659,•75°弋3.732,小71.732,

啦心1.414）

图①图②

解：如解图，延长FE交CB的延长线于M,过A作AG_LFM于G,

在RtAABC中，tanZACB=^r,

DL

.\AB=BC•tan75°=0.60X3.732=2.2392米，

.\GM=AB=2.2392米，

FGFG

在RtAAGF中，VZFAG=ZFHE=60°,sinZFAG=—,/.sin60o=—AFG

Al*D/

=2.17米，，DM=FG+GM—DF=3.06米.

答：篮框D到地面的距离是3.06米.

2.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是:

水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=l：1（即DB：EB=1：1）,如图所示，已知

AE=4米，ZEAC=130°,求水坝原来的高度BC.

（参考数据：s力?50°心0.77,cos50°弋0.64,tan50°2）

解：设BC=x米，在RtAABC中，ZCAB=180°-ZEAC=50°,

BCBC5BC5

tan50°1.26

在RtaEBD中，

Vi=DB：EB=1：1,.\BD=BE,

5

/.CD+BC=AE+AB,即2+x=4+^x,解得x=12,

o

即BC=12米，

答：水坝原来的高度约为12米.

3.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队

利用生命探测仪在地面A,B两个探测点探测到地下C处有生命迹象.已知A,B两点相距8

米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）.

A

C

4.

7

C

解：作CD_LAB交AB的延长线于点D,如解图所示,

由已知可得，

AB=8米,NCBD=45°,NCAD=30°,•.・心=合,BD=CD,

CDCD

AAB=AD-BD=^CD,o即n8=〒一CD,

3

解得，CD=（4小+4）米，

答：生命所在点C的深度是（4镉+4）米.

4.如图，地面上小山的两侧有A,B两地，为了测量A,B两地的距离，让一热气球从小

山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40"的速度直线飞行，10分钟后到达C

处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A,B两地的距离AB长.（结

果精确到0.1米，参考数据：s/n20°20.34,cos20°心0.94,tan20a^0.36,十七1.73,

啦q1.41）

解：如解图，过点C作CMJ_AB交AB延长线于点M,

由题意得：AC=40X10=400（米）.

在Rt△ACM中,VZA=30°,

.•@=]娜=200米，网="13泳=200米.

在RtaBCM中，Vtan20°=—,.\BM=200tan20°,

.*.AB=AM-BM=200V3-200tan20°=200（，§—tan200）弋274.0米，

答：A,B两地的距离AB长约为274.0米.

5.“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意

义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉.它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变

迁.桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥.

小芸和小刚分别在桥面上的A,B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面

的距离，AB=20加，小芸在A处测得NCAB=36°,小刚在B处测得NCBA=43°,求弧形钢

架拱梁顶部C处到桥面的距离.（结果精确到0.14（参考数据52/736°^0.59,。。536°心

0.81,tan36°-0.73,s，〃43°心0.68,cos43°20.73,tan430=«0.93）

解：如解图，过点C作CDJ_AB于D.设CD=x,

.,CDx

在RtZAkADC中，tan36o=/,.*.AD="l,

ADtan3o6co

,,CDx

在Rtz^BCD中，tan43°,BD=7~石丁，

DDtan4o

•，，0793+0773=20

解得x、8.2m.

答：拱梁顶部C处到桥面的距离&21n.

6.耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图①）.数学

兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A,B两点的俯角分别

为17.9。，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图②），

求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）.

（参考数据：sirf22°^0.37,cos22°心0.93,ta或2°心0.40,57/717.9°心0.31,

cosYl.9°-0.95,tanll.9°

解：根据题意，BC=142米，ZPBC=22°,ZPAC=17.9°,

PC

在RtAPBC中，tanNPBC=M，

DC

.,.PC=BC•tanZPBC=142•tan22°,

PC

在RtZ\PAC中，tanNPAC=77，

PC142tan22°142X0.40

总177.5米,

AC=tanNPAC=tanl7.9°0.32

.\AB=AC-BC=177.5-142^36米.

答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米.

7.风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如

图①），图②是从图①引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°,沿HA

方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片

的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°.已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处

的长度忽略不计），山高BG为10米，BG±HG,CH±AH,求塔杆CH的高.（参考数据：功〃55°

心1.4,3〃35°七0.7,52/755°弋0.8,s力?35°^0.6）

D

解：如解图，作BEJ_DH于点E,

则GH=BE,BG=EH=10米，

设AH=x,贝！|BE=GH=GA+AH=43+x,

在RSACH中，CH=AH•tanZCAH=tan55°•x,

.,.CE=CH-EH=tan55°•x-10,

VZDBE=45°,

；.BE=DE=CE+DC,即43+x=tan55°•x-10+35,

解得：x=45,

.\CH=tan55°•x=L4X45=63米.

答：塔杆CH的高约为63米.

8.一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方

向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B,C之间的距离为10海里，救援艇从港口A

出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度.（si力37°心0.6,cos31°心0.8,4心1.732,

结果取整数）

解：如解图，过点C作水平线，使得EFJ_AF,EF±EB,过点A作AD_LEB,

由题意得，ZFAB=60°,ZCBE=37°,/.ZBAD=30°,

•.,AB=20海里，.'.BDulO海里，

在RtaABD中，AD=dAB2—BD2=1M=17.32海里,

CE

在Rt^BCE中，sin37°=—,

DC

.,.CE=BC•sin37°=0.6X10=6海里，

BE

Vcos37°=—,/.EB=BC•cos37°=0.8X10=8海里，

DC

EF=AD=17.32海里，.*.FC=EF-CE=11.32海里，

AF=ED=EB+BD=18海里，

在RtAAFC中，AC=4AF2+FC2=qi82+lL322=21.26海里,

21.26X3g64海里/小时.

答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时.

题型三反比例函数与一次函数综合题

1.如图，AORQ是边长为蛆的等边三角形，若反比例函数y=K的图象过点P.

X

(1)求点P的坐标和k的值；

(2)若在这个反比例函数的图象上有两个点(x“y,),(X2,%),且X1VX2VO,请比较打

与丫2的大小.

解：(DTZkOPQ是边长为镜的等边三角形,

...点P的坐标为(斗，平)

•.•反比例函数的图象过点P,...平=壶，解得k=乎;

2

(2)•.1=^>0,.•.在每个象限，y随x增大而减小，在这个反比例函数的图象上有两

个点(xLyl)(x2,y2),且xlVx2V0,

.*.yl>y2.

2.如图，在矩形OABC中，0A=3,0C=2,点F是AB上的一个动点(F不与A,B重合)，

过点F的反比例函数y=K的图象与BC边交于点E.

X

⑴当F为AB的中点时，求该函数的解析式；

(2)当k为何值时，^EFA的面积最大，最大面积是多少？

解：(1)'.•在矩形OABC中，0A=3,0C=2,AB(3,2),

•••F为AB的中点，，F(3,1),

k

•.•点F在反比例函数y=-的图象上，，k=3,

X

.••该函数的解析式为y=丁

kk

(2)由题意知E,F两点坐标分别为E()2),F(3,-),

乙O

ASAEFA=^AF•BE=：X：k(3—：k)=:k—：k2=一：(k2—6k+9—9)=—：(k—3)2

/LiO/ZJ./JL/JL/

+3,

3

当k=3时，S有最大值，S最大=1

k

3.已知：如图，一次函数y=-2x+l与反比例函数y=^■的图象有两个交点A(—l,m)

和B,过点A作AE，x轴，垂足为点E；过点B作BD，y轴，垂足为点D,且点D的坐标为(0,

-2),连接DE.

(1)求k的值；

(2)求四边形AEDB的面积.

解：(1)如解图所示，延长AE,BD交于点C,则NACB=90°,

•••一次函数y=-2x+l的图象经过点A(-Lm),

；.m=2+l=3,；.A(—1,3),

•.•反比例函数y=［的图象经过A(—L3),

.#.k=-lX3=-3；

⑵•••BDLy轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,-2),

.•.令丫=-2,则一2=-2x+l,

33

x=~,即B(3，—2),—2),

35

/.AC=3-(-2)=5,BC=5—(-1)=5，

乙乙

四边形AEDB的面积=4ABC的面积一Z\CDE的面积=；AC•BC-|cE・CD=1x5X(-1

4乙乙乙乙

21

X2X1=—

4

4.如图I,设反比例函数的解析式为y=^(k>0).

(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值；

(2)若该反比例函数与过点M(—2,0)的直线1：y=kx+b的图象交于A,B两点，如图

所示，当△ABO的面积为学时，求直线1的解析式.

O

解：(1)由题意A(L2),

3k2

把A(L2)代入y=—,得到3k=2,；.k=可;

XJ

(2)把M(—2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,/.y=kx+2k,

f3k

y=—

由Jx,消去y得到x2+2x—3=0,解得x=-3或1,

、y=kx+2k

-k),A(l,3k),

,.,△ABO的面积为学，，：X2X3k+:><2Xk=¥，解得k=%

J//oo

48

工直线1的解析式为y=$x+*

oo

5.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=?(xV0)的图

X

象交于点B(—2,n),过点B作BC_Lx轴于点C,点D(3—3n,1)是该反比例函数图象上一点.

(1)求m的值；

(2)若NDBC=NABC,求一次函数y=kx+b的表达式.

解：(1)丁点皿一2,n)、D(3-3n,1)在反比例函数y=1(xVO)的图象上,

X

f-2n=mfn=3

•••QQ，解得武.

13—3n=m[m=-6

⑵由(1)知反比例函数解析式为y=-g,

Vn=3,.•.点B(—2,3)、D(—6,1),

如解图，过点D作DEJ_BC于点E,延长DE交AB于点F,

，ZDBE=ZFBE

在4DBE和4FBE中，〈BE=BE,

、NBED=NBEF=90°

.♦.△DBE0△FBE(ASA),.\DE=FE=4,.•.点F(2,1),

将点B(—2,3)、F(2,1)代入y=kx+b,

f-2k+b=3

>[2k+b=l'

r_l

解得<k=5,，¥=一1x+2.

、b=2

k

6.如图，已知矩形OABC中，0A=3,AB=4,双曲线y=.k>0)与矩形两边AB、BC分

别交于D、E,且BD=2AD.

(1)求k的值和点E的坐标；

(2)点P是线段0C上的一个动点，是否存在点P,使NAPE=90°,若存在，求出此时点

P的坐标，若不存在，请说明理由.

解：(1)VAB=4,BD=2AD,

4

.,.AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,.\AD=T,

o

4

又・・・(^=3,AD(-,3),

k4

•・•点D在双曲线丫=一上，.\k=-X3=4；

xo

,/四边形OABC为矩形，.\AB=0C=4,

...点E的横坐标为4.

4

把x=4代入y=］中，得y=L，E(4,1)；

(2)假设存在要求的点P坐标为(m,0),0P=m,CP=4-m.

,.,ZAPE=90°,AZAP0+ZEPC=90°,

XVZAP0+Z0AP=90°,/.ZEPC=Z0AP,

XVZA0P=ZPCE=90°,.,.AAOP^APCE,

.0A_0P._3__m

••记=击,•4=m=l,

解得m=l或m=3,

...存在要求的点P,使NAPE=90°,此时点P的坐标为(1,0)或(3,0).

311

7.如图，已知点A(l,a)是反比例函数y=一1的图象上一点，直线y=—那十万与反比

3

例函数y=-—的图象在第四象限的交点为点B.

X

(1)求直线AB的解析式；

(2)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P

的坐标.

解：(D把A(l,a)代入y=一|得a=—3,则A(l,-3),

解方程组，3，则B(3,-1),

y=2

设直线AB的解析式为y=kx+b,

把A(l,-3),B(3,一1)代入得

k=l

b=-4’

直线AB的解析式为y=x-4；

(2)如解图，直线AB交x轴于点Q,

当y=0时，X—4=0,解得x=4,则Q(4,0),

VPA-PB^AB(^P,A、B共线时取等号)，

...当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为(4,0).

Ik

8.如图，分别位于反比例函数y=iy=-在第一象限图象上的两点A、B,与原点0在

XX

同一直线上，且崇=;.

k

(1)求反比例函数y=［的表达式；

k

(2)过点A作x轴的平行线交y=《的图象于点C,连接BC,求AABC的面积.(导学号

95604296)

解：(1)如解图，作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F.

OA1OAOEEA1

VAAAOE-AABOF,-=^,

由点A在函数y=1的图象上，

X

1

皿八附从4曰/1、.OEm1EAm1

设A的坐标是（m,曾，••而=而=§，而=而=§，

33

/.0F=3m,BF=~,即B的坐标是（3m,一）.

mm

k3k

又,•,点8在丫=一的图象上，•••;;=二解得k=9,

XIDTJID

kQ

则反比例函数y=］的表达式是y=p

13

⑵由⑴可知,A（m,-）,B（3m,一），

mm

9

又已知过A作X轴的平行线交y=i的图象于点C.

AC的纵坐标是士

m

把y=5代入y=?得x=9nb；.C的坐标是（9m,

12

/.AC=9m-m=8m.ASAABC=-X8mX-=8.

Zm

题型四函数与方程的实际应用

1.“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自

驾出游.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)设租车时间为X小时，租用甲公司的车所需费用为.元，租用乙公司的车所需费用为

丫2元，分别求出y”丫2关于x的函数表达式；

(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.

甲公司:按H收取固定根

金80元，另外再按租车

时间计费；

乙公司：无固定租金，

直接以租车时间计费.

爸爸

每小时的租费3()元。

方案一：选择甲公司；

方案二：选择乙公司

选择哪个方案合理呢？

解：(1)设yl=klx+80,

把点(1,95)代入，可得95=kl+80,解得kl=15,

.,.yl=15x+80(x20)；

设y2=k2x,

把(1,30)代入,可得30=k2,即k2=30,

/.y2=30x(x20)；

(2)当yl=y2时，15x+80=30x,解得x=彳;

O

当yl>y2时，x<—；

O

当ylVy2时，x>-r-；

O

答：当租车时间为可小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于万小时，选择乙公

OO

司合算；当租车时间大于7小时，选择甲公司合算.

2.为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考

察，劲松公司有A,B两种型号的健身器材可供选择.

(1)劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年

每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；

(2)2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A,B两种型号的健身器材共

80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万

元，每套B型健身器材售价为1.5(l-n)万元.

①A型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%,市

政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

解：(D依题意得：2.5(l-n)2=1.6,则(l—n)2=0.64,

/.1—n=+0.8,

.\nl=0.2=20%,n2=1.8(不合题意，舍去).

答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；

(2)①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买(80-m)套，

依题意得：1.6m+l.5X(1-20%)X(80-m)^112,

整理，得L6m+96-L2mWL2,解得mW40,

答：A型健身器材最多可购买40套；

②设总的养护费用是y元，则

y=1.6X5%m+1.5X(1-20%)X15%X(80-m),

=—0.lm+14.4.

•.•一0.IVO,，y随m的增大而减小，.•.m=40时，y最小，

.*.m=40时，y最小=-0.1X40+14.4=10.4(万元).

又..TO万元V10.4万元，

答：该计划支出不能满足一年的养护需求.

3.如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：£/幼?)与速度x(单位：4力/力之间的

函数关系(30WxW120),已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h,耗

油量增加0.002L/km.

⑴当速度为50km/h.100km/h时，该汽车的耗油量分别为L/km.

__________L/km.

(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式.

(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

解：(1)设AB的解析式为：y=kx+b,

[30k+b=0.15[k=-0.001

把(30,0.15)和(60,0.⑵代入丫=1«+1)中得：一A解得]A

60k+b=0.12[b=0.18

:.线段AB所在直线解析式为y=-0.001x+0.18,

当x=50时，y=-0.001X50+0.18=0.13,

由线段BC上一点坐标(90,0.12)得：0.12+(100-90)X0.002=0.14,

:.当x=100时，y=0.14；

(2)由⑴得:线段AB的解析式为：y=-0.OOlx+0.18；

⑶设BC的解析式为y=kx+b,

把(90,0.12)和(100,0.14)代入y=kx+b中得：

[90k+b=0.12,fk=O.002

1100k+b=0.14*解得jb=-0.06’

，线段BC所在直线解析式为y=0.002x-0.06,

fy=-0.001x+0.18fx=80

由题意得点B处耗油量最低,,解得，

y=0.002x-0.061y=0.1

答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km.

4.甲、乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%

的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元.

(1)求甲、乙两件服装的进价各是多少元；

(2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求

每件乙服装进价的平均增长率；

(3)若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，

乙服装才可获得利润(定价取整数).

解：(1)设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为(500—x)元，

根据题意得90%•(1+30%)x+90%・(1+20%)(500-x)—500=67,解得x=300,

500—x=200.

答：甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元；

(2)・.•乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元,

设每件乙服装进价的平均增长率为y,则200(l+y)2=242,

解得：yl=0.1=10%,y2=-2.1(不合题意，舍去).

答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；

(3)•.•每件乙服装进价按平均增长率再次上调，

再次上调价格为：242X(1+10%)=266.2(元)，

•••商场仍按9折出售，设定价为a元时，

2662

0.9a-266.2>0,解得：a>p-*295.8.

答：定价至少为296元时，乙服装才可获得利润.

5.甲、乙两车间同时开始加工一批服装.从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9

小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲

车间同时完成这批服装的加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲

车间加工的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示.

(1)甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件.

(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；

(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间.

解：(1)甲车间每小时加工服装件数为720+9=80(件)，

这批服装的总件数为720+420=1140(件)；

(2)乙车间每小时加工服装件数为120+2=60(件)，

乙车间修好设备的时间为9-(420-120)+60=4(时).

...乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60(x

-4)=60x-120(4WxW9)；

(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=80x,

当80x+60x-120=1000时，x=8.

答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时.

6.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示:

甲乙

进价(元/

40002500

部)

售价(元/

43003000

部)

该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万

元.(毛利润=(售价一进价)义销售量)

(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种

手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这

两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？

并求出最大毛利润.

解：(D设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得

r4000x+2500y=155000,fx=20

l300x+500y=21000，解得fy=30。

答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；

(2)设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000(20-a)+2500(30+3a)

W172500,

解得aW5,

设全部销售后的毛利润为w元，则

w=300(20-a)+500(30+3a)=1200a+21000,

•.T200>0,；.w随着a的增大而增大，

.,.当a=5时，w有最大值，w最大=1200X5+21000=27000,

答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利

润是2.7万元.

7.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B

型电脑的利润为3500元.

(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电

脑的2倍，设购进