工程数学-概率论

湘潭大学材料科学与工程学院工程数学xiy湘潭大学材料科学与工程学院课程内容线性代数概率论数学物理方法第二部分概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。概率论第一章随机事件及概率1第一节随机事件及其运算2第二节频率与概率3第三节古典概型本章内容4第四节条件概率5第五节全概率公式与贝叶斯公式6第六节事件的独立性7第七节独立试验概型概率论第二章随机变量及其分布随机事件及运算1确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定自然界与社会生活中的两类现象向上抛出的物体会掉落到地上？买了彩票会中奖？一周后的天气情况？确定不确定不确定概率论第一章随机事件及概率：可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的结果进行试验前并不知道哪个试验结果会发生例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；

定义对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验，

用字母E表示。它具有以下特性概率论第一章随机事件及概率记录一城市一日中发生交通事故次数S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；记录一批产品的寿命x记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y定义随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为

S={e}或Ω={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点。例：一枚硬币抛一次S={x|a≤x≤b}S={正面，反面}；S={0,1,2,…}；样本空间与随机事件1.1.2概率论第一章随机事件及概率例：观察6路公交车湘大南门候车人数，

一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 S＝{0,1,2,…}；记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。

如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，则称S为必然事件。而把不可能发生的结果成为不可能事件。为方便起见，记Ø为不可能事件，Ø不包含任何样本点。 定义在随机试验E中，一次试验可能发生也可能不发生的结

果称为随机事件，简称事件，用字母A、B、C等表示。概率论第一章随机事件及概率事件的关系及运算1.1.31.事件的关系(包含与相等)

“事件A发生必有事件B发生”，记为AB

A＝B

AB且BA.SAB例：

记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}概率论第一章随机事件及概率2.和事件事件A与事件B至少有一个发生，记作ABSBA3.积事件事件A与事件B同时发生，记作AB＝ABn个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作SABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作

A1A2…An概率论第一章随机事件及概率4.互不相容或互斥事件当AB=Ø时，称事件A与B不相容的，或互斥的。5.差事件A—B称为A与B的差事件，表示事件A发生而事件B不发生。SBASAB思考：何时A-B=Ø?

何时A-B=A？概率论第一章随机事件及概率6.互逆的事件(对立的事件)S例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}概率论第一章随机事件及概率交换律：AB＝BA，AB＝BA结合律：(AB)C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)对偶(DeMorgan)律：事件的运算关系推广：概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率(1)第三次未中奖(2)第三次才中奖(3)恰有一次中奖(4)至少有一次中奖(5)不止一次中奖(6)至多中奖二次例

某人连续购买体育彩票，令事件A、B、C分别表示其第

一、二、三、次所买的彩票中奖，试用A，B，C及其运

算表示下列事件：

定义若事件A1，A2，…，An两两互不相容，且完备事件组则称n个事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组。例如

掷一颗骰子，观察点数，令A表示掷出奇数点，B

表示掷出点数不超过3，C表示掷出点数大于2，D

表示掷出5点。则概率论第一章随机事件及概率频率与概率2 定义记 其中，nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称

为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记

A={听课迟到}，则

注意：频率反映了事件A发生的频繁程度。概率论第一章随机事件及概率试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1

例：抛硬币出现的正面的频率概率论第一章随机事件及概率实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表2概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p。

频率的性质非负性规范性有限可加性概率论第一章随机事件及概率 定义1

的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p

定义2将概率视为测度，且满足：

称P(A)为事件A的概率。非负性规范性可列可加性概率论第一章随机事件及概率性质1P()=0。于是由可列可加性得又由P()≥0得，P()=0证明：设An=(n=1,2,…)，则且对于概率的性质概率论第一章随机事件及概率性质2(有限可加性)若有限事件A1,A2,…,An是两两不相容

的，则

概率的性质证明

令An+1=An+2=…=，则由可列可加性及P()=0得概率论第一章随机事件及概率性质3对于任一事件A，有概率的性质即证明

因为，因此有概率论第一章随机事件及概率概率的性质证明

由A

B知B=A∪(B-A)，且A(B-A)=，性质4设A，B是两个事件，若A

B，则有

P(B-A)=P(B)-P(A)因此由概率的有限可加性得

P(B)=P(A)+P(B-A)从而有P(B-A)=P(B)-P(A)BA概率论第一章随机事件及概率概率的性质证明

因为A-B=A-AB，且ABA推论

对于任意两事件A、B，有

P(A-B)=P(A)-P(AB)故P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)推论

若A

B，则P(B)≥P(A)证明

由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)≥0知P(B)≥P(A)BAAB概率论第一章随机事件及概率概率的性质性质5对于任意两事件A、B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式。证明

因为A∪B=A∪(B-AB)，且A(B-AB)=，AB

B故P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)BA概率论第一章随机事件及概率概率的加法公式可推广到多个事件的情况。设A、B、C是任意三个事件，则有

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般，对于任意n个事件A1,A2,…,An，有概率论第一章随机事件及概率解

(1)由于A与B互不相容，即AB=Ø，则

所以(2)则有(3)则有例

ABBAAB概率论第一章随机事件及概率古典概型3定义若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)称这种试验为等可能概型(或古典概型)。古典概型的定义1.3.1概率论第一章随机事件及概率例1

一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一

球，记A={摸到红球}，求P(A)。

解：S={1,2,…,8} A={1,2,3}概率论第一章随机事件及概率

例2

从上例的袋中不放回的摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：（注：当L>m或L<0时，记）例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)。

解：概率论第一章随机事件及概率

设随机试验的样本空间为又由于基本事件是两两不相容的，于是有所以由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有古典概率的计算公式1.3.2概率论第一章随机事件及概率定义设古典概型的样本空间中基本事件的总数为n，事件A中

包含的基本事件的个数为nA，则事件A发生的概率为称此为古典概率公式。

古典概型中的事件A的概率P(A)就是A包含的样本数nA与样本空间中的样本点数n的比值。概率论第一章随机事件及概率即样本空间有4个样本点，而随机事件A1包含2个样本点，随机事件A2包含3个样本点，故

P(A1)=2/4=1/2

P(A2)=3/4例1

将一枚硬币抛掷二次，设事件A1为“恰有一次出现正面”;

事件A2为“至少有一次出现正面”。求P(A1)和P(A2)。解

正面记为H，反面记为T，则随机试验的样本空间为Ω

={HH,HT,TH,TT}而A1={HT,TH}

A2={HH,HT,TH}概率论第一章随机事件及概率例2

抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的

点数是不小于3的偶数的概率。解设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总

数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点”

即m=2，即故概率论第一章随机事件及概率抽球问题例3设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个

球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白概率论第一章随机事件及概率分球入盒问题

例4

将3个球随机的放入3个盒子中去，问：(1)每盒恰有一球的概率是多少？(2)空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球，B:空一盒概率论第一章随机事件及概率分组问题例5

30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，

求：(1)每组有一名运动员的概率；(2)3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员；B:3名运动员集中在一组概率论第一章随机事件及概率一般地，把n个球随机地分成m组(n>m)，要求第

i组恰有ni个球(i=1,…,m)，共有分法：概率论第一章随机事件及概率随机取数问题例6从1到200这200个自然数中任取一个，(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200，N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25概率论第一章随机事件及概率条件概率4

例如有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，

从中任取一件，记A={取到一件合格品}，B={取到一件

优质品}。则P(A)=90%而P(B)=85.5%

记：P(B|A)=95%

P(A)=0.90是将整批产品记作1时A的测度

P(B|A)=0.95是将合格品记作1时B的测度由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S

常常省略而已，P(A)也可视为条件概率分析：

BAS若记P(B|A)=x，则应有P(A):P(AB)=1:x解得：概率论第一章随机事件及概率定义

设A、B是两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。例如：概率论第一章随机事件及概率条件概率的性质条件概率符合概率定义中的三个条件，即(1)对于任一事件B，有P(B|A)≥0;(2)P(Ω|A)=1;(3)可列可加性：设B1,B2,…,Bn是两两互不相容的事

件，则有概率论第一章随机事件及概率性质1P(|A)=0性质2性质3因此，无条件概率中的一般性质也适用于条件概率。乘法公式由条件概率定义可得下面定理

乘法定理若P(A)>0，则有

P(AB)=P(B|A)P(A)上式称为乘法公式。

乘法公式可以推广到任意有限个事件的情况。设A1,A2,…,An为试验E中的n个事件，且P(A1A2…An-1)>0，则有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率

例1某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%

的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出

厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。

解：设A={生产的产品要报废} B={生产的产品要调试}

已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，利用乘法公式概率论第一章随机事件及概率另解：概率论第一章随机事件及概率

例2

某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。解： 设Ai={这人第i次通过考核}，i=1,2,3

A={这人通过考核}，概率论第一章随机事件及概率亦可：

概率论第一章随机事件及概率

例3从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，(2)不放

回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。与不相容(1)若为放回抽样：(2)若为不放回抽样：

解： 设Ai={第i次取到红牌}，i=1,2B={取2张恰是一红一黑}利用乘法公式概率论第一章随机事件及概率定义设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若：则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分，或称为一组完备事件组。B1B2BnS全概率公式与Bayes公式5即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。概率论第一章随机事件及概率

定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称： 为全概率公式。证明：

B1B2BnSA概率论第一章随机事件及概率

在全概率公式中我们知道，引起事件A发生的原因有B1,B2,…,Bn等多种。在实际问题中，常遇到已知事件A已经发生，要求出事件A发生是由某种原因Bk引起的概率P(Bk|A)。B1B2BnSA概率论第一章随机事件及概率例

有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个。其中，第

一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第

二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，则称试验成功。

求试验成功的概率。计算过程如下图的概率树:概率论第一章随机事件及概率红P(R|A)=0.5白P(W|A)=0.5红P(R|B)=0.8白P(W|B)=0.2第一次第二次第二次P(A)=0.7P(B)=0.3AB概率论第一章随机事件及概率解:

令A={从第一个盒子中取得标有字母A的球}，

R={第二次取出的球是红球}，

则易知：

于是，试验成功的概率为概率论第一章随机事件及概率

定理设试验E的样本空间为S，A为E的事件，P(A)>0。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称： 上式称为贝叶斯(逆概率)公式。证明

由条件概率的定义及全概率公式有概率论第一章随机事件及概率

全概率公式可由以下框图表示： 设P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,…,n

易知：SP1P2Pn...B2B1Bn...q2q1qnA解

设B1={发出信号“.”}，B2={发出信号“-”}，A1={收到信号

“.”},A2={收到信号“-”}.由于B1B2=,B1∪B2=Ω,A2=A2B1∪

A2B2,于是例1

无线电通讯中，发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”。由于干扰，发出信号“.”时，收报台以概率0.98收到信号“.”，发出信号“-”时，收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信号“-”的条件下，发报台发出信号“.”的概率。概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率

例2

根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%

的假阳性及5%的假阴性：

若设A={试验反应是阳性}，C={被诊断患有癌症}

则有： 已知某一群体

P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？

若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个，所以不宜用于普查。解：考察P(C|A)的值概率论第一章随机事件及概率独立性6

例有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次，每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2放回抽样时，

即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响不放回抽样时，概率论第一章随机事件及概率定义设A，B为两随机事件， 若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)×P(B)

即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。概率论第一章随机事件及概率注意：

例1

甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8，乙击

中率为0.7，求目标被击中的概率。

解： 设A={甲击中},B={乙击中} C={目标被击中} ∵甲、乙同时射击，其结果互不影响， ∴A，B相互独立概率论第一章随机事件及概率

例2有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常

运行的概率为p，求系统正常运行的概率。1432注意：这里系统的概念与电路中的系统概念不同。概率论第一章随机事件及概率

概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率1.重复独立试验

在相同的条件下，将试验E重复进行，且每次试验是独立进行的，即每次试验各种结果出现的概率不受其他各次试验结果的影响，则称这一系列试验所组成的试验为重复独立试验。2.n重伯努利试验

若一试验的结果只有两个A和Ā,在相同的条件下,将试验独立地重复进行n次,则称这n次试验所组成的试验为n重复伯努利试验或伯努利概型。概率论第一章随机事件及概率独立试验概型7例1将一枚均匀的骰子连续抛掷3次，考察六点出现的

次数及相应的概率。解：设六点出现的次数为X,设第i次抛掷中出现点6的事件为概率论第一章随机事件及概率定理

如果每次试验中事件A发生的概率为，则在n次贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率为其中证明按独立事件的乘法公式，n次试验中事件A在某k次(例

如前k次)发生而其余n-k次不发生这个事件的概率等于概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率

例2

设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一次，若有

不少于2发炮弹命中目标时，目标就被击毁，如果每

门炮命中目标的概率为0.6，求目标被击毁的概率。解

8门大炮独立地同时向一目标各射击一次，相当于8

重贝努里试验。所求概率为概率论第一章随机事件及概率

例3

某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有一把能

打开家门。有一天该人醉后回家，下意识地每次从m

把钥匙中随便拿一把去开门。问该人在第k次才把门

打开的概率是多少?解

设A={被取的钥匙能打开门}

B={第k次才把门打开}由于所以概率论第一章随机事件及概率例4

甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击。设三人射中

飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，一人射中飞机被击落的

概率为0.2，两人射中飞机被击落的概率为0.6，三人射

中，则飞机被击落。求飞机被击落的概率。解

设概率论第一章随机事件及概率且B1,B2,B3两两互不相容，故有由全概率公式得概率论第一章随机事件及概率1第一节随机变量的定义2第二节离散随机变量的概率分布3第三节连续随机变量的概率分布本章内容4第四节随机变量函数的分布概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布

为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。随机变量1随机试验的结果实数随机变量概率论第二章随机变量及其分布此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应关系会带来许多便利，比如：每一个学生可以用一个学号与之对应；城市的每一间房屋可以用一个门牌号与之对应；工厂生产的同一种型号产品(例如计算机)，可以用一个代码与之对应。同样，建立数和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步的研究。概率论第二章随机变量及其分布*常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数…示性的——明天天气(晴，多云…)；化验结果(阳性，阴性)…*

中心问题：将试验结果数量化esxX=f(e)为S上的单值函数，X为实数概率论第二章随机变量及其分布定义

设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一

个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)

与之对应，则称X为随机变量。

随机变量常用X、Y、Z

或、、

等表示。随机变量的特点:

1.X的全部可能取值是互斥且完备的2.X的部分可能取值描述随机事件概率论第二章随机变量及其分布例如引入适当的随机变量描述下列事件：

①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。

②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，

F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}概率论第二章随机变量及其分布随机变量的分类：随机变量概率论第二章随机变量及其分布

定义取值可数的随机变量为离散量

离散量的概率分布(分布律)样本空间S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于样本点两两不相容1.写出可能取值—即写出了样本点2.写出相应的概率——即写出了每一个样本点出现的概率…………#

概率分布离散随机变量的概率分布2概率论第二章随机变量及其分布例1某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独

立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概

率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯

数，求X的概率分布律。

解： 设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3

且A1,A2,A3相互独立。概率论第二章随机变量及其分布pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3

于是概率论第二章随机变量及其分布例2

从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时

已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。

解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,…

则A1,A2,…相互独立。

亦称X为服从参数p的几何分布。

三个主要的离散型随机变量

0-1(p)分布 二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果互不影响在相同条件下重复进行(p+q=1)n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：

p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复

的独立试验为n重贝努利试验。概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布几种重要的离散分布1.两点分布(0-1分布)XabPk1-pp如果随机变量X只取两个值，就称X服从两点分布，一般两点分布取值为a和b，分布律为:如果a=0，b=1,则称X服从0-1分布，记作概率论第二章随机变量及其分布X01Pk0.550.45概率论第二章随机变量及其分布X01Pk0.10.6+0.3则X服从0-1分布,其分布律为解

令例2

商店里有10张同类CD片,其中6张为一级品,3张为二级品，1张为不合格品。顾客购买时任取其中一张，求取得合

格品的概率。概率论第二章随机变量及其分布例3

在100件产品中，有95件正品，5件次品。现从中随机

地取一件，假如取到每件产品的机会都相等。

若定义随机变量X为则有P(X=0)=0.05，P(X=1)=0.95若定义随机变量Y为则有P(Y=0)=0.95,P(Y=1)=0.05从中看到X，Y都服从(0-1)分布概率论第二章随机变量及其分布2.超几何分布例4

在N件产品中,有M件次品。现从中随机地取出n件(不

放回抽样)，假如取到每件产品的机会都相等。求取

出的n件产品中次品数X的分布律。其中(0≤M≤N,0≤

n≤N)。解依题意,X的可能取值为0,1,2,…,n,由于从N件中任取n

件，共有种取法，而n件中有X=m件次品的取法共有因此称此分布为超几何分布，记做H(n,M,N)概率论第二章随机变量及其分布3.二项分布定义

若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n且其分

布律为则称X服从参数为n，p的二项分布，记做X~B(n,p)。概率论第二章随机变量及其分布例1

从次品率为20%的一大批产品中任取5件产品，求次

品数X的分布率，并求P(X≤3)之值。解

由于产品数量大,抽取件数少，可视为有放回抽样。因此每

取一件产品可看作是一次试验,这是一个贝努利概型。次品

数X服从二项分布B(5,0.2)概率论第二章随机变量及其分布例2一办公室内有8台计算机，在任一时刻每台计算机被使

用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立，问在同一

时刻：(1)

恰有3台计算机被使用的概率是多少?(2)

至多有2台计算机被使用的概率是多少?(3)

至少有2台计算机被使用的概率是多少?解设X为在同一时刻8台计算机中被使用的台数，则X~B(8,0.6)，于是概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168当k从0增加时，概率P(X=k)经历了一个从小到大,又从大变小的过程，事件“X=5”发生的概率最大，我们称之为最可能事件，“5次”为最可能次数。一般地，若X~B(n,p)，则当(n+1)p是整数时，X有两个最可能次数(n+1)p及(n+1)p-1；当(n+1)p不是整数时，最可能次数为[(n+1)p](即(n+1)p的整数部分)。概率论第二章随机变量及其分布0-1分布和二项分布的关系X01Pi1-pp

由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验，每次试验只有两个可能结果，即事件A发生或者不发生，如果令概率论第二章随机变量及其分布即二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变量之和，而且这n个随机变量的取值互不影响。反之，n个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项分布。概率论第二章随机变量及其分布超几何分布和二项分布的关系定理1

如果随机变量X服从超几何分布H(n,M,N)，则当N→∞时，X近似地服从二项分布B(n,p)，即注意：定理1表明，当一批产品总数N很大，而抽取的样品

数n远小于总数N时，则不放回抽样(超几何分布)与

有放回抽样(二项分布)将无很大的差别。概率论第二章随机变量及其分布证明概率论第二章随机变量及其分布4.泊松分布定义

如果随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,…,

而取各个值的概率为其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记做X~P(λ)。概率论第二章随机变量及其分布易知

泊松分布在实际中具有十分广泛的应用：电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数车站某时段候车人数及购物中心来往顾客的人数在一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的粒子数等都服从泊松分布泊松分布也是概率论中的一种重要分布。概率论第二章随机变量及其分布例1

统计资料表明某路口每天经过某特种车辆的次数服从

参数为6的泊松分布,求该路口一天内至少经过两次特

种车的概率。解

设该路口每天经过特种车的次数为X，由题设X~P(6)。

因此，所求概率为即该路口一天内至少经过两次特种车的概率为0.9826。概率论第二章随机变量及其分布解：

(1)

例2某种商品日销量X~P(5),求以下事件的概率

(1)日销3件的概率；(2)日销量不超过10件的概率；

(3)在已售出1件的条件下，求当日至少售出3件的概率。(2)概率论第二章随机变量及其分布(3)概率论第二章随机变量及其分布

二项分布的泊松逼近其中

二项分布的计算比较复杂。如果X~B(n,p)，当n>10，p<0.3时，可利用泊松定理作近似计算。

泊松定理概率论第二章随机变量及其分布证明概率论第二章随机变量及其分布例1

设某人每次射击的命中率为0.98。独立射击300次，

试求至少有5次未击中的概率。解

将每次射击看成一次试验。设未击中的次数为X，则

X~B(300,0.02)。其分布率为至少有5次未击中的概率概率论第二章随机变量及其分布连续随机变量的概率分布3由微积分学知识可知，连续型随机变量的分布函数是一个连续函数。定义

设随机变量X,如果存在非负可积函数f(x)，使对任意则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数或密度。概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布设X为连续型随机变量，则对任意的实数a<b即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a，t=b及t轴所围面积。概率论第二章随机变量及其分布因此，X取任意单点值a的概率从而概率论第二章随机变量及其分布

密度函数的性质连续型随机变量的密度函数有如下性质：4.在f(x)的连续点上，有概率论第二章随机变量及其分布解

f(x)的图形如右图当x<0时,概率论第二章随机变量及其分布从而得概率论第二章随机变量及其分布解

由密度函数性质(1)(2)概率论第二章随机变量及其分布解

由密度函数性质概率论第二章随机变量及其分布任一元件使用寿命超过150小时的概率为(1)(2)概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布几个重要的连续量均匀分布定义X具有概率密度称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b)例在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并

求 的值； 若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数

大于0的概率。

解：X在区间(-1,2)上均匀分布 设10个数中有Y个数大于0，

则：概率论第二章随机变量及其分布

X具有如下的无记忆性：指数分布定义

设X的概率密度为 其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。

记为概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布定义设X的概率密度为 其中为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：

正态分布称μ为位置参数(决定对称轴位置)

σ为尺度参数(决定曲线分散性)概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，σ是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布(2)已知b求a使，反过来查标准正态分布表可得a的值。如，查表得

a=1.96。(3)当a<0时，利用标准正态分布密度函数图形的对称性可得概率论第二章随机变量及其分布

例1一批钢材(线材)长度

(1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？概率论第二章随机变量及其分布

例2设某地区男子身高

(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大175cm

的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高，问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？概率论第二章随机变量及其分布随机变量函数的分布4概率论第二章随机变量及其分布

在许多实际问题中,常需要考虑随机变量函数的分布。如在一些试验中，所关心的随机变量往往不能直接测量得到，而是某个能直接测量的随机变量的函数。在本节中，我们将讨论如何由已知的随机变量X的分布去求它的函数Y=f(X)分布。概率论第二章随机变量及其分布例2已知X具有如表所示的概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。

解：Y的所有可能取值为0,1

即，找出(Y=0)的等价事件(X=0)；

(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)Xpi0.2-1010.50.3例1若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 则面积服从什么分布？概率论第二章随机变量及其分布1.离散型随机变量函数的分布

设X为离散型随机变量，其分布律为：随机变量，从而Y的所有可能取值为：因此Y也是离散型随机变量。注意到时，也有可能出现的情况，故Y的分布律为例1

设随机变量X的分布律如下表，试求Y=(X-1)2的分布律。解：

Y所有可能取的值为0、1、4。由即得Y的分布律为X-1012P0.20.30.10.4

概率论第二章随机变量及其分布Y014P0.10.70.2

例2

设X服从参数为λ的泊松分布,试求Y=f(X)的分布，其中解:

易知Y的可能取值为-1,0,1，且有概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布2.连续型随机变量函数的分布设X为连续型随机变量，已知其分布函数Fx(x)和密度函数fx(x)，随机变量Y=g

(x)，求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y)。概率论第二章随机变量及其分布求随机变量Y=2X+8的概率密度。例1

设随机变量X具有概率密度解：

先求Y=2X+8的分布函数FY(y)。概率论第二章随机变量及其分布于是得Y=2X+8的概率密度为解:

先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数概率论第二章随机变量及其分布例2

设随机变量

，试求出

的密度函数。

从而概率论第二章随机变量及其分布概率论第二章随机变量及其分布定理

设连续型随机变量X具有概率密度fx(x)，又设函数y=g(x)处处可导，且g’(x)>0(或g’(x)<0)，则Y=g(X)的

概率密度为例3

设随机变量X具有概率密度求Y=lnX的概率密度.解：概率论第二章随机变量及其分布概率论第三章多维随机向量及其分布1第一节二维随机向量的概率分布2第二节二维随机向量的分布函数3第三节边缘分布本章内容4第四节条件分布5第五节相互独立的随机向量6第六节二维随机向量函数的分布问题的提出例1

研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2

研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。概率论第三章多维随机向量及其分布定义设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。概率论第三章多维随机向量及其分布定义设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。0Se概率论第三章多维随机向量及其分布

分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)概率论第三章多维随机向量及其分布x2y1x1y2离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：概率论第三章多维随机向量及其分布

定义若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………二维随机向量的概率分布1概率论第三章多维随机向量及其分布

分布律的性质

例1

设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX123440001¼⅛20⅛300

解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：概率论第三章多维随机向量及其分布概率论第三章多维随机向量及其分布

二维连续型随机变量概率论第三章多维随机向量及其分布

概率论第三章多维随机向量及其分布

例3

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

概率论第三章多维随机向量及其分布概率论第三章多维随机向量及其分布

例2

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)求常数k；(2)求概率

解：1概率论第三章多维随机向量及其分布

二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中，X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。事实上，边缘分布2概率论第三章多维随机向量及其分布对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的边缘分布律为：注意：概率论第三章多维随机向量及其分布对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上，

同理：X,Y的边缘概率密度为：概率论第三章多维随机向量及其分布

00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X0210.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p概率论第三章多维随机向量及其分布

由条件概率公式可得：

当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。条件分布3同样，对于固定的xi，若，则称：概率论第三章多维随机向量及其分布

定义设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，若，则称：概率论第三章多维随机向量及其分布

例1

盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，

以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求

(1)X，Y的联合分布律；

(2)X=1时Y的条件分布律；

(3)Y=0时X的条件分布律。解：X,Y的联合分布律为XY01201/154/152/1513/154/15021/1500概率论第三章多维随机向量及其分布故在X=1的条件下，Y的分布律为：

同理P{Y=0}=1/3，故在Y=0的条件下，X的分布律为：X0121/53/51/5

Y0123/74/70概率论第三章多维随机向量及其分布

定义条件分布函数概率论第三章多维随机向量及其分布

定义条件概率密度概率论第三章多维随机向量及其分布也就是，由事实上，概率论第三章多维随机向量及其分布条件概率密度的直观意义：概率论第三章多维随机向量及其分布

例1

设二维随机变量(X,Y)在区域内均匀分布，求条件概率密度二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布

解：根据题意，(X,Y)的概率密度为：

Y的边缘概率密度为：

于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为：概率论第三章多维随机向量及其分布

相互独立的随机变量4概率论第三章多维随机向量及其分布例1

二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)，X和Y是否相互独立？

解

计算得，X和Y的边缘概率密度分别为：概率论第三章多维随机向量及其分布XY01P(X=j)12