2023年高考数学一轮复习（学生版）：解答题题型突破四 立体几何

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸解答题题型突破四立体几何(对应答案分册第40~42页)立体几何中的翻折问题把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.折叠问题是立体几何的一个重要问题,折叠与展开的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.此类问题是历年高考命题的一大热点,多涉及空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题.考向1折叠后的线面关系(2022·福建三明三模)如图①,在平面四边形ABCD中,BC=3AB,CD=2AD,且△ABD为等边三角形.设E为AD的中点,连接BE,将△ABE沿BE折起,使点A到达平面BCDE上方的点P,连接PC,PD,设F是PC的中点,连接BF,如图②.(1)证明:BF∥平面PDE.(2)若二面角P-BE-D为60°,设平面PBC与平面PDE的交线为l,求l与平面PCD所成角的正弦值.

点拨折叠问题要抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等.【突破训练1】(2018年全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

考向2折叠后几何体的数字特征已知如图①所示,在边长为12的正方形AA'A'1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA'1分别交BB1,CC1于点P,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得A'A'1与AA1重合,构成如图②所示的三棱柱ABC-A1B1C1,在该三棱柱底边AC上有一点M,满足AM=kMC(0<k<1),请在图②中解决下列问题:(1)求证:当k=34时,BM∥平面(2)若直线BM与平面APQ所成角的正弦值为3015,求k的值

点拨折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等.设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【突破训练2】(2018年全国Ⅰ卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)若Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积

立体几何中的探索性问题探索性问题是相对于那种完全具备条件和固定答案的封闭题而言的,立体几何探索性试题的条件或结论不完备,要求解答者自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求.它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力,让学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.考向1空间平行关系的探索性问题如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.(1)证明:PA⊥平面ABCD.(2)求二面角E-AC-D的大小.(3)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.

点拨平行与垂直关系中探索性问题的类型及解题策略(1)对命题条件的探索①先猜后证,即先观察并尝试给出条件,再给出证明;②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明条件的充分性;③把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.(2)对命题结论的探索①探索结论是什么,常从条件出发,探索出要求的结论是什么;②探索结论是否存在,常先假设结论存在,再在这个假设下进行推理论证,寻找与条件相符或矛盾的结论,相符则存在,矛盾则不存在.【突破训练3】(2022·河北阶段性测试)如图①,在五边形ABCEF中,△ABF为等腰三角形,∠BAF=120°,四边形BCEF为矩形,CE=23,EF=1,D为CE的中点.将四边形ADEF沿AD折起,使得平面ADEF⊥平面ABCD,如图②.(1)在AD上是否存在一点P,使得平面PCE∥平面ABF?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.(2)求直线BE与平面ABF所成角的正弦值.

考向2空间垂直关系的探索性问题在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC.(2)求直线BC与平面EAC所成角的正弦值.(3)线段ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC?证明你的结论.

点拨这类问题的结论已经给定,而需探求此结论成立的条件,常规的解决方法:执果索因,逆向求索,或合理猜想,再加以证明,即多采用分析法或猜想证明.【突破训练4】(2022·海南模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=2,AA1=3.(1)求直线A1C与AB1所成角的余弦值;(2)设M为AC的中点,在平面BCC1内找一点N,使得MN⊥平面A1BC,求点N到平面ABC和平面ABB1的距离.

考向3空间角的探索性问题如图,底面ABCD是边长为3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=26,DE=36.(1)求证:平面ACE⊥平面BED.(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值.(3)在线段AF上是否存在点M,使得二面角M-BE-D的大小为60°?若存在,求出AMAF的值;若不存在,说明理由

点拨与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解.求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式.【突破训练5】(2022·山西