新教材高二下学期期中数学试题二（原卷版+教师版）

-1-期中考试二高二年级数学学科试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知SKIPIF1<0，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.62.已知等比数列SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则公比SKIPIF1<0为（）A1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.设随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.3 D.54.已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值，则实数c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.85.随机变量SKIPIF1<0分布列为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是常数，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.71 D.SKIPIF1<07.若任意两个不等正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<08.某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（）A2080 B.2520 C.3375 D.3870二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.用SKIPIF1<0到SKIPIF1<0这SKIPIF1<0个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<010.已知数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，下列说法正确的有（）A.若数列SKIPIF1<0为等差数列，公差SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0单调递增B.若数列SKIPIF1<0为等比数列，公比SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0单调递增C.若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为公比为2的等比数列D.若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等差数列11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数SKIPIF1<0，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0一定有（）A.三个不同零点 B.SKIPIF1<0上单调递增C.有极大值，且极大值为SKIPIF1<0 D.一条切线为SKIPIF1<012.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第SKIPIF1<0次从与第SKIPIF1<0次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第SKIPIF1<0次取出的球是红球的概率为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.当SKIPIF1<0无限增大，SKIPIF1<0将趋近于SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13.SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.14.杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列SKIPIF1<0，比如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项之和为__________.15.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％.设从今年1月起（作为第一个月），第______个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）16.已知函数SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为__________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.18.设函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.19.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为SKIPIF1<0，求n的值使得SKIPIF1<0最大.20.函数SKIPIF1<0，数则SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0为定值，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.21.某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为SKIPIF1<0，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.（1）若SKIPIF1<0，求数学期望SKIPIF1<0；（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数SKIPIF1<0的取值有关.团队A提出函数模型为SKIPIF1<0.团队B提出函数模型为SKIPIF1<0.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量SKIPIF1<0表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量SKIPIF1<0的实验结果SKIPIF1<0绘制成频数分布图，如图所示.（ⅰ）试写出事件“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数SKIPIF1<0时使得概率SKIPIF1<0最大，称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出SKIPIF1<0的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：SKIPIF1<0.22.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0不是函数的极值点，求a的值；（2）当SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有三个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.高二年级数学学科试题期中考试一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知SKIPIF1<0，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答.【详解】因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以n的值为5.故选：C2.已知等比数列SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则公比SKIPIF1<0为（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据等比数列前SKIPIF1<0项和公式，可求得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表达式，结合题干条件，即可求得q的值.【详解】当公比SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D3.设随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性，即得解【详解】由题意，根据正态分布的对称性SKIPIF1<0故选：A4.已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值，则实数c的值为（）A.2 B.6 C.2或6 D.8【答案】B【解析】【分析】由题意可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再检验可得答案.详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0为极大值点，SKIPIF1<0为极小值点，所以SKIPIF1<0不符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0为极大值点，SKIPIF1<0为极小值点，所以SKIPIF1<0符合题意，综上SKIPIF1<0故选：B.5.随机变量SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是常数，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据分布列的性质求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.71 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得SKIPIF1<0，再根据对勾函数的性质求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0且被SKIPIF1<0除余SKIPIF1<0的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0．故选：C.7.若任意两个不等正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】不妨令SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，依题意只需SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，利用导数求出函数SKIPIF1<0的单调区间，即可求出参数SKIPIF1<0的取值范围，即可得解.【详解】因为对任意两个不等正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D8.某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（）A.2080 B.2520 C.3375 D.3870【答案】B【解析】【分析】分别计算两人全不相同，一人与另外两人全不相同，三人全不相同的种类数，可得所求结果.【详解】设甲，乙两人全不相同为事件SKIPIF1<0，甲，丙两人全不相同为事件SKIPIF1<0，乙，丙两人全不相同为事件SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的种类数都为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的种类数都为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的种类数为SKIPIF1<0，所以至少有两人全不相同的方法数为SKIPIF1<0，故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.用SKIPIF1<0到SKIPIF1<0这SKIPIF1<0个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】根据最高位不能为SKIPIF1<0，利用间接法、分步、分类法计算可得.【详解】用SKIPIF1<0到SKIPIF1<0这SKIPIF1<0个数字组成没有重复数字的三位数，若不考虑最高位是否为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0个，又最高位不能为SKIPIF1<0，故当最高位为SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0个，故可以组成没有重复数字的三位数的SKIPIF1<0个，故C正确；首先排最高位，有SKIPIF1<0种，再排十位、个位，有SKIPIF1<0种，故共有SKIPIF1<0个没有重复数字的三位数，故B正确；若选到的数字没有SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0个，若选到的数字有SKIPIF1<0，先排SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0种方法，再从其余SKIPIF1<0个数字选SKIPIF1<0个排到其余位置，故有SKIPIF1<0个，综上可得共有SKIPIF1<0个没有重复数字的三位数，故C正确；故选：ABC10.已知数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，下列说法正确的有（）A.若数列SKIPIF1<0为等差数列，公差SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0单调递增B.若数列SKIPIF1<0为等比数列，公比SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0单调递增C.若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为公比为2的等比数列D.若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等差数列【答案】AD【解析】【分析】由已知确定单调性判断A；按SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分析判断B；求出数列SKIPIF1<0通项公式判断C；由递推公式结合等差中项的意义推理判断D作答.【详解】对于A，依题意，等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0单调递增，A正确；对于B，依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0单调递减，B错误；对于C，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不满足上式，即SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0不是等比数列，C错误；对于D，数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，D正确.故选：AD11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数SKIPIF1<0，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0一定有（）A.三个不同零点 B.在SKIPIF1<0上单调递增C.有极大值，且极大值为SKIPIF1<0 D.一条切线为SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】求出函数SKIPIF1<0的零点判断A；求出函数SKIPIF1<0的导数，判断单调性、求出极大值判断BC；求出SKIPIF1<0图象在原点处的切线方程判断D作答.【详解】对于A，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，B正确；对于C，由选项B知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值SKIPIF1<0，C正确；对于D，显然函数SKIPIF1<0过原点，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0图象在原点处的切线方程为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0过原点，因此直线SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0图象在原点处的切线，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上图象总在直线SKIPIF1<0的下方，所以直线SKIPIF1<0不可能为SKIPIF1<0图象的切线，D错误.故选：BC12.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第SKIPIF1<0次从与第SKIPIF1<0次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第SKIPIF1<0次取出的球是红球的概率为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.当SKIPIF1<0无限增大，SKIPIF1<0将趋近于SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】依题意求出SKIPIF1<0，设第SKIPIF1<0次取出球是红球的概率为SKIPIF1<0，则白球概率为SKIPIF1<0，即可求出第SKIPIF1<0次取出红球的概率，即可得到SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0，再一一分析即可；【详解】解：依题意SKIPIF1<0，设第SKIPIF1<0次取出球是红球的概率为SKIPIF1<0，则白球概率为SKIPIF1<0，对于第SKIPIF1<0次，取出红球有两种情况：①从红箱取出SKIPIF1<0，②从白箱取出SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等比数列，公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即对应SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正确；因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在定义域上单调递减，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0无限增大，SKIPIF1<0将趋近于SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D正确；故选：ABD．三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13.SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】写出展开式中的通项，令SKIPIF1<0的指数为SKIPIF1<0，结合已知条件可求得实数SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14.杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列SKIPIF1<0，比如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项之和为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由图分析结合二项式系数的性质得到第SKIPIF1<0行所有数之和为SKIPIF1<0，再应用等比数列公式计算即可得结果.【详解】由杨辉三角及二项式系数的性质知第SKIPIF1<0行且所有数之和为SKIPIF1<0则第SKIPIF1<0行所有数之和为SKIPIF1<0，等比数列求和得SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项之和为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.15.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％.设从今年1月起（作为第一个月），第______个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】13【解析】【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依据题意得SKIPIF1<0，由其单调性结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得出答案.【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，2，…，24.则从今年1月起，各月不合格产品数量是SKIPIF1<0.又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是递增数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是递减数列.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以第13个月，月不合格品数量首次控制在100个以内.故答案为：1316.已知函数SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】将不等式等价转化，构造函数SKIPIF1<0，并探讨其性质，再利用导数分类讨论SKIPIF1<0的值域即可求解作答.【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，且等号不同时成立，则SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又因为SKIPIF1<0，因此存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,又SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图像如下：函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0取值集合为SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域包含SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0取值集合为SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无最小值，从而函数SKIPIF1<0的值域为R，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不合题意，②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0取值集合为SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域包含SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，符合题意，当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，结合图象可知，SKIPIF1<0，不合题意，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得SKIPIF1<0，即可证明.【小问1详解】因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，整理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正项数列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.18.设函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）结论见解析.（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求出函数SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0，按SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两种情况探讨SKIPIF1<0大于0、小于0的解集作答.（2）利用（1）的信息，求出函数SKIPIF1<0的最小值，再由已知列出不等式求解作答.【小问1详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1）知，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴没有公共点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以a的取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.19.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为SKIPIF1<0，求n的值使得SKIPIF1<0最大.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据题意结合全概率公式可直接求解；（2）由超几何分布可得SKIPIF1<0，构造数列SKIPIF1<0，易知该数列为递增数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0.小问1详解】设SKIPIF1<0“第1天去SKIPIF1<0餐厅用餐”，SKIPIF1<0“第1天去SKIPIF1<0餐厅用餐”，SKIPIF1<0“第2天去SKIPIF1<0餐厅用餐”，根据题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由全概率公式，得：SKIPIF1<0，所以，王同学第2天去SKIPIF1<0餐厅用餐的概率为SKIPIF1<0.【小问2详解】由题意，SKIPIF1<0的可能取值有：SKIPIF1<0，由超几何分布可知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，易知当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值相等，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，使得SKIPIF1<0最大.20.函数SKIPIF1<0，数则SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0为定值，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）证明见解析，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）计算SKIPIF1<0为定值2，用倒序相加法求得SKIPIF1<0通项公式；（2）由（1）得SKIPIF1<0，裂项相消求和得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范围.【小问1详解】证明：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相加，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1），SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1为首项，2为公差的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由对勾函数的性质，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.21.某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为SKIPIF1<0，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.（1）若SKIPIF1<0，求数学期望SKIPIF1<0；（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数SKIPIF1<0的取值有关.团队A提出函数模型为SKIPIF1<0.团队B提出函数模型为SKIPIF1<0.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量SKIPIF1<0表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量SKIPIF1<0的实验结果SKIPIF1<0绘制成频数分布图，如图所示.（ⅰ）试写出事件“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数SKIPIF1<0时使得概率SKIPIF1<0最大，称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出SKIPIF1<0的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）（ⅰ）SKIPIF1<0（ⅱ）答案见解析，SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）易知随机变量SKIPIF1<0服从二项分布，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，数学期望SKIPIF1<0即可求解；（2）设SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0化简即可；记SKIPIF1<0，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案．【小问1详解】由题知，随机变量SKIPIF1<0