第二节聚点内点界点_第1页
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文档简介

第二节聚点内点界点第一页,共十一页,编辑于2023年,星期一1.欧氏空间中各类点的定义P0为Ec的内点:

P0为E的内点:

P0为E的外点:P0为E的边界点:第二页,共十一页,编辑于2023年,星期一P0为E的聚点:P0为E的孤立点:第三页,共十一页,编辑于2023年,星期一注:内点、孤立点一定属于E;外点一定不属于E,聚点、边界点不一定属于E,

例(1)令E=Q,则(2)令E={1,1/2,1/3,…,1/k,…},则对一切1/k(k=1,2,3,…)均为E的孤立点。第四页,共十一页,编辑于2023年,星期一内点,外点、边界点与聚点的关系结论:内点一定是聚点,外点一定不是聚点,边界点有可能是聚点,也有可能是孤立点.开核与闭包的关系第五页,共十一页,编辑于2023年,星期一例设p0是E的聚点,

证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.证明:由条件知P0δPn

第六页,共十一页,编辑于2023年,星期一2.聚点的等价描述证明:显然,下证定理1:下列条件等价:

(1)p0为E的聚点

(3)存在E中互异的点所成点列{pn},使得P0δPn定义:称点列{pn}收敛于p0,记为:

(2)点p0的任意邻域内,含有无穷多个属于E而异于p0的点第七页,共十一页,编辑于2023年,星期一设p0是E的聚点,证明存在E中的互异的点所成的点列{pn}使则上述取出的点列Pn是互异点列,且证明:由聚点的定义知保证收敛保证点列互异第八页,共十一页,编辑于2023年,星期一3.开核,导集,闭包的性质定理2若,则定理3若,则第九页,共十一页,编辑于2023年,星期一定理3的证明:由于,由定理2立得。现设,则对任意,,从而含或中点,由定理1,知存在一串互异的点,使第十页,共十一页,编辑于2023年,星期一中必有无穷多个都属于或都属于,不妨设,则由,知。如果有无穷多个在中,则将会有,总之。从而

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