高中数学人教A版选修21讲义第二章24241抛物线及其标准方程

eq\a\vs4\al(抛物线)2．4.1抛物线及其标准方程预习课本P64～67，思索并完成以下问题1．平面内满意什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)eq\a\vs4\al([小试身手])1．推断以下命题是否正确．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到肯定点距离与到肯定直线距离相等的点轨迹肯定是抛物线()(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)()答案：(1)×(2)×2．抛物线x＝－2y2的准线方程是()A．y＝eq\f(1,2) B．y＝eq\f(1,8)C．x＝eq\f(1,4) D．x＝eq\f(1,8)答案：D3．假设抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，那么点P的坐标为()A．(8,8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)答案：C4．动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，那么点P的轨迹方程为________．答案：y2＝8x抛物线的标准方程[典例]求适合以下条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．[解](1)由于点M(－6,6)在其次象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．假设抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.假设抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.求抛物线的标准方程的方法定义法依据定义求p，最终写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满意的条件，列出对应方程，化简方程[留意]当抛物线的焦点位置不确定时，应分类争论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化争论过程．[活学活用]1．假设抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，那么p＝______，准线方程为________．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1.答案：2x＝－12．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．由抛物线的定义得|AF|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))＝5，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.抛物线定义的应用[典例](1)抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，那么x0＝()A．1 B．2C．4 D．8(2)假设位于y轴右侧的动点M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq\f(1,2).求点M的轨迹方程．[解析](1)由题意知抛物线的准线为x＝－eq\f(1,4).由于|AF|＝eq\f(5,4)x0，依据抛物线的定义可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1，应选A.[答案]A(2)解：由于位于y轴右侧的动点M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq\f(1,2)，所以动点M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq\f(1,2)的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．[一题多变]1．[变结论]假设本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．解：设点N的坐标为(x0，y0)，那么|NFM的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋eq\f(1,2)＝2，解得x0＝eq\f(3,2).由于yeq\o\al(2,0)＝2x0，所以y0＝±eq\r(3)，故点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(3))).2．[变结论]假设本例(2)中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值eq\f(7,2)，这时MM(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．依据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线的实际应用[典例]某大桥在涨水时有最大跨度的中心桥孔，上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中心船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．假设不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]如下图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．由于拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，那么102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq\f(1,50)x2.假设货船沿正中心航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－eq\f(1,50)×82＝－1.28，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，所以无法通行．又由于5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(吨)，所以假设船通过增加货物通过桥孔，那么要增加1050吨，而船最多还能装1000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤[活学活用]如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如下图的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，那么点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2eq\r(6)米．答案：2eq\r(6)层级一学业水平达标1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A．3 B．6C.eq\f(1,48) D.eq\f(1,24)解析：选C将方程化为标准形式是x2＝eq\f(1,12)y，由于2p＝eq\f(1,12)，所以p＝eq\f(1,24).故到焦点的距离最小值为eq\f(1,48).2．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，那么p的值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：选C∵抛物线y2＝2px的准线x＝－eq\f(p,2)与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－eq\f(p,2)＝－1，即p＝2.3．假设抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标是2的点M到抛物线焦点的距离是3，那么p＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B∵抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，点M到焦点的距离为3，∴2＋eq\f(p,2)＝3，∴p＝2.4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，假设|AF|＝3，那么△AOB的面积为()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：选C焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，那么由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2eq\r(2)，直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以点B的横坐标为eq\f(1,2)，纵坐标为－eq\r(2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×1×(2eq\r(2)＋eq\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).5．双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，bC2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，那么抛物线C2的方程为()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y解析：选D双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由于eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\f(\f(p,2),2)＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.6．抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，那么抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.答案：(1,0)x＝－17．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq\f(y2,a)＝1的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a＝________.解析：依据抛物线的定义得1＋eq\f(p,2)＝5，pM(1,4)，那么AM的斜率为2，由得－eq\r(a)×2＝－1，故a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．对标准形式的抛物线，给出以下条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满意抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满意，①不满意；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，那么|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，所以③不满意；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，假设由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，那么k＝－2，此时存在，所以④满意．答案：②④9．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如下图，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，那么焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝eq\f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，那么|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋eq\f(p,2)，3＋eq\f(p,2)＝5，即px2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq\r(6).法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，那么焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝±2\r(6).))∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2eq\r(6)，准线方程为y＝2.10.如下图，一隧道内设双行线大路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证平安，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)假设行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如下图．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由于点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高为h，那么|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．层级二应试力量达标1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，那么点P到该抛物线焦点的距离是()A．4 B．6C．8 D．12解析：选B由抛物线的方程得eq\f(p,2)＝eq\f(4,2)＝2，再依据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2eq\r(3) B．4C．6 D．4eq\r(3)解析：选D如图，∵△FPM是等边三角形．∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).应选D.3．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，那么C的圆心的轨迹为()A．抛物线 B．双曲线C．椭圆 D．圆解析：选A法一：设圆C的半径为r，那么圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切，得圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0,3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1，∴eq\r(x2＋y－32)＝y＋1，化简得y＝eq\f(1,8)x2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．4．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，假如A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1为()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析：选C由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝eq\f(1,2)×π＝eq\f(π,2)，即∠A1FB1＝eq\f(π,2).5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，假设eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，那么|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝________.解析：由于eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，所以点F为△ABC的重心，那么A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.答案：66．F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，假设|PF1|＋|PF2|＝12，那么抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,y2＝8ax))⇒x＝3a，而由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝12，,|PF1|－|PF2|＝2a))⇒|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得