高三数学第一轮复习(新人教A)8.7圆锥曲线的综合问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精8.7圆锥曲线的综合问题●知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识。反映在解题上,就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.具体来说，有以下三方面:（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值;含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽,这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口。(2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.(3）解析几何与其他学科或实际问题的综合,主要体现在用解析几何知识去解有关知识,具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题。在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.●点击双基1。设abc≠0，“ac>0"是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C。充分必要条件D。既不充分又不必要条件解析：ac〉0曲线ax2+by2=c为椭圆。反之成立。答案：B2。到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆 B。AB所在直线C.线段AB D.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB:y=x,其中0≤x≤3。答案：C3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为A.1 B。－1C.－ D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程(4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.令Δ=0，k=±。∴kmin=－.答案：C4.双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________。解析:将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a2=,b2=，c2=a2+b2=+=.∴c=,2c=。答案：5。若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个。解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2－6ny+9－3m令Δ<0得m2+n2<3。又m、n不同时为零,∴0〈m2+n2〈3。由0<m2+n2<3,可知|n|<，｜m|<，再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个。答案：0<m2+n2〈32●典例剖析【例1】如图,O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3)当a=2p时，求∠MON的大小.剖析:易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标。由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°。（1）解：直线l的截距式方程为+=1。 ①（2）证明:由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0。 ②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa。所以+===.(3）解:设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,则k1=，k2=.当a=2p时，由(2）知,y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2,x1x2===4p2，因此k1k2===－1.所以OM⊥ON，即∠MON=90°。评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B。（如下图）（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；(2）当=λ时,求λ的最大值.剖析：(1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b。(2)由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标,而P是l与l1的交点，故需求l的方程。将l与l2的方程联立可求得P的坐标,进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：（1)∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=.∴a=b.又a2+b2=4,∴a2=3,b2=1。故椭圆C的方程为+y2=1.（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P(，),由=λ得A（，).将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=(1+λ）2a∴（e2+λ）2+λ2=e2(1+λ）2。∴λ2==－[（2－e2)+］+3≤3－2。∴λ的最大值为－1。评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。【例3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。剖析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=－是否在y的取值范围内,最后求出椭圆方程和P点坐标。解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定。由e2===1－（）2可知===，即a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+(y－）2=a2(1－)+y2－3y+=4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b。如果b＜,则当y=－b时d2(从而d）有最大值，由题设得（)2=(b+）2，由此得b=－＞,与b＜矛盾。因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d)有最大值,由题设得（)2=4b2+3，由此可得b=1，a=2。故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－,－），点（，－）到点P的距离都是.解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，y=bsinθ，∵e=，∴a=2b。设椭圆上的点（x,y)到点P的距离为d，则d2=x2+（y－)2=a2cos2θ+(bsinθ－)2=－3b2·（sinθ+）2+4b2+3.（b+)2，由此得b=－＞，与b＜矛盾。由此得b=1，a=2。所以椭圆参数方程为x由此得b=1，a=2。所以椭圆参数方程为y=sinθ.消去参数得+y2=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－,－）,（，－）到P点的距离都是.评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.深化拓展根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求。读者不妨一试。提示：由x2+(y－）2=7，提示：由x2+4y2=4b2,得3y2+3y－=4b2－7,由Δ=0得b2=1，即椭圆方程为x2+4y2=4。所求点为（－，－）、（，－).●闯关训练夯实基础1。以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A。 B。C。 D.解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=。答案：D2.已知F1（－3，0)、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积最大,则有A.m=12，n=3 B。m=24,n=6C.m=6,n= D。m=12，n=6解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3。答案：A3。设P1(，）、P2（－，－），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－｜MP1｜=2；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP1｜。其中所有正确命题的序号是____________。解析：由双曲线定义可知①正确,②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确。答案:①②③4.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________。解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为(±1，0),离心率为.∴长半轴长为，短半轴长为1。∴方程为+y2=1。答案：+y2=15。（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R)所表示的曲线；（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件。解：（1)3－k2〉1－k>0k∈（－1，1）,方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆;1－k>3－k2>0k∈(－，－1)，方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆;1－k=3－k2〉0k=－1,表示的是一个圆；(1－k）（3－k2）〈0k∈(－∞，－）∪（1,），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线;k=，表示的图形不存在.（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（,2）。6。已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点。（1）求证：点A、B关于x轴对称；(2）求△AOB外接圆的方程.（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2,y2)，∵|OA|=｜OB|,∴x12+y12=x22+y22.又∵y12=2px1，y22=2px2，∴x22－x12+2p（x2－x1)=0，即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0.又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.∴x2－x1=0，即x1=x2。由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.(2)解：由（1）知∠AOx=30°，则∴y2=2px，x=6p,∴y=xy=2p。∴A（6p，2p）。方法一:待定系数法,△AOB外接圆过原点O,且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.将点A（6p,2p）代入，得d=－8p。故△AOB外接圆方程为x2+y2－8px=0。方法二:直接求圆心、半径,设半径为r，则圆心（r,0）.培养能力7。如下图，过抛物线y2=2px（p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）。（1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.解：（1）当y=时，x=。又抛物线y2=2px的准线方程为x=－，由抛物线定义得所求距离为－（－)=。（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0，相减得(y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），故kPA==（x1≠x0）.同理可得kPB=（x2≠x0）。由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，即=－，所以y1+y2=－2y0，故=－2。设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2，y12=2px1,相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），所以kAB==(x1≠x2）。将y1+y2=－2y0（y0＞0)代入得kAB==－，所以kAB是非零常数.(文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2,y2)均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率。解：（1）由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px。∵点P（1，2)在抛物线上，∴22=2p·1，得p=2。故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=－1。（2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB。则kPA=（x1≠1），kPB=（x2≠1）。∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=－kPB.由A（x1，y1)、B(x2,y2）在抛物线上，得y12=4x1， ①y22=4x2， ②∴=－。∴y1+2=－(y2+2）.∴y1+y2=－4.由①－②得直线AB的斜率kAB===－=－1（x1≠x2）.8。从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.（1)求椭圆的离心率；(2)若Q是椭圆上任意一点,F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若｜CD｜=3，求椭圆的方程.解：（1）由已知可设M（－c,y)，则有+=1。∵M在第二象限,∴M（－c,）。又由AB∥OM，可知kAB=kOM。∴－=－.∴b=c.∴a=b。∴e==.(2）设｜F1Q|=m,｜F2Q|=n，则m+n=2a，mn＞0。｜F1F2|=2c，a2=2c2，∴cos∠F1QF2===－1=－1≥－1=－1=0。当且仅当m=n=a时,等号成立.故∠F1QF2∈［0,］.（3）∵CD∥AB，kCD=－=－。设直线CD的方程为y=－（x+c），即y=－（x+b）.消去y，整理得则+=1，消去y，整理得则y=－(x+b）.（a2+2b2）x2+2a2bx－a2b2=0。设C（x1，y1)、D（x2，y2），∵a2=2b2，∴x1+x2=－=－=－b,x1·x2=－=－=－。∴|CD｜=|x1－x2｜=·=·==3.∴b2=2，则a2=4.∴椭圆的方程为+=1.探究创新9.（1)求右焦点坐标是（2，0）,且经过点(－2，－）的椭圆的标准方程。（2）已知椭圆C的方程是+=1（a〉b>0）。设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.（3）利用(2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.(1)解:设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1。∵点（－2，－）在椭圆上，∴+=1.解得b2=4或b2=－2（舍）.由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1.（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），y=kx+m,则有+=1。则有解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0.∵Δ〉0，∴m2<b2+a2k2，即－<m<.则x1+x2=－,y1+y2=kx1+m+kx2+m=，∴AB中点M的坐标为（－，)。∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上。(3）解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D,并分别取AB、CD的中点M、N，连结直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行)分别交椭圆于A1、B1和C1、D1,并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连结直线M1N1,那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心。●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系,正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意画图,抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.2。四点重视:①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能;③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.3。注意用好以下数学思想、方法：①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力。●教师下载中心教学点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.(3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件,并进行巧妙的构思。（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题。（5）构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0。拓展题例【例1】抛物线y2=4px(p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l