高三数学第一轮复习(新人教A)9.6空间向量及其运算（B）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精9.6空间向量及其运算（B）●知识梳理空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.a·b=｜a||b|cos〈a，b〉。a2=｜a|2.a与b不共线,那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=xa+yb.a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=xa+yb+zc。●点击双基1.在以下四个式子中正确的有a+b·c,a·（b·c）,a（b·c)，｜a·b|=|a|｜b|A。1个 B。2个 C。3个 D.0个解析：根据数量积的定义,b·c是一个实数,a+b·c无意义。实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b｜=|a｜|b｜｜cos<a，b〉｜，只有a(b·c）正确.答案：A2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.{a+b，b－a，a｝ B。{a+b,b－a，b｝C。{a+b，b－a，c｝ D。{a+b+c,a+b,c}解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a,c不共面,故可作为空间的一个基底，故选C。答案：C3.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，向量、、是A.有相同起点的向量 B.等长的向量C。共面向量 D。不共面向量解析:∵－==，∴、、共面。答案：C4.已知a=(1，0），b=（m，m）(m＞0)，则〈a,b>=_____________。答案：45°5.已知四边形ABCD中,=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.解析：∵=++，又=++，两式相加，得2=（+)+（+）+（+）。∵E是AC的中点,故+=0。同理，+=0。∴2=+=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴=3a+3b－答案:3a+3b－●典例剖析【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z。剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件,自然想到共面向量定理.解:依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O,存在实数x1、y1，使得=+x1+y1=+x1（－）+y1(－）=(1－x1－y1）+x1+y1,取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1,则有=x+y+z，且x+y+z=1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用。【例2】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.解：如下图，因为∠ACD=90°，所以·=0.同理，·=0.因为AB与CD成60°角，所以〈,〉=60°或120°。因为=＋＋,所以2=2＋2＋2＋2·＋2·＋2·=2＋2＋2＋2·=3＋2×1×1×cos<，〉=4(〈，>=60°）,2（<，>=120°)。所以|｜=2或,即B、D间的距离为2或。【例3】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E求证:(1）BD1⊥平面ACB1；(2）BE=ED1.证明：(1)我们先证明BD1⊥AC。∵=++，=+,∴·=(++）·（+)=·+·=·－·=｜|2－｜｜2=1－1=0.∴BD1⊥AC。同理可证BD1⊥AB1,于是BD1⊥平面ACB1。（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则==，即2=.对于空间任意一点O，设=b，=m，=b1，=d1，则上述等式可改写成2（m－b）=d1－b1或b1+2m=d1+2b。记==e.此即表明，由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，所以点E既在线段B1M(B1M面ACB1）上又在线段D1B上，所以点E是D1B与平面ACB1之交点,此交点E将D1B分成2与1之比,即D1E∶EB=2∶1.∴BE=ED1。思考讨论利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题。●闯关训练夯实基础c，则下列式子中与相等的是A.－a+b+c B.a+b+cC.a－b+c D。－a－b+c解析:=+=+(+）=－+=c－a+b,故选A.答案：A2。O、A、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则A。O、A、B、C四点不共线 B.O、A、B、C四点共面，但不共线C.O、A、B、C四点中任意三点不共线 D.O、A、B、C四点不共面解析：由基底意义，、、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、、共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.答案：D3.已知a+3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，解析：由条件知（a+3b)·（7a－5b）=7｜a｜2－15｜b｜2+16a·b=0，及(a－4b）·（7a7|a｜2+8｜b｜2－30a·b=0。两式相减得46a·b=23｜b｜2,∴a·b=|b｜2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|=|b|。∴cos<a，b〉===.∴〈a，b〉=60°。答案：60°4。试用向量证明三垂线定理及其逆定理。已知：如下图，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，aα，求证：a⊥PAa⊥OA。证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PAa⊥OA，即证a·=0a·=0.∵aα，a·=0，∴a·=a·（+）=a·+a·=a·.∴a·=0a·=0，即a⊥PAa⊥OA.评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积.5。直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1,BC1⊥A1C,求证:AB1=A证明：∵==·∴AB=AC.又A1A=B1B，∴A1C=AB评述:本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.培养能力6。沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3。试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.解：用a、b、c分别代表棱、、上的三个单位向量，则f1=a，f2=2b，f3=3c，则f=f1+f2+f3=a+2b+3c,+6｜a|｜c｜cos<a，c〉+12|b｜｜c|cos〈b，c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25。∴｜f|=5，即所求合力的大小为5，且cos<f，a〉====.同理，可得cos〈f,b〉=，cos〈f，c〉=.7.在空间四边形ABCD中，求证：·+·+·=0.证法一:把拆成+后重组,·+·+·=（+）·+·+·=·+·+·+·=·（+）+·(+）=·+·=·（+）=·0=0.证法二：如下图，设a=,b=，c=，则·+·+·=(b－a）·（－c）+（c－a)·b+（－a）·（c－b）=－b·c+a·c+c·b－a·b－a·c+a·b=0。评述：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变。证法一中体现了向量的拆分重组技巧,要求较高；证法二设定三个向量为基底,而原式中所有向量化归为关于a、b、c的式子,化简时的思路方向较清楚。探究创新8.如下图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。（1）解:如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O。连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE。∵AD⊥PB，∴AD⊥OB。∵PA=PD，∴OA=OD.于是OB平分AD,点E为AD的中点,∴PE⊥AD。由此知∠PEB为面PAD与面ABCD（2)解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P（0，0,），B（0，，0）,PB中点G的坐标为（0，，)，连结AG。又知A(1，，0）,C（－2，，0)。由此得到=（1，－，－)，=（0，,－），=（－2，0，0）.于是有·=0，·=0，∴⊥，⊥。，的夹角θ等于所求二面角的平面角。于是cosθ==－,∴所求二面角的大小为π－arccos。BC，FG=BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB。∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°。在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，在Rt△GAE中，AE=AD=1,于是tan∠GAE==.又∠AGF=π－∠GAE，∴所求二面角的大小为π－arctan。●思悟小结1.若表示向量a1，a2，…，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形,则a1＋a2＋a3＋…＋an=0.2.应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算。●教师下载中心教学点睛1。要使学生正确理解空间向量的加法法则、减法法则以及空间向量的数量积，掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。2。空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时,往往把它们用同一个基底来表示,从而实现解题的目的.拓展题例【例1】下列命题中不正确的命题个数是①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0②|a|－|b｜=｜a+b｜是a、b共线的充要条件③若a、b共线,则a与b所在直线平行④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R）,则P、A、B、C四点共面A.1 B。2 C.3 D.4解析：易知只有①是正确的，对于④,若O平面ABC，则、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点,所以P、A、B、C四点不一定共面.答案：C【例2】A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长.解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E