高中数学人教A版选修21讲义第三章31313空间向量的数量积运算

eq\a\vs4\al(空间向量及其运算)3．1.1空间向量及其加减运算预习课本P84～85，思索并完成以下问题1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满意交换律及结合律吗？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①几何表示法：空间向量用有向线段表示.,②字母表示法：用字母表示，假设向量a,的起点是A，终点是B，那么向量a也,可以记作eq\o(AB,\s\up7(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|.))2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为eq\a\vs4\al(0)的向量0单位向量模为eq\a\vs4\al(1)的向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)eq\a\vs4\al([小试身手])1．推断以下命题是否正确．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up7(→))的长度相等()(2)假设表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，那么终点也相同()(3)零向量没有方向()(4)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全全都()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．化简eq\o(PM,\s\up7(→))－eq\o(PN,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))所得的结果是()A．eq\o(PM,\s\up7(→)) B．eq\o(NP,\s\up7(→))C．0 D．eq\o(MN,\s\up7(→))答案：C3．在四边形ABCD中，假设eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，那么四边形ABCD的外形肯定是()A．平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案：A4．在平行六面体ABCD­A′B′C′D′的顶点表示的向量中，模与向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))的模相等的向量有________个．答案：7

空间向量的概念辨析[典例]以下说法中正确的选项是()A．假设|a|＝|b|，那么a，b的长度相同，方向相同或相反B．假设向量a是向量b的相反向量，那么|a|＝|b|C．空间向量的减法满意结合律D．在四边形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))[解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，只有在平行四边形中才能成立．应选B.[答案]B空间向量有关概念问题的解题策略(1)两个向量的模相等，那么它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)娴熟把握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法那么及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[活学活用]以下关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③假设a≠b，那么|a|≠|b|；④两个向量相等，那么它们的起点与终点相同．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B依据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，应选B.空间向量的加法、减法运算[典例]在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，化简eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))，并在图中标出化简结果的向量．[解]在六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以eq\o(A1F1,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→)).同理eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(D1F1,\s\up7(→))，所以eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1F1,\s\up7(→))＝eq\o(AF1,\s\up7(→))，如图．[一题多变]1．[变设问]假设本例条件不变，化简eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))，并在图中标出化简结果的向量．解：依据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，所以eq\o(BB1,\s\up7(→))＝eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(D1E1,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E1,\s\up7(→))＝eq\o(AE1,\s\up7(→)).2．[变条件、变设问]假设本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简eq\o(AF1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))，并在图中标出化简结果的向量．解：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以BC∥EF，BC＝EF，又由于E1F1∥EF，E1F1＝EF，所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，所以BCE1F1是平行四边形，所以eq\o(AF1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BF1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BE1,\s\up7(→)).空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法那么是解决空间向量加、减法的关键，敏捷运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法那么和平行四边形法那么进行向量加、减法运算时，务必留意和向量、差向量的方向，必要时可采纳空间向量的自由平移获得运算结果．[留意](1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)首尾相连的假设干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．层级一学业水平达标1．设A，B，C是空间任意三点，以下结论错误的选项是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0C．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(BA,\s\up7(→))答案：B2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，那么eq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up7(→)) B．3eq\o(MG,\s\up7(→))C．3eq\o(GM,\s\up7(→)) D．2eq\o(MG,\s\up7(→))解析：选Beq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))＋2eq\o(MG,\s\up7(→))＝3eq\o(MG,\s\up7(→)).3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，那么四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形解析：选A∵eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．4．空间四边形ABCD中，假设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，那么以下各式中成立的是()A．eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＝0B．eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GE,\s\up7(→))＝0C．eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(FG,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＝0D．eq\o(EF,\s\up7(→))－eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＝0解析：选B由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(FG,\s\up7(→))，且eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GE,\s\up7(→))＝0.5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以下各式中运算的结果为eq\o(AC1,\s\up7(→))的有()①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))；②eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))；④eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→)).A．①④ B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：选D依据空间向量的加法运算法那么及正方体的性质，逐一进行推断：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；②eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；④eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→)).所以，所给四个式子的运算结果都是eq\o(AC1,\s\up7(→)).6.如下图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(A′C′,\s\up7(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(B′A′,\s\up7(→))是________向量．(用相等、相反填空)解析：由相等向量与相反向量的定义知：eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(A′C′,\s\up7(→))是相等向量，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(B′A′,\s\up7(→))是相反向量．答案：相等相反7．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，假设eq\o(CA,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝c，那么eq\o(A1B,\s\up7(→))＝________.解析：如图，eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(B1B,\s\up7(→))－eq\o(B1A1,\s\up7(→))＝eq\o(B1B,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝－eq\o(CC1,\s\up7(→))－(eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b8．给出以下四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②假设a，b满意|a|>|b|且a，b同向，那么a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比拟大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．答案：④9.如下图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的全部向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为eq\r(5)的全部向量；(3)试写出与eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量；(4)试写出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量．解：(1)由于AA1＝1，所以eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为eq\r(5)，所以模为eq\r(5)的向量为eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(D1A,\s\up7(→))，eq\o(A1D,\s\up7(→))，eq\o(DA1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(C1B,\s\up7(→))，eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))(3)与向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量(除它自身之外)为eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(D1C1,\s\up7(→)).(4)向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→)).10．正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简以下向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))(如图)．(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))(如图)．层级二应试力量达标1．以下命题中，正确的个数为()①假设a＝b，b＝c，那么a＝c；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；③eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确，∵a＝b，∴a，b的模相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的模相等且方向相同，∴a＝c.②正确，a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.③不正确，由eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\o(|CD|,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))同向．应选C.2．空间中任意四个点A，B，C，D，那么eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(BA,\s\up7(→))解析：选D法一：eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→)).法二：eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋(eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→)).3．假如向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))满意|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，那么()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(CB,\s\up7(→))同向解析：选D∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，∴A，B，C共线且点C在AB之间，即eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(CB,\s\up7(→))同向．4．正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，那么以下结论中正确的有()①eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))是一对相反向量；②eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))与eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是一对相反向量；③eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→))是一对相反向量；④eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))与eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))是一对相反向量．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C∵O为正方体的中心，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\o(OC1,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB1,\s\up7(→))，故eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→)))，故eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→)))，∴①③正确；∵eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1A1,\s\up7(→))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))与eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是两个相等的向量，∴②不正确；∵eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))＝eq\o(C1C,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))，∴eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→)))，∴④正确．5．在三棱柱ABC­A1B1C1中，假设eq\o(CA,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝c，E是A1B的中点，那么eq\o(CE,\s\up7(→))＝________.(用a，b，c表示)解析：eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA1,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．答案：eq\f(1,2)(a＋b＋c)6．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，假设eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(D1M,\s\up7(→))，那么eq\o(D1M,\s\up7(→))＝________.解析：eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c7.如下图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up7(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up7(→)).解：(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.8.如下图，空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DG,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，如图中向量eq\o(AD,\s\up7(→)).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DG,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\o(GF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，如图中向量eq\o(AF,\s\up7(→)).3．1.2空间向量的数乘运算预习课本P86～89，思索并完成以下问题1．实数λ与空间向量a的乘积λa的方向如何确定？2．空间向量的数乘运算满意哪些运算律？3．共线向量(平行向量)、方向向量及共面对量的定义分别是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空间向量的数乘运算定义与平面对量一样，实数λ与空间向量a的乘积eq\a\vs4\al(λa)仍旧是一个向量，称为向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律安排律λ(a＋b)＝λa＋λb结合律λ(μa)＝(λμ)a[点睛]对空间向量数乘运算的理解(1)λa是一个向量．(2)λa＝0⇔λ＝0或a＝0.(3)由于a，b可以平移到同一平面内，所以λa，μb，a＋b，λa＋μb都在这个平面内，因而平面对量的数乘运算律适用于空间向量．2．共线、共面对量共线(平行)向量共面对量定义表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面对量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb假设两个向量a，b不共线，那么向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论假如l为经过点A平行于非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如下图．假设在l上取eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，那么①式可化为eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，或对空间任意一点O来说，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))[点睛]对共线、共面对量的理解(1)共线向量、共面对量不具有传递性．(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件b≠0不行遗漏．(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，假设a与b共线，那么不成立．eq\a\vs4\al([小试身手])1．推断以下命题是否正确．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)向量eq\o(AB,\s\up7(→))与向量eq\o(CD,\s\up7(→))是共线向量，那么点A，B，C，D必在同一条直线上()(2)空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上()(3)假设向量a，b，c共面，那么表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()答案：(1)×(2)×(3)×2．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.答案：3a－2b3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))，那么λ＝________.答案：－eq\f(5,3)4．A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，假设由eq\o(OM,\s\up7(→))＝－2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋λeq\o(OC,\s\up7(→))确定的点M与A，B，C共面，那么λ＝________.答案：2空间向量的线性运算[典例]正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求以下各式中x，y，z的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋yeq\o(PC,\s\up7(→))＋zeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→)).[解](1)如图，∵eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))，eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PD,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))，∴x＝2，y＝－2.解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的根底上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法那么或三角形法那么求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．[活学活用]如下图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点，化简以下各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA1,\s\up7(→))；(2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)).解：(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA1,\s\up7(→))＝eq\o(CA1,\s\up7(→)).(2)由于M是BB1的中点，所以eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up7(→)).又eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CA1,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(BA1,\s\up7(→)).向量eq\o(CA1,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(BA1,\s\up7(→))如下图.空间向量共线问题[典例]如下图，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，推断eq\o(CE,\s\up7(→))与eq\o(MN,\s\up7(→))是否共线．[解]由于M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→)).又由于eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))，以上两式相加得eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))，所以eq\o(CE,\s\up7(→))∥eq\o(MN,\s\up7(→))，即eq\o(CE,\s\up7(→))与eq\o(MN,\s\up7(→))共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明以下结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．[活学活用]如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．证明：连接AO，AC1，A1C1.∵eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→)).∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三点共线.空间向量共面问题[典例]A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满意eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→)).(1)推断eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))三个向量是否共面；(2)推断M是否在平面ABC内．[解](1)∵eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(OM,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．解决向量共面的策略(1)假设点P在平面ABC内，那么有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面对量定理，证明过程中要敏捷进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．[活学活用]E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面．(2)BD∥平面EFGH.证明：如图，连接EG，BG.(1)由于eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))＝eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．(2)由于eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(AH,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.层级一学业水平达标1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，那么()A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0解析：选A由于a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又由于λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.2．点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，那么x的值为()A．1 B．0C．3 D.eq\f(1,3)解析：选D∵eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝1，x＝eq\f(1,3).3．假设空间中任意四点O，A，B，P满意eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，其中m＋n＝1，那么()A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对解析：选A由于m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝n(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，即eq\o(AP,\s\up7(→))＝neq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→))共线．又eq\o(AP,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同始终线上，即P∈AB.4．在以下条件中，使M与A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))解析：选C∵eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴M与A，B，C必共面．5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，那么eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))解析：选D如下图，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))，应选D.6．化简：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在△ABC中，D是AB边上一点，假设eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，那么λ＝________.解析：eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))，又eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．有以下命题：①假设eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，那么A，B，C，D四点共线；②假设eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，那么A，B，C三点共线；③假设e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，那么a∥b；④假设向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满意等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，那么k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把全部真命题的序号都填上)．解析：依据共线向量的定义，假设eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，那么AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；由于eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋eq\f(1,10)e2))＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．答案：②③④ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，并在图中标出化简结果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴eq\o(GE,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up7(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(FE,\s\up7(→))，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))(如下图)．10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：eq\o(A1N,\s\up7(→))与eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．证明：∵eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))与eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．层级二应试力量达标1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以下各式中运算的结果为向量eq\o(BD1,\s\up7(→))的是()①(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))；②(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－2eq\o(DD1,\s\up7(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))＋eq\o(DD1,\s\up7(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选A(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BD1,\s\up7(→))，(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(BC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1D1,\s\up7(→))＝eq\o(BD1,\s\up7(→)).应选A.2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，假设eq\o(AE,\s\up7(→))＝xeq\o(AA1,\s\up7(→))＋y(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，那么()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)解析：选D由于eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).3．给出以下命题：①假设A，B，C，D是空间任意四点，那么有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③假设eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共线，那么AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，假设eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x，y，z∈R)，那么P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C明显①正确；假设a，b共线，那么|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；假设eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共线，那么直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋