高一数学苏教版必修三讲义复习课（三）概率

复习课(三)概率古典概型古典概型古典概型是学习及高考考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度属简单或中等，处理的关键在于用枚举法找出试验的全部可能的根本领件及所求大事所包含的根本领件．还要留意理解大事间关系，精确?????推断两大事是否互斥，是否对立，合理利用概率加法公式及对立大事概率公式．eq\a\vs4\al([考点精要])1．大事(1)根本领件在一次试验中可能消失的每一个可能结果．(2)等可能大事假设在一次试验中，每个根本领件发生的可能性都相同，那么称这些根本领件为等可能根本领件．(3)互斥大事①定义：不能同时发生的两个大事称为互斥大事．假如大事A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥大事，就说大事A1，A2，…，An彼此互斥．②规定：设A，B为互斥大事，假设大事A，B至少有一个发生，我们把这个大事记作A＋B.(4)对立大事两个互斥大事必有一个发生，那么称这两个大事为对立大事，大事A的对立大事记作eq\x\to(A).2．概率的计算公式(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②计算公式：P(A)＝eq\f(大事A包含的根本领件数,试验的根本领件总数).(2)互斥大事的概率加法公式①假设大事A，B互斥，那么大事A＋B发生的概率等于大事A，B分别发生的概率的和即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②假设大事A1，A2，…，An两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)对立大事计算公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[典例](1)5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．(2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为________．(3)随机掷两枚骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，那么p1，p2，p3从小到大依次为________．(4)(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运发动人数分别为27,9,18.现采纳分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运发动组队参与竞赛．①应从这三个协会中分别抽取的运发动的人数为________．②将抽取的6名运发动进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6名运发动中随机抽取2人参与双打竞赛．那么编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到概率为________．[解](1)记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，那么任取2件构成的根本领件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个根本领件．记“恰有1件次品〞为大事A，那么A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个根本领件．故其概率为P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)设2本数学书分别为A，B，语文书为C，那么全部的排放挨次有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种状况，其中数学书相邻的有ABC，BAC，CAB，CBA，共4种状况，故2本数学书相邻的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(3)总的根本领件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，那么向上的点数之和不超过5的概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)；向上的点数之和大于5的概率p2＝1－eq\f(5,18)＝eq\f(13,18)；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p3＝eq\f(1,2).即p1<p3<p2.(4)①应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运发动人数分别为3,1,2.②从6名运发动中随机抽取2人参与双打竞赛的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到的全部可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，大事A发生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).[答案](1)0.6(2)eq\f(2,3)(3)p1<p3<p2(4)①3,1,2②eq\f(3,5)[类题通法]解决与古典概型问题时，把相关的学问转化为大事，列举根本领件，求出根本领件和随机大事的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算eq\a\vs4\al([题组训练])1．袋中有外形、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为________．解析：利用列举法可求出根本领件总数为6种，其中符合要求的有5种，故P＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)2．假设某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的时机均等，那么甲或乙被录用的概率为________．解析：全部根本领件为(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中符合“甲与乙均未被录用〞的结果只有(丙，丁，戊)．故所求概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)3．甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的全部可能状况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的全部可能状况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).几何概型答案：eq\f(1,3)

几何概型几何概型是各类考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度比古典概型稍大．eq\a\vs4\al([考点精要])1．几何概型的特征(1)无限性：即试验结果有无限多个．(2)等可能性：即每个结果消失是等可能的．2．几何概型的概率公式在几何概型中，大事A的概率的计算公式如下：P(A)＝eq\f(构成大事A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)[典例](1)在区间[0,5]上随机选择一个数p，那么方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．(2)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影局部，据此估量阴影局部的面积为________．(3)大事“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB〞发生的概率为eq\f(1,2)，那么eq\f(AD,AB)＝________.[解析](1)设方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根分别为x1，x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).(2)依题意，得eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(180,1000)，所以eq\f(S阴影,1×1)＝eq\f(180,1000)，解得S阴影＝0.18.(3)由，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)AB))2＋AD2，解得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(7,16)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).[答案](1)eq\f(2,3)(2)0.18(3)eq\f(\r(7),4)[类题通法](1)几何概型概率的大小与随机大事所在区域的外形位置无关，只和该区域的大小有关．(2)在解题时要精确?????把握，要把实际问题作合理的转化；要留意古典概型和几何概型的区分，正确地选用几何概型的类型解题．eq\a\vs4\al([题组训练])1．(山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么大事“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1〞发生的概率为________．解析：不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)2.(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上.假设在矩形ABCD内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率等于________．解析：由于f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0，))B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影局部的面积为eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．在体积为V的三棱锥S­ABC的棱AB上任取一点P，那么三棱锥S­APC的体积大于eq\f(V,3)的概率是________．解析：由题意可知eq\f(VS­APC,VS­ABC)＞eq\f(1,3)，三棱锥S­ABC的高与三棱锥S­APC的高相同．作PM⊥AC交于点M，BN⊥AC交于点N，那么PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以eq\f(VS­APC,VS­ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)＞eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)＞eq\f(1,3)，故所求的概率为eq\f(2,3)(即为长度之比)．概率和统计综合应用答案：eq\f(2,3)概率和统计综合应用eq\a\vs4\al([考点精要])对于给定的随机大事A.由于大事A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此各类考试经常结合统计的学问考查概率．考查形式一般以解答题为主，难度中等．解决此类考题要留意：①正确利用数形结合的思想．②充分利用概率是频率的稳定值，用频率估量概率．③精确?????地处理所给数据．[典例]某公司为了解用户对其产品的满足度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，依据用户对产品的满足度评分，得到A地区用户满足度评分的频率分布直方图和B地区用户满足度评分的频数分布表．图①B地区用户满足度评分的频数分布表满足度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106(1)在图②中作出B地区用户满足度评分的频率分布直方图，并通过直方图比拟两地区满足度评分的平均值及分散程度(不要求计算出详细值，给出结论即可)．图②(2)依据用户满足度评分，将用户的满足度分为三个等级：满足度评分低于70分70分到89分不低于90分满足度等级不满足满足特别满足估量哪个地区用户的满足度等级为不满足的概率大？说明理由．[解](1)如下图．通过两地区用户满足度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满足度评分的平均值高于A地区用户满足度评分的平均值；B地区用户满足度评分比拟集中，而A地区用户满足度评分比拟分散．(2)A地区用户的满足度等级为不满足的概率大．记CA表示大事：“A地区用户的满足度等级为不满足〞；CB表示大事：“B地区用户的满足度等级为不满足〞．由直方图得P(CA)的估量值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估量值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满足度等级为不满足的概率大．[类题通法]解决概率和统计综合题，首先要明确频率、概率、频率分布表、频率分布直方图、概率的计算方法等根本学问，要充分利用频率估量概率及数形结合等根本思想，正确处理各种数据．eq\a\vs4\al([题组训练])随机抽取某中学高三班级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损.(1)假设甲班同学身高的平均数为170cm，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．解：(1)设被污损的数字为a，由题意知，甲班同学身高的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋170＋a＋182,10)＝170，解得a＝9.(2)设“身高176cm的同学被抽中〞的大事为A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10个根本领件，而大事A含有4个根本领件，所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的效劳状况，随机访问50名职工．依据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如下图)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估量该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)由于(0.004＋a×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估量值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50××10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50××10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，全部可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又由于所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为eq\f(1,10).eq\a\vs4\al([对应配套卷P105])1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，那么其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：根本领件的总数为6，满足条件的有{1,2}，{2,4},2个，故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．假设从中随机摸出两只球，那么它们颜色不同的概率是________．解析：根本领件总数有6个，满足条件的有3个，故P＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．如下图，阴影局部是一个等腰三角形ABC，其中一边过圆心O，现在向圆面上随机撒一粒豆子，那么这粒豆子落到阴影局部的概率是________．解析：向圆面上随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设圆的半径为r，全部结果构成的区域面积是圆面积πr2，阴影局部的面积是等腰直角三角形ABC的面积r2，那么这粒豆子落到阴影局部的概率是eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)4．在区间[0,3]上任取一点，那么此点落在区间[2,3]上的概率是________．解析：设这个大事为A，所考查的区域D为一线段，SD＝3，又SA＝1，∴P(A)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，那么m，n都取到奇数的概率为________．解析：根本领件总数为N＝7×9＝63，其中m，n都为奇数的大事个数为M＝4×5＝20，所以所求概率P＝eq\f(M,N)＝eq\f(20,63).答案：eq\f(20,63)6．小波通过做嬉戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末不在家看书的概率为________．解析：去看电影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(3,4)，去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16)，故不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)7．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5〞的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．假设a，b∈{－1,0,1,2}，那么使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为________．解析：要使方程有实数解，那么a＝0或ab≤1，全部可能的结果为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共16个，其中符合要求的有13个，故所求概率P＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)9．在一次老师联欢会上，到会的女老师比男老师多12人，从这些老师中随机选择一人表演节目，假设选到男老师的概率为eq\f(9,20)，那么参与联欢会的老师共有________人．解析：设男老师为x人，那么女老师为(x＋12)人．依题意有：eq\f(x,2x＋12)＝eq\f(9,20).∴x＝54.∴共有老师2×54＋12＝120(人)．答案：12010．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为大事“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率，p2为大事“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那么p1，p2，eq\f(1,2)按从小到大排列为________．解析：如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA“x＋y≤eq\f(1,2)〞对应的图形为阴影△ODE，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，故p1＝eq\f(1,8)＜eq\f(1,2)；大事“xy≤eq\f(1,2)〞对应的图形为斜线表示局部，其面积明显大于eq\f(1,2)，故p2＞eq\f(1,2)，那么p1＜eq\f(1,2)＜p2.答案：p1＜eq\f(1,2)＜p211．(山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参与书法社团和演讲社团的状况，数据如下表：(单位：人)参与书法社团未参与书法社团参与演讲社团85未参与演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参与上述一个社团的概率；(2)在既参与书法社团又参与演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参与书法社团又未参与演讲社团的有30人，故至少参与上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参与上述一个社团的概率为P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的根本领件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．依据题意，这些根本领件的消失是等可能的．大事“A1被选中且B1未被选中〞所包含的根本领件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝eq\f(2,15).12．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运发动在某次训练竞赛中的得分记录如下：运发动编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运发动编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运发动中随机抽取2人，①用运发动编号列出全部可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运发动编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，全部可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运发动中随机抽取2人，这2人得分之和大于50〞(记为大事B)的全部可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).13．在某次测验中，有6位同学的平均成果为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成果，且前5位同学的成果如下：编号n12345成果xn7076727072(1)求第6位同学的成果x6，及这6位同学成果的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成果在区间(68,75)中的概率．解：(1)∵这6位同学的平均成果为75分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90.这6位同学成果的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝