数学八年级上册全册全套试卷试卷(word版含答案)5330

数学八年级上册全册全套试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1拼接，固定三角板ADC(D60,ACD30)，将三角板1．取一副三角板按图ABC(BACBCA45)绕点A依顺时针方向旋转一个大小为a的角(0a450)得到ABM，图2所示．试问：1a当为多少时，能使得图中AB//CD？说出理由，22连接BD，假设AM与CD交于E,BM与CD交于F，当(0a450)时，探索DBMCAMBDC值的大小变化情况，并给出你的证明．DBM】（）；（）CAMBDC115°2的大小不变，是，证明见解105【答案析．【解析】【分析】（1）由AB//CD得到BACC30，即可求出；a（2）DBMCAMBDC的大小不变，是105,由FEMCAMC，C30，EFMBDCDBM，M45，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】1a当为时，AB//CD，15理由：由图，若AB//CD，则BACC30，2aCAMBAMBAC453015，所以，当a为15时，AB//CD．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把AB//CD当做条件求出AB//CD，a为15，a为15当做条件证出第二种：把这两种解法都是正确的．2DBMCAMBDC的大小不变，是105证明：FEMCAMC,C30,FEMCAM30,EFMBDCDBM,DBMCAMBDCEFMCAM,EFMFEMM180,M45,BDCDBMCAM3045180,DBMCAMBDC1803045105,所以，DBMCAMBDC的大小不变，是105.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.y2．已知：在平面直角坐标系中，A为轴负半轴上的点，为轴负半轴上的点x.B如图，以点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC(1)1A，若C点的坐标；OA2，OB4，试求23,00,m，点的坐标为，点(2)2如图，n若点的坐标为AD的纵坐标为，以B为顶点，BA为腰作等腰RtABD.试问：当点沿轴负半轴y向下运动且其他条件都不BB变时，整式2m2n53的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；3如图，OBOEOFEB(3)xE为轴负半轴上的一点，且，于点OBF，以为边作等边OBM，连接EM交OF于点，NENMN试探索：在线段EF、和中，哪条线段等.个等量关系，并加以证明于EM与ON的差的一半？请你写出这1【答案】(1)C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3；（3）EN=(EM-ON)，证明见详解.2【解析】【分析】Q,可以证明AQCBOA，由（1）作CQ⊥OA于点QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C的坐标；P，可以证明AOBBPD，则有（2）作DP⊥OB于点BP=OB-PO=m-(-n)=m+n为定值，从而可以求出结论2m2n53的值不变为3.（3）作BH⊥EB于点B，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENOBGM，则1GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=(EM-2ON).【详解】（1）如图（1）作CQ⊥OA于Q,∴∠AQC=90°,∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°,∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQCBOA(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6,∴C(-6,-2).(2)2DP⊥OB如图（）作于点P,∴∠BPD=90°,∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOBBPD∴AO=BP,∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,23,0∵A,∴OA=23,∴m+n=23,∴当点B沿y轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,∴整式2mn253的值不变为3.1EMON3EN（）2证明：如图（3）所示，在ME上取一点G使得MG=ON,连接BG并延长，交x轴于H.∵OBM为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENOBGM,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,1∴BG=EG,21∴EN=EG,2∵EG=EM-GM,1∴EN=(EM-GM),212(EM-ON).∴EN=【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.3．在四边形中，为边中点.ABCDEBC（Ⅰ）已知：如图，若平分AE∠BAD，∠AED=90°AF=AB.，点F为AD上一点，求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CDⅡAE∠BADDE（）已知：如图，若平分，平分，∠ADC∠AED=120°FGAD，点，均为上的12AF=ABGD=CD.1△GEF点，，求证：（）为等边三角形；（）2AD=AB+BC+CD.Ⅰ12Ⅱ【答案】（）（）证明见解析；（）证明见解析；（）（）证明见解析；（）证12.明见解析【解析】【分析】Ⅰ（）（）运用证明1SAS△≌即可；ABEAFE21（）由（）得出AEB=∠AEFBE=EF△DEFDECSASDF=DC，，再证明≌△（），得出，即可∠得出结论；Ⅱ（）（）1Ⅰ1同（）（）得ABEDGE△≌△AFESAS（），△≌△（），由全等三角DCESASBE=FEAEB=AEFCE=GECED=GED△EFG性质得出，∠∠，，∠∠，进而证明是等边三角形的形；1GF=EE=BE=BC，即可得出结论．（）由是等边三角形得出2【详解】2△EFGⅠ1BAD，（）（）∵AE平分∠∴∠BAE=∠FAE，在△ABE和△AFE中，ABAF＝BAE＝FAE，AE＝AEABEAFESAS∴△≌△（），2△ABEAFE（）∵≌△，AEB=∠AEF，，BE=EF∴∠EBC的中点，∵为BE=CE∴，FE=CE∴，AED=∠AEF+∠DEF=90°∵∠，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC，在△DEF和△DEC中，FECE＝DEF＝DEC，DE＝DEDEFDECSAS∴△≌△（），DF=DC∴，∵AD=AF+DF，∴AD=AB+CD；Ⅱ（）（）∵为1EBC的中点，1BE=CE=BC∴，2Ⅰ1ABEAFESAS同（）（）得：△≌△（），△DEG≌△DEC（SAS），∴，∠AEB=∠AEF，，CE=GE∠∠，BE=FECED=GEDBE=CE∵，FE=GE∴，AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∵∠∴∠AEF+∠GED=60°，GEF=60°∴∠，∴△EFG是等边三角形，2△EFG（）∵是等边三角形，1GF=EF=BE=BC，∴2AD=AF+FG+GD∵，1AD=AB+CD+BC．∴2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．△ABCABCDBC4．如图，在中，∠为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在ADADADEDAE90ADAE的右侧作等腰直角三角形，∠＝°，＝．（1）如果AB＝，∠＝．ACBAC90°①当点在线段BC上时，如图，线段CE、的BD位置D1关系为___________，数量关系为___________②当点在线段BC的延长线上D2时，如图，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图，如果AB≠AC，∠≠，点在线段BC上运动．3BAC90°D探究：当∠ACB多少度CEBC时，⊥？请说明理由．【答案】①垂直，（1）理由见解析；（2）45°，理由见解析相等．②都成立，【解析】【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质对应角相等，即可得到①中的（2得出对应边相等，结论仍然成立；）先过点作AG⊥AC交BC于点，A画出符合要求的图形，再结合图形判定G△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．【详解】（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，理由：如图∴∠BAD=∠CAE．又BA=CA，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．答故案为垂直，相等；②都成立，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB与△EAC中，ADAE＝BAD＝CAEAB＝AC∴△DAB≌△EAC，∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAE中，ACAG＝DAG＝EACAD＝AE∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥BC．5．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC中，BAC90,ABAC,直线l经过点A，BD直线l，CE直线，垂足分别为点D,E，试写出线段BD,DE和lCE之间的数量关系为_________________．ABC中,ABAC,D,A,E（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在三点都在直线l上，并且BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．D,ED,A,E三点所在直线上的两动点，（D,A,E三（3）拓展应用：如图（3），是mF为BAC平分线上的一点，且ABF与ACF均为等边三角形，连点互不重合），点BD,CE，若BDAAECBAC，试判断的形状并说明理由．DEF接DE=CE+BD231）；（）成立，理由见解析；（）△为等边三角形，理由见【答案】（DEF.解析【解析】【分析】1CAE=ABDAASABD（）利用已知得出∠∠，进而根据证明△与△全等，然后进一步求CAE解即可；（）根据BDAAECBAC2CAE=ABDADBCEA，得出∠∠，在△与△中，根AASAE=BDAD=CE据证明二者全等从而得出，，然后进一步证明即可；3ADBCEABD=AE（）结合之前的结论可得△与△全等，从而得出，∠∠，再根据DBA=CAEABF=CAF=60°DBFEAF等边三角形性质得出∠∠，然后进一步证明△与△全等，在此基础上.进一步证明求解即可【详解】lCEl（）∵BD直线，直线，1BDA=AEC=90°∴∠∠，∴∠∠BAD+ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠∠BAD+CAE=90°，CAE=ABD∴∠∠，ABDCAE在△与△中，ABD=CAEBDA=AECAB=AC∵∠∠，∠∠，，∴△ABD≌△CAE(AAS)，BD=AEAD=CE∴，，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，故答案为：DE=CE+BD；2∵BDAAECBAC，1（）（）中结论还仍然成立，理由如下：∴∠∠∠∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE，即：DE=CE+BD，（）DEF为等边三角形，理由如下：32ADBCEA由（）可知：△≌△，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF与△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF与△EAF中，∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．已知：AD是ABC的高，且BDCD.（）如图1，求证：BADCAD；1（）如图2，点E在AD上，连接，将ABE沿折叠得到A'BE'ABAC，与相2BEBE交于点F，若BE=BC，求BFC的大小；CCGEF，交EF的延长线于点（）如图3，在（）23的条件下，连接EF，过点作G，若BF10，EG6，求线段CF的长.图1.图2.图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC60（3）CF8.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC，BADCAD；CE（2）在图2中，连接，可证得BCE是等边三角形，BEC60，BED30且由折叠性质可知ABEA'BE1ABF，可得BFCFABABF22BADABE2BED60；（3）连接，过点E分别作EHAB于点，CEEMBF于点M，ENAC于点HN，可证得RtBEMRtCEN，BMCN，BFFMCFCN，可得线段CF的长.【详解】ADBC，BDCD解：（1）证明：如图1，ABACBADCAD；图1（2）解：在图2中，连接CEEDBC，BDCDBECE又BEBCBECEBCBCE是等边三角形BEC60BED30由折叠性质可知ABEA'BE1ABF2ABF2ABEFAB2BAE1由（）可知BFCFABABF2BADABE2BED23060图2MENACE分别作EHAB于点，于点，EMBF3CE（）解：连接，过点H于点NABEA'BE，BADCADEMEHENAFEBFE又BFC60AFEBFE60在RtEFM中，FEM906030EF2FM令FMm，则EF2mFGEGEF62m同理FN1EFm，CF2FG124m2在RtBEM和RtCEN中，EMEN，BECERtBEMRtCENBMCNBFFMCFFN10m124mm解得m1CF8图3BFC603故答案为（）见解析，（）【点睛】CF8.（）12本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判30.定和性质、含度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型ABCABACBMBNABC7．已知在△中，＝，射线、在∠内部，分别交线段于点、．ACGH1（）如图，若∠＝1ABC60MBN30AEBN°，∠＝°，作⊥于点，分别交、于点DBCBME、．F①②求证：∠＝∠2；1如图，若＝，连接CF，求证：BF⊥CF；2BF2AF（）如图，点为上一点，交于点，连接CF，若∠＝∠＝∠，23EBCAEBMFBFEBAC2CFES求SABF的值．ACF122【答案】（）①见解析；②见解析；（）【解析】【分析】12+BAF1+BAF60°（）①只要证明∠∠＝∠∠＝即可解决问题；BFC②只要证明△≌△，ADBBFC即可推出∠＝∠＝；ADB90°（）在BF上截取BK＝，AF连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S＝，再证明2SAFC△ABK△＝＝，可得S＝，AFFKBKSAFK△即可解决问题；ABK△【详解】11（）①证明：如图中，ABACABC60°∵＝，∠＝∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝，60°∵AD⊥BN，∴∠ADB＝，90°MBN30°∵∠＝，∠BFD60°1+BAF＝∠2+∠BAF，＝＝∠∠∴∠1＝∠22②证明：如图中，在Rt△BFD∴BF＝，2DF中，∵∠FBD30°＝，BF2AF∵＝，∴BF＝，AD∵∠BAE＝∠，＝，FBCABBC∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝，90°∴BF⊥CF2（）在BF上截取BK＝，AF连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，SABK＝SAFC，△△∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝SAFK，△SABF2S∴．AFC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求证：△AOC≌△BEC；（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，12∠BAC=30°，∴∠CAM=故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，ACBCACDBCE，CDCE∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，1）（2∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，ACBCACDBCE，CDCE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.ABC9．如图，在等边三角形右侧作射线，∠CPACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠的大小是否发生变化？如请直接写出∠AEB的大小；之间的数量关系，并证明.【答案】（1）∠DBC60；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）AEB果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，（3）用等式表示线段AE，，BDCEBD=2AE+CE，证明见解析【解析】.【分析】（1）如图，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠1DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602BC=DC，，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图，∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形2由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形3∠BEC60，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°ME=CE的外角性质得出然后利用角的和差，，关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，，BDCE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，1∠DCP=∠ACP=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD=602BC=DC，，60180602BCD∴∠DBC=∠BDC180；222AEBAEB=60.（）∠的大小不会发生变化，且∠°理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，，AE=DE又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCESSSDBC=BDCDBC=CAEBHC=AHE∴∠∠AEB=BCA=60°，∴∠∠，又∵∠∠，（），∴∠∠，CAE=CDE∵∠∠，AEB即∠的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；3AEBDCE（），，之间的数量关系是：BD=2AE+CE.证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，6060，BEC=BDC+DCE=∵∠∠∠∴△CME是等边三角形，∴∠，，MCE=60°ME=CE∴BCMBCDMCEDCE60260，∴∠∠，又∵BC=DC，，CM=CEBCM=DCE∴△BCM≌△DCE（），SAS∴BM=DE，∵AE=DE，∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和.轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键10．（阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问.题（）如图，是等边三角形，点是边下方一点，∠BDC＝120°，探索线段11△ABCDBCDA、、DBDC之间的数量关系.解题思路：延长到点，使CE＝BD．连接AE，根据∠BAC＋∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE,易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而DA、、DBDC之间的数量关系.DCE探寻线段___________根据上述解题思路，请直接写出DA、、DBDC之间的数量关系是（拓展延伸）（）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点是边下方一点，∠BDC＝22DBC90°DADBDC，探索线段、、;之间的数量关系，并说明理由（知识应用）33,（）如图一尺斜边长都为14cm，把斜边重叠摆放在一副三角起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ的长为________cm.【答案】（1）DADBDC；（2）2DADBDC，理由见详解；（）37276.2【解析】【分析】ABAC,BAC60，结合BDC120知ABDACE得1（）由等边三角形知ABDACD180，则ABDACE证得ADAE,BADCAE,再证明三角形是等边三角形，等量代换可得结论；ADEABDACE得ADAEBADCAE，由勾股定理得,2（）同理可证AEDE2，等量代换即得结论；DA22（）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，3由（）知22PQQNQM，由此可求得PQ长.【详解】解：（1）延长DC到点E，使CE＝BD.连接AE，ABC是等边三角形ABAC,BAC60BDC120ABDACD180又ACEACD180ABDACEABDACE(SAS)ADAE,BADCAEBAC60BADDAC60DAEDACCAE60ADE是等边三角形DADEDCCEDCDB2DADBDC（2）延长DC到点E，使CE＝BD.连接AE，BAC90ABDACD180又ACEACD180，BDC90ABDACEABAC,CEBDABDACE(SAS)ADAE,BADCAEDAEBAC90DAAEDE2222DA2(DBDC)22DADBDC（3）连接PQ，MN14,QMN30QN12MN7根据勾股定理得MQMN2QN21427214773由（2）知2PQQNQMPQQNQM7737276222【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题．（1）填空：21414①x4xx2x22（）2x（）（）2141②64=62=（）（）=（）（）2418144644（2）解决问题，计算：115744441121，，2，【答案】（1）①x2，xxxx②66，22222166，6642.530，.5；（）4112145222，2【解析】【分析】1（）根据完全平方公式和平方差公式计算可得；2（）利用前面所得规律变形即可．【详解】11x221x（）4x42x42122xx22x1x1xx22222121464662622121666622242.530.512121，故答案为：xxx，②，，，x226622①x1221266，6642.530，.5，；222141468442（）11574444166188188166222222221551771771552222222242.530.372.556.530.520.556.542.514541【点睛】本题考查了因式分解的应用；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．(ab)(ab)121．（）填空：=；(ab)(a2abb2)=；(ab)(a3a2bab2b3)=．(ab)(an1an2b...abn2bn1)=2（）猜想：n（其中为正整数，且n2）．．222...22232（）利用（）猜想的结论计算：98732，a3b3，a4b4；（）ab22ab；（）．3342nn1【答案】（）2【解析】1试题分析：（）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；21（）根据（）的规律可得结果；3（）原式变形后，利用（）得出的规律计算即可得到结果．2(ab)(ab)=1试题解析：（）a2b2；(ab)(a3a2bab2b3)=a3b3；(ab)(a3a2bab2b3)=a4b4；故答案为ab2，a3b3，a4b4；2，故答案为（）由（）的规律可得：原式=anbabn；21nnS，222...2223（）令98732∴S1292827...232221=[2(1)](292827...232221)3=(2101)3(10241)3341，∴S=342．12考点：．平方差公式；．规律型．13．阅读理解题：1i=1i定义：如果一个数的平方等于﹣，记为﹣，这个数叫做虚数单位．那么形如a+bi2abab（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的2+i+34i=5加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（）（﹣）﹣3i．1i=2i=（）填空：，；4322+i2i（）计算：①（）（﹣）；2+i②（）；23（）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（）（﹣）﹣，（，为实数），求x，的y值．yix+3y+3i=1xxy4i=1m+25m知识点，将（为实数）2（）试一试：请你参照﹣这一因式分解成两个复数的2积．1i2253+4i3x=5y=34m+25=m+5im5i【答案】（）；（）①②（），﹣（）（）（﹣）2【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及i的概念直接运算；2（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据i1计算即可；2（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据2i1将25转化为（-5）2，再利用平方差公式进行因式分解即可。i【详解】i﹣（1）∵1，2i3i2•i﹣1i﹣i，2i42i2i2（﹣）（﹣），2112故答案是：i；2；（i）（﹣i）﹣i241452（2）①2；（i）i4i4﹣14i434i；2②22（3）∵（x3y）3i（﹣1x）﹣yi，x3y1﹣x，﹣3y，x5，y﹣；3m（m5i）（m﹣i）（4）255．2【点睛】本题考查新型定义题型与有理数的混合运算、实数运算、因式分解，解题的关键是读懂题意。14．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)(2)(3).上述分解因式的方法是，共应用了次若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1).2004，则需应用上述方法次，分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).结果是1【答案】（）提公因式，22004x1两次；（）次，（＋）；＋(3)(x1)n12005【解析】【分析】1（）根据已知材料直接回答即可；2（）利用1+x已知材料进而提取公因式（），进而得出答案；3（）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】12（）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了次．2故答案为提公因式法，次；21+x+xx+1+xx+1+…+x(x+1)2004，（）（）（）2=（）（）1+x[1+x+x1+x+…+x(x+1)2003]⋯(1x)2(1x)(1x)(1x)=2003个(1x)=1+x（），20051+x+xx+1+xx+1+…+x(x+1)2004，，则需应用上述方法次，结果是：2004故分解（）（）2x+1（）．200531+x+xx+1+xx+1…+xx+1n（）分解因式：（）（）（）（为正整数）的结果是：（）x+12nn+1．x+1故答案为（）．n+1【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．ab0时，一定有ab；当a、b的大小比较，有下面的方法：当15．对于任意两个数ab0时，一定有ab；当ab0时，一定有ab．反过来也成立．因此，我们“”把这种比较两个数大小的方法叫做求差法．请根据以上材料完成下面的题目：A2x2y8y，B8xy，且，试判断的符号；y1（）已知：AB和2的大小．acb222ac2abc（）已知：、、为三角形的三边，比较＜2acb222ac1y02【答案】（）＞；（）【解析】【分析】2xy8y8xy0，因式分解得到2y(x2)201（）根据题意得到y，进而得到的符2号即可；和2作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．ac2（）将acb222【详解】1AB解：（）因为＞，A-B0所以＞，2xy8y8xy0，即22y(x44x)2y(x2)20，∴2(x2)20，因为y0∴＞2a−bc−2acac−2ac−ba−c−ba−c−b（）因为＋＝＋＝（）＝（）（＋），a−cb22222222abcabc∵＋＞，＜＋，a−c−ba−cb0所以（）（＋）＜，a−bc−2ac所以＋的符号为负．222∴a2c2b2＜2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．按要求完成下列题目．1求：1111122334的值．nn1对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的1每一项可以写成nn1111nn1nn1，这样就把nn11的形式，而一项(分)裂成了两项．试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出111112233420162017的值．1nn1n2nn1AB2若n1n2①求：A、B的值：111nn1n2②求：123234的值．nn3【答案】4n1n2【解析】【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；1②根据nn1n22nn12n1n2111.1.把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．【详解】1111解：（1）12+23+34+…+2016101711111=1-+-+-+…+22334112016-20171=1-20172016=；2017=nn1n2ABn2AAB（2）①∵+nn1n1n21，=nn1n2A12BB0∴，2解得1．B211∴A和B的值分别是和-；2211111-•nn1nn1n22②∵=•nn1n22111111=•（-）-（-）2nn12n1n21+…+•nn12n1n2111111111∴原式=2•12-2•23+2•23-2•3411-•21111=2•122-•n1n211=-42n1n2nn34n1n2．=【点睛】1本题考查了分式的化简求值，正确理解nn1n21111-•n1n22=•nn12是关键．17．阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程31的解为正数，那么a的取值范围是什么？ax11x经过交流后，形成下面两种不同的答案：x=a﹣2．小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．a≠3aa＞2a≠3．小强说：本题还要必须，所以取值范围是且（1）小明与小强谁说的对，为什么？mx112有整数解，求整数的值．x22x（2x）关于的方程m【答案】（1）小强的说理由见解析；（2）m=3，4，0．法对，【解析】【分析】分式方程可得x=a﹣2,(1)先根据解分式方程的步骤和解法解根据分式方程有解和解是正数x≠1,a﹣2＞0,a﹣2≠1,即可求解可得:x＞0且即,（m﹣2）x=﹣2,当m≠2时,(2)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得2解得:x=﹣m2,根据分式方程有整数解可得:m﹣2=±1,m﹣2=±2,m.继而求的值【详解】:（1解）小强的说法对,理由如下:x解这个关于的,x=a﹣2,分式方程得到方程的解为因为解是正数,可得a﹣2＞0,即a＞2,同时a﹣2≠1,即a≠3,a＞2a≠3,则a的范围是且（2）去分母得：mx﹣1﹣1=2x﹣4,整理得:（m﹣2）x=﹣2,2当m≠2时,解得:x=﹣m2,由方程有整数解,得到m﹣2=±1,m﹣2=±2,解得:m=3,4,0.【点睛】本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题键是要熟练掌握解分式方程,解决本题的关的解法.3x23m18．探索：（1）如果x1x1，则m=_______；5x35mx2，则m=_________；（2）如果x2axbmxc（其中a、b、c总结：如果xca为常数），则m=________；4x3（3）利用上述结论解决：若代数式x满足条件的整数的值．x1的值为整数，求【答案】（1）-5；（2）-13；b-ac;（3）0或2【解析】：试题解析3x23(x1)535mx13x1.1x1x1m5.25x35(x2)13513mx25x2.x2x2m13.axba(xc)bacabacamxc.总结：xcmbac.xcxc34x34(x1)14x11.x1x14x3又∵代数式x1的值为整数，1x1为整数，x11或x11x2或0.19．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．（1）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗；（2）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得每本硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1））不能买到；（2）存在，a的值为3或9．【解析】【分析】【详解】解：（1））设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本（x+1.2）元，由题意，得1221xx1.2，x=1.6解得：．1221此时1.61.21.6=7.5（不符合题意），所以，小明和小丽不能买到相同数量的笔记本；（2）设每本软面笔记本m元（1≤m≤12的整数），则每本硬面笔记本（m+a）元，由题意，得1221，mma3a=m解得：，4a∵为正整数，∴m=4，，812．∴a=3，，69．m8a61221时，mma当1.5（不符合题意）∴a的值为3或9．20．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？所购数（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？【答案】（1）商家购进的第一批恤是40件；（2）每件恤的标价至少40元．【解析】【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，【详解】（1）解：则购进第二批这种衬衫是件，根据第二批2x然后列不等式解答．设购进的第一批恤是x件．12002800由题意，得x52x解得x＝40．x＝40经检验，是所列方程的解．所以商家购进的第一批恤是40件．（2）设每件的标价是y元由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）y≥40．解得即每件恤的标价至少40元．【点睛】题本考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）BEAC，ABCCFABAD3BC16，，，21．（）在中，ADBC，BE4，CF6，则ABC的周长为______.1ABC（）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，BD，的中点，且BCCD2①S4cmABC______cm2.，则等于SAEF2①②3②ABC1（）如图，三角形的面积为，点E是的中点，点是的中点，连接ACOBEAO并延长交BC于点D，连接CO并延长交AB于点F，则四边形BDOF的面积为______.1【答案】（）（）（）1362236【解析】【分析】(1)ABAC利用三角形面积公式，求出、的长，再计算三角形的周长即可；(2)ABCBChS1设在边上的高为，则BCh，根据线段中点的定义以及线段的2ABC1和差得出EF2BC，继而再根据三角形面积公式进行求解即可；(3)S设，，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得xSyBODBOFSSSSS1，从而得1x，Sx，S3444COBAOFACFAOECOEAOB1x，S1y，S3y，S1y，利用等高的两三角形面4444BCFCODACDABDxyxy.积之比等于底边之比分别列出关于、的方程，求出、的值即可求得答案【详解】(1)SABC12BCAD12ACBE12ABCF，∴BCADACBEABCF，即163AC4AB6，∴AC12，AB8，∴ABC=AB+BC+AC=36；△的周长(2)ABC设在边上的高为，BCh则SABC1BCh，212BD，∵E为BD中点，ED∴12DC，∵F为DC中点，∴DF∴EF12BD12DC12BC，1EFh22BCh2S1112cm2；ABC∴S2AEF(3)SxS，，yBOD设BOF1，∵点E，分别是，的中点，OACSBEABCCOB14，∴SSSSAOBAOECOE∴S1x，S3x，SBCF1x，4344AOFACF1xx1，即x3∴44xx22，14x164x1x，解得12又SCOD1Sy，ACD3yS1y，，4ABD4144y，得112y3yy∴1y，44111xy12126.故S四边形BDOF【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．ABCCPQ22．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，直尺的另一边与MNAC、BC、Ｄ，且AD为的∠BAC平分线，三角板的两边分别交于两点Ｅ∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE.【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；对等边”得出结论.∠CAD=30°，（2）结合（1）的关系，由“等角∠ACB=90，∠B=300,试题解析：（1）在直角三角形ABC中，∴∠BAC=600,又AD平分∠BAC，0∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150，∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450，∠CDE=4500∠ECD=90（2）在△CED中，∴∠CED=450∴CD=CE点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.23．动手操作，探究：探究一：三角形的已知：如图（在1），△ADC中，DP、CP分别平分和∠ADC∠AC