第６节“对勾函数”与“飘带函数”拓展研究-GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

第６节“对勾函数”与“飘带函数”拓展研究函数是高中常见的函数，其图象通常称之为“对勾”．如果拓展开来，形如的函数图象又是什么样的？它们又将具有什么样的性质？本节将对它进行探究．【实验1】的函数图象类型研究【探究步骤】1．在指令栏内输入“”，设定参数的范围为默认范围；2.点击文本工具，在编辑框内输入“”，点击确定．而后右键点击属性，在属性“高级”的显示条件输入，并对字体颜色和字号进行设置．用同样的方法设置；3.分别右键点击滑杆，在右键菜单中选定“开启动画”，则的数值会自动改变，函数图象也随之改变．共可得到的四种图象类型（如图3.6-1），其中图1，图2被称为“对勾”，图3、图4形似两根飘动的带子，称之为“飘带”．【说明】步骤2的目的是让课件根据的数值，自动显示的取值范围，这在GGB中被称为自动文本，自动文本在课件制作中是一种很有用的工具．图3.6-1图3.6-1【实验2】探究在的最小值1．设置参数的范围为；2.在指令栏输入“”，作出图象，设置线型为虚线；3.在指令栏输入“函数”，作出在的图象，设置颜色为红色，线径适当加粗；4.拉动滑杆，即可研究在的最小值．研究结论：当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最小值．【拓展研究1】探究在的最大值．【拓展研究2】探究在的最小值．【拓展研究3】探究在的最大值．以上拓展研究方法与【实验2】类似，读者可自行研究．【实验3】探究函数图象上两点（两点各在一支）间距离最小值【分析】函数图象关于坐标原点对称，因而从图象直观上可以看出，只有当两点恰好关于坐标原点对称时，它们的距离才有可能最短．因而本题只需研究坐标原点到图象上的点的最小值．为简化问题的研究过程，首先对取特殊值进行研究．【探究步骤】1．设置参数，取值范围为；2.在指令栏输入“”，得到函数图象；3.在所得函数图象上任取一点，连结，并测量的距离；4.拉动滑杆，使；5.拉动点，观察的最小值，及取得最小值时的点坐标；6.重复步骤，分别得到时的最小值及对应的点坐标；7.分析以上三种情形的最小值及对应的点坐标，试图找出规律，并加以证明．【说明】1．从特殊到一般是数学研究的常用方法，应该说明的是，有些时候，数学实验受测量精度等因素的影响，得到的结论只能称之为猜想，最后的数学结论必须从推理上给予严格证明．2.要求出的最小值并不难，通过建立距离的函数关系式即可求解，本处不再赘述．有兴趣的读者，可以在本例的基础上设定函数的定义域，然后再研究距离的最小值．【实验4】“对勾”函数综合探究已知，求的最小值．【分析】由可得由可得综上，可得的本质就是一段双曲线图象：而如果设，则由此，可在GGB中作出和图象，观察两图象有交点时的最小值（此时在轴上的截距也取得最小值）．【探究步骤】1.在GGB指令栏内输入“函数”，作出图象；2.作出直线，设定参数的范围为；3.拉动滑杆，观察两图象有交点时，能取到的最小值．经观察，可以得到两图象有交点时，的最小值约为2，故的最小值约为6．下面给出严格的数学求解：【方案1】由已知得，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，即整理得，令，则且，得，即的最小值为6，此时．【方