2014级建工第二学期高等数学课件

极大值、极小值统称为,使函数取得极值的点例如z3x24y2在点(0,0)有极小值x2+x2+z=xy

在点(0,0)有极大值在点(0,0)无极值 定理1(必要条件)zf(x,y在点(x0y0存在偏导数,,则有fx(x0,y0)=0,f(x0,y0)=证因zf(x,y在点(x0y0zf(xy0xx0zf(x0y在yy0据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立10的点称为.但驻点不如 z=xy有驻点(0,0),但在该点不取极值 成为平行于xOy坐标面的平面类似地可推得如果三元函数u=f(x,y,z)在点 定理2(充分条件)zf(x,y在点(x0y0的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,fx,y)=0,f(x,y)= 令A=fx,y),B=fx,y),C=fx,y令 A<0时取极大值则:1)当ACB20时,

（Hessian矩阵负定A>0时取极小值当ACB20时,没有极值.（Hessian>当ACB20时需另行讨论 求函数z=fx,y第一步

fx(x, y(x,第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、定出AC-B2的符号，再判定是否是极值 例1.f(x,yx3y33x23y29x的极值

f(x,y)=3x2+6x-9=yf(x,y)=-3y2+6y=yC得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2)CB.BA在点(1,0)AC-B2fx(x,A在点(1,0)AC-B2

f(x,y)= yy(x,=12,B=0,C==12·6>0,A>0,f(10)5为极小值 在点(1,2)处A=12,B0CACB2=12·(-6)0,f(12不是极值在点(-3,0)A12,B0,C6,ACB212·60,f(-3,0)不是极值在点(-3,2)A12B0,CAC-B2=-12·(-6)>0,A<0,f(-3,2)31为极大值fx(x,

f(x,y)= yy(x,A B CABC 例2.zx3y3z(x2y2)2在点(0,0)解显然(0,0)(0,0)zyAC-B2zyzx3y3在(0,0)点邻域内的取值

负,因此z(0,0)不是极值0当x2y20时,z(x2y22

z(0,0)(x2y22(0,0)0为极小值 x2+例如,函数z x2+因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当 ff在闭域f在闭域上特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时f(P)为极小(大) f(P)为最小(大)例3某厂要用铁板做成 积为8m3的有盖长方问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省解 的长为xm,宽为ym,则所用材料的面积A=2(xy+y8+x8)=2(xy+8+8)(x>0,y>0) Ax2(y-8=0Ay2(x-8=0 所用的材料最省 无条件极值:条件极值:对自变量除定义域限制外条件极值的求法 代入法.例如化在条件j(xy0下,zf(xy的极值从条件j(x,y)0中解出y=y(x化zf(x,y(x)) 在条件j(xy0下zf(xy的极值1所述j(x,y)0y=y(x),zf(x,y(x))的极值问题,

d f

ddx=

+fydx=dy,

f-f¢yd y

f

fx+=fy+=

j(x,y)=F=f(x,y)+j(x,F=+ + =f=辅助函数F称为 日(Lagrange)函数.利用拉格 例如,uf(x,yzj(x,yz)0,y(xyz0下的极值Ff(xyzj(x,yzl2y(xyF+ +

f++zF¢=f=11¢y1例5.要设计一个容量为

的长方体开 ,试解x,y,z分别表示长、宽、高则问题为求x,y,zxyzV0下S2(xzyz)xy令F=2(xz+yz)+xy+l(xyz-V0

=2z+y=

yz=0 xz=0Fz=2(x+y)+xy==xyz-V0=xy2z32V0l3-4由题意可知合理的设计是存在的,3V04长、宽为高的2倍时，所用材料最省 封闭时,长、宽、高的尺寸如何利用对称性可知,xyz3 底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设 日函数?长、宽、高尺寸如何?F2(xzyz2xyl(xyz-V0)长、宽、高尺寸相等. y2

A13B42

9+

=1(x0,y0)C△ABC积S△最大 设C点坐标为(x, 则 = 1

AB·

y-

=(0,0,x+3y-2=1x+3y-102

F=(x+3y