平面向量基本定理(教案)及平面向量基本定理(说课稿)

《2.3.1平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。【目标分析】知识与技能理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。情感态度价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。【学情分析】有利因素学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。不利因素学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能增加向量用基底表示时的难度；对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。【教学重点、难点、关键】重点：平面向量基本定理的理解与应用。难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学手段】计算机、PPT、几何画板。【教学过程设计】教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图（一）游戏引入游戏介绍：同桌两人为一组，单号的同学在平面上任意画两个向量e1,e2师生共同回顾游戏中所利用的旧知识教师进一步抛出新的游戏题目：现在由双号的同学在平面内任意画一个向量，同桌一起讨论能否用形如λ+μ的向量表示出来？教师边作图边回顾向量的加减及数乘运算，平行四边形法则。教师提示游戏其实是物理学中力的合成和分解问题。学生动手作图并在教师的引导下复习旧知识。让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固。通过游戏开场，引发学生学习的兴趣；同时新的游戏题目，激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。、（二）分层探究（三）定理形成探究一任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？（复习向量共线定理）探究二任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？如图1，设e1,ee2ae1图1请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量。小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？教师提问：学生画完图后，小组对照片刻，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致，即观察分解的结果是否唯一？(学生观察并讨论)探究结果分解结果一致，即该分解唯一。教师提问：既然a可以分解成e1，e2两个方向上的向量，那么a是否可以用含有e1，e2的式子表示出来？(学生回答，教师板书)板书：=e1，=λ1e1；=e2；=λ2e2；=a=+=λ1e1+λ2e2追问：一对数λ1，λ2是否唯一？(学生讨论并回答)教师点评：分解结果的唯一，决定了两个分解向量的唯一，由共线向量定理，有且只有一个实数λ1使得=λ1e1成立，同理，实数λ2也唯一，即一组数λ1，λ2唯一确定。探究三探究二中的向量a可否用其他两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画出向量a和不共线的向量e3,探究结果：可以选取不同一组不共线的向量表示向量a。探究四请同学们把刚刚同桌双号同学任意画出的向量用两个不共线的向量表示出来。探究结果：平面内任一向量都可以分解成两个给定方向上的向量。由分层探究的过程，教师引导学生尝试概括定理，得到平面向量的基本定理及相关概念。学生活动（思考并讨论）：

（1）作为基底的这两个向量是什么位置关系？（共线还是不共线，共线为什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（无数组）（动画演示）（3）当基底确定后向量的表示是否唯一？（唯一）教师发出指令引导学生探索新知。启发学生得出定理，强调定理中的重点词句，剖析这其实是把向量代数化，为研究问题带来极大方便。学生动手操作体会定理的探索过程。学生通过分层探究的过程归纳总结定理教师层层深入引导探索，从简单到复杂，从特殊到一般，让学生亲身经历定理的发生、形成过程，并体会探索问题的思路。得出平面向量基本定理的内容，进一步强化理解。（四）定理运用（六）小结作业MABCD例已知ABCD的两条对角线相交于点M，设=，=，试用基底、表示、、和。MABCD思考一：能否用、表示、？用怎样的法则运算？思考二：，与哪些向量有关？学生回答，并完成题目，归纳解题方法。分析：1、不共线，所以平面内的所有向量都可以用它们作基底来表示。2此类题目的关键是找所求向量与基底间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则来寻求。练习如图：质量为m的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面与物体的摩擦力知识总结：1平面向量基本定理2基底、向量夹角、垂直的概念3定理的应用思想方法总结：本节课主要应用了数形结合及转化的思想。平时学习中要注意数学思想方法的运用。作业：1、课本第77页第3、4、5题，2、思考题：空间任一向量是否有类似的结论吗？教师引导学生讲解学生思考识别解决问题1.根据变式理论，设计了不同形式类型的典型例题，强化定理的应用。2.练习主要是要让学生再一次感受定理在物理学上的应用，体会数学是“有用的”《平面向量基本定理》说课稿教材：北师大版数学4（必修）第二章平面向量§3.2教材地位分析本节是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修4第二章第三小节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，具有代数和几何的双重特征。因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。在高中数学中，它是沟通代数、几何与三角函数的重要工具，同时有着丰富的物理和生活实际背景，在生活和现代高考中有着重要的作用，具有很高的教育价值。平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅揭示了平面向量间的基本关系和向量的基本结构，提供了向量几何表示的方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁，使几何问题可以通过向量的坐标运算来解决。根据学生的认知规律及教学内容，我确定本节课的重点：1、对平面向量基本定理的探究；2、利用平面向量基本定理进行向量的分解。难点：平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解。教学目标分析基于上述对教材地位和内容的剖析，根据新课程标准中发展学生数学应用意识的基本理念，结合学生已有的知识结构与心理特征，我制定了以下的教学目标：知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会用基向量表示平面中的任一向量，为向量坐标化打下基础；2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。过程与方法1、通过对平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题的能力，加强思维能力的训练。2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。情感、态度与价值观1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；3、培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩证思想。三、教法与学法分析1、以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，展开所要学习的数学主题，突出探索式学习方式。2、在教学过程中，教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，积极引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。3、利用多媒体等手段，通过观察、建模、合作与交流等数学活动，进行探究性学习。四、教学过程分析[创设情境、提出问题]情境一：（播放嫦娥一号探测器发射的视频）北京时间2007年10月24日18时05分左右，嫦娥一号探测器从西昌卫星发射中心由长征三号甲运载火箭成功发射。卫星发射后，将用8天至9天时间完成调相轨道段、地月转移轨道段和环月轨道段飞行。经过8次变轨后，于11月7日正式进入工作轨道。11月18日卫星转为对月定向姿态，11月20日开始传回探测数据。问题1：火箭在升空的某一时刻，可以如何描述其飞行方向？（速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度（如图）．）情境二、我们在小的时候都玩过“滑滑梯”，滑梯越高、越光滑，滑的速度越快，越舒服，那感觉就象“开飞机一样”。问题2、你知道是什么力量让你从滑梯的上端滑下来的吗？情境三、如图，一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线AO和绳BO拉住。问题3：为什么两种不同的方式，产生的效果会相同（都能把电灯吊起来。）设计意图：结合本节的教学内容，创设与现实生活相联系的生活情境，创设富有探索性的问题情境引入学习主题，便于提高学生学习兴趣，展开数学探究，并培养学生热爱祖国热爱生活的热情。[思考交流，构建概念]问题1如果和是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，那么与、之间有关系吗？怎样探求这种关系？给出四种不同形式的向量位置，学生分组探讨三者之间关系，教师利用几何画板演示学生成果，形成定理： e2e2平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数,使。我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。设计意图：1、问题1的提出，主要是在通过问题情境中的三个实例，说明“物理学中的矢量可以在两个不同方向上进行分解”后，向学生提出：“数学上的向量是否也可以在两个不同的方向上进行分解？”把生活中的实际问题抽象成数学问题，引起学生思考。2、学生分组讨论环节的设置主要是为了给学生提供主动参与的空间，让学生在处理问题的过程中主动获取、主动发展。[观察比较，突破难点]问题2：1.什么样的两个向量、才能作为一组基底呢?2.定理中，、是否惟一呢?3.对于向量，相对于、的表示是否唯一呢?设计意图：教师通过提问,并用几何画板课件演示，引导学生进行理论探究,让学生对问题从感性认识回归到理性认识。突破对该定理理解的难点。[数学应用，加深理解]例一：已知向量、（如图），求作向量。设计意图：一方面巩固上节数乘向量知识，另一方面加深对平面向量基本定理的理解。ABCDEF例二：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，，用，表示和。ABCDEF设计意图：进一步巩固平面任一向量都可表示成两不共线向量之和的结论，为向量的几何应用