【全国通用高考数学一轮导学案】第十章-103数学归纳法课件

数学浙（文）§10.3数学归纳法第十章推理与证明、复数基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分第一个值n0数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取

(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当

时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.n＝k＋1思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(

)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(

)×××(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(

)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(

)返回×√√题号答案解析1234

EnterCC解析思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).n从k变到k＋1，左边增乘了2(2k＋1).思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).证明

①当n＝1时,等式左边＝2,右边＝2,故等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立.由①②可知，对所有n∈N*等式成立.用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.思维点拨解析思维升华题型一用数学归纳法证明等式例1求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).左边＝右边，等式成立.即对所有n∈N*，原式都成立.思维点拨解析(1)利用题中条件分别确定a的范围进而求a；思维点拨解析思维点拨解析所以a2≤1.思维点拨解析解得a≥1.又因为a2≤1，所以a＝1.思维点拨解析思维点拨解析思维升华(2)利用数学归纳法证明.思维点拨解析思维升华证明用数学归纳法证明：思维点拨解析思维升华故n＝2时,原不等式也成立.思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．思维点拨解析思维升华(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.思维点拨解析思维升华∵左边>右边，∴不等式成立.(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，则当n＝k＋1时，∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想{an}的通项公式，然后用数学归纳法证明.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.思维点拨解析思维升华(2)证明通项公式的正确性.跟踪训练3在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0).(1)求a2，a3，a4；解

a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.跟踪训练3

(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明.解由(1)可猜想数列通项公式为：an＝(n－1)λn＋2n.下面用数学归纳法证明：①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，所以当n＝k＋1时，an＝(n－1)λn＋2n，猜想成立，由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0).思维点拨规范解答答题模板系列7归纳—猜想—证明问题典例：(10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(1)由S1＝a1算出a1；由an＝Sn－Sn－1算出a2，a3，a4…观察所得数值的特征猜出通项公式.答题模板系列7归纳—猜想—证明问题典例：(10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；思维点拨规范解答答题模板系列7归纳—猜想—证明问题典例：(10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；解当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a1＝1.思维点拨规范解答2分

答题模板系列7归纳—猜想—证明问题典例：(10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，4分

思维点拨规范解答规范解答答题模板温馨提醒答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.5分

答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.证明

①当n＝1时，a1＝1，结论成立.②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，规范解答答题模板温馨提醒答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.∴2ak＋1＝2＋ak.9分

10分

规范解答答题模板温馨提醒归纳—猜想—证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列

的通项或一般结论.第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N*)成立.答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模板温馨提醒第三步：假设n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结

论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立.答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模板温馨提醒解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.规范解答答题模板温馨提醒(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.答题模板系列7归纳—猜想—证明问题(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.返回规范解答答题模板温馨提醒方法与技巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.方法与技巧3.利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；返回2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.234567891011.用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析

∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；C234567891012.如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立.若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是(

)A.p(n)对所有正整数n都成立

B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立

D.p(n)对所有自然数n都成立解析

n＝2时，n＝k，n＝k＋2成立，n为2,4,6，…所有正偶数.B2345678910123456789101解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.答案

D23456789101C2345678910123456789101答案

C234567891016.设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________________.2345678910123456789101234567891018.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)＝____；当n>4时，f(n)＝______________(用n表示).523456789101∴原等式成立.(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，2345678910123456789101∴n＝k＋1时，等式也成立，23456789101证明(1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，0≤ak<ak＋1，23456789101根据(1)和(2)，可知an<an＋1对任何n∈N*都成立.23456789101121314151111.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命题总成立的是(

)A.若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成