高中数学-第一讲-绝对值不等式的解法2课件-新人教A版选修45

2．绝对值不等式的解法(jiěfǎ)第一页，共46页。第二页，共46页。1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集.不等式a>0a=0a<0|x|<a_______________|x|>a___________________________{x|-a＜x＜a}∅∅{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}R第三页，共46页。2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法(jiěfǎ).(1)|ax+b|≤c⇔____________.(2)|ax+b|≥c⇔__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c第四页，共46页。3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的_______性，进而去掉绝对值符号.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.正确求出函数的_____并画出函数图象(有时需要考查(kǎochá)函数的增减性)是关键.正、负零点(línɡdiǎn)第五页，共46页。1.|x|的几何意义是什么？提示：|x|表示数轴(shùzhóu)上的点x到原点O的距离.第六页，共46页。2.不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析(jiěxī)】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)第七页，共46页。3.不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析(jiěxī)】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：第八页，共46页。解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题方法求解(qiújiě)；注意不可盲目平方去绝对值符号.第九页，共46页。类型一简单绝对值不等式的解法【典型例题】1.不等式的解集是_____.2．不等式的解集为______.【解题探究】1.不等式的几何意义(yìyì)是什么?2.不等式等价于什么?第十页，共46页。探究提示：1.可化为|x－4|≤2,它的几何意义是数轴上到坐标为4的点的距离不大于2的点的集合.2.【解析(jiěxī)】1.解得2≤x≤6.答案：［2,6］第十一页，共46页。2.所以(suǒyǐ)原不等式的解集是(－2,0).答案：(-2,0)第十二页，共46页。【拓展提升(tíshēng)】绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即①当a>0时，|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a.|f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a.②当a=0时，|f(x)|<a无解.|f(x)|>a⇔f(x)≠0.第十三页，共46页。③当a<0时，|f(x)|<a无解.|f(x)|>a⇔f(x)有意义即可.(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.此类问题的简单解法是利用(lìyòng)平方法，即|f(x)|<|g(x)|⇔［f(x)］2<［g(x)］2⇔［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0.第十四页，共46页。(3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.此类不等式的简单(jiǎndān)解法是等价转化法，即①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.第十五页，共46页。(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.此类问题的简单解法(jiěfǎ)是利用等价转化法，即a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.(5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式.此类问题的简单解法(jiěfǎ)是利用绝对值的定义，即|f(x)|<f(x)⇔x∈∅，|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.第十六页，共46页。【变式训练(xùnliàn)】解不等式2＜|2x+3|≤4.【解析】原不等式等价于

所以原不等式的解集是第十七页，共46页。类型二含多个绝对值不等式的解法【典型例题】1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为______.2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为______.【解题(jiětí)探究】1.题1中如何去掉绝对值号？2.解决题2的关键是什么？第十八页，共46页。探究提示：1.题1中可采用(cǎiyòng)不等式两边同时平方的方式去掉绝对值符号.2.解决题2的关键是理解绝对值的几何意义.【解析】1.|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2所以原不等式的解集为答案：第十九页，共46页。2.方法一：如图,设数轴上与-1,1对应(duìyìng)的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应(duìyìng)数轴上的x.所以-1-x+1-x=3,得同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应(duìyìng)数轴上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以第二十页，共46页。从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边(yòubian)的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是第二十一页，共46页。方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得当-1＜x＜1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解(wújiě).当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以综上,可知原不等式的解集为第二十二页，共46页。方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函数的图象(túxiànɡ)(如图).函数的零点是第二十三页，共46页。从图象可知当或时,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以(suǒyǐ)原不等式的解集为答案：第二十四页，共46页。【互动探究】若将题1中的不等式改为(ɡǎiwéi)求它的解集.【解析】又2－x≥0，所以x≤2.所以原不等式的解集为【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x≥0而致误.第二十五页，共46页。【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解法：分区间(分类)讨论(tǎolùn)法\,图象法和几何法.分区间讨论(tǎolùn)的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.第二十六页，共46页。(2)分区间(分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解(lǐjiě),即也即x∈R.x为非负数时,｜x｜为x;x为负数时,｜x｜为-x,即x的相反数.第二十七页，共46页。(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c(c>0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=｜x-a｜+｜x-b｜-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确(zhèngquè)地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设a<b,于是这种图象法的关键是合理构造函数,正确(zhèngquè)画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.第二十八页，共46页。【变式训练】解不等式：|x－1|+|2－x|＞2.【解析(jiěxī)】原不等式可等价转化为或或解不等式组得或所以原不等式的解集为或第二十九页，共46页。其他类型的绝对值不等式【典型例题(lìtí)】1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____.2.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的取值范围是_______.3.解不等式：|x2－3|＜2x.第三十页，共46页。【解析】1.|2x-3|<3x+1,由题意知3x+1>0,原不等式转化为-(3x+1)<2x-3<3x+1.以上不等式等价(děngjià)于所以原不等式的解集为答案：第三十一页，共46页。2.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.若a<1,则⇒f(x)的最小值为1-a.若a>1,则⇒f(x)的最小值为a-1.综上可知，所求a的取值范围(fànwéi)是(-∞,-1］∪［3,+∞).答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)第三十二页，共46页。3.因为(yīnwèi)|x2－3|＜2x，所以x＞0，所以|x2－3|＜2x⇔－2x＜x2－3＜2x⇔解不等式组得第三十三页，共46页。【拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后(zuìhòu)把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集.(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有以下几种：形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜>g(x)的求解方法：(ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，第三十四页，共46页。即(ⅱ)根据公式(gōngshì)：|x|<a⇔-a<x<a(a∈R且a>0);｜f(x)｜<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x);|x|>a⇔x>a或x<-a(a∈R且a≥0);｜f(x)｜>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R)，若不等式两边非负,可在不等式两边同时平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜⇔f2(x)≤g2(x).第三十五页，共46页。【规范解答】含参数的绝对值不等式的解法(jiěfǎ)【典例】【规范解答】因为a∈R,故分以下两种情况讨论：(1)当a+1≤0①,即a≤-1时，【条件(tiáojiàn)分析】第三十六页，共46页。原不等式无解，即不等式的解集为∅.…………4分(2)当a+1>0,即a>-1时，……………………6分原不等式可变为-a-1<2x+3<a+1.……………8分所以(suǒyǐ)………10分综上可知，当a>-1时，原不等式的解集为②当a≤-1时，原不等式的解集为∅.………12分第三十七页，共46页。【失分警示(jǐnɡshì)】第三十八页，共46页。【防范措施】含参数的绝对值不等式解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进行讨论，如本例需对a+1的符号进行(jìnxíng)讨论，否则易导致错误结果.第三十九页，共46页。【类题试解】解关于(guānyú)x的不等式：|x2-a|<a.【解析】当a≤0时，不等式的解集为∅.当a>0时，原不等式等价于-a<x2-a<a⇔0<x2<2a,所以综上所述，当a≤0时，原不等式的解集为∅;当a>0时，原不等式的解集为第四十页，共46页。1.不等式|x－1|＜1的解集为()A.(0,2)B.(－∞,2)C.(1,2)D.［0,2)【解析(jiěxī)】选A.|x－1|＜1⇔－1＜x－1＜1⇔0＜x＜2.第四十一页，共46页。2.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解为()A.1<x<2B.0<x<1C.x>1D.x>2【解析】选C.由|a-b|≤|a|+|b|,其中等号成立(chénglì)的条件为：ab≤0,所以原不等式成立(chénglì)，即