2017年高考数学全国卷1试题参考答案

2017年全国普通高校招生统考试题参考答案

（数学理）数学（理科）一।选择题：本魏共口小朝，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L已知集合4-；工;工门1-3 卜则[A]3.C./UE="|工＞]}如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太械图,正方形内切脚中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心城中心对称一在正方形内随机取一点，则此点取力黑色部分的概率是A.C.£4工2[B]R.4班有F面四个命思[BJPt：Pt：若复数e满足一eR・则二wR；/々：若复数二满足m'eR.则工仔R：Z四：若复数4，与满足的e?eR,其中的真命趣为则片二0；pA；若复数工eR，4.A.P\iPi同生为等差数列MJ的前?1项和.若为十%=24,邑=4九则忸/的公差为IC】A.I5.函数人幻在（一.■K用单调递减，旦为奇函数.若川｝=-1,则满足-1毫5.6.的工的取值范围是A.[-2,2] 氏[T]]|1+《川+工-展开式中/的系数为xA.15民20某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成.正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个足梯形，这些梯形的面积之和为A.B.C,101214D.[D]D.[1J]035[B]X.右面程序框图是为了求出满足3"-2内>1000的段小偶数”,那么在。和匚二I两个空白框中.可以分别填入 (DJ1・4=3s_2”|/㈣!”A>\000fHw=//+l1・4=3s_2”|/㈣!”A>\(2()和〃=〃+2C.力41000和〃D・力其】000和〃=〃+29.已知曲线C：y=cosx.C;：j-=sin(2.v+y).则卜面结论正确的是 [D]A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三6个单位长度，得到曲线JB.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移自个单位长度，得到曲线&一TOC\o"1-5"\h\zc.把q上各点的横坐标缩短到原来的L倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移四2 6个单位长度,得到曲线CD，把G卜.各点的横坐标缩短到原来的!倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移三, 2 12个单位长度，得到曲线C?10.已知"为抛物线CV、心的焦点，过厂作两条互相垂直的直线小L，直线人与C交于8两点，直线44。交于。.£两点，则|/仍|十|DE|的最小值为【A】A. 16 B,14 C 12 D.10H.设kf，2为正数，且2工二3,三5：,贝I」 [D]A. 2.r<3v<5z B,5z<Zx<3y C. 3y<5z<2x D.3y<lx<5z.几位大学生响应国家的创业号召，开发r一款应用软件-为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学即获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为卜.面数学问题的答案：已知数列I,I,2,LL4,I,2,4.8,I,2,4,X,16,…，其中第一项是2°,接下来的两项是是,21再接下来的三项是2。，T,23依此类推.求满足如卜.条件的最小整数ALA-》]00旦该数列的前N项和为2的整数福.那么该款软件的激活码是 【A】A.440 B,330 C.220 D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..已知向量。,方的夹角为60。便|=2,d|=l,则|。+2加=.x+2v^l,.设x,另满足约束条件、2.gj工-L则2彳3\—白勺最小力’1为一5LJW0,10

.已知双曲线C二-匚=1(a>06>0)的右顶点为以,4为圆心，6为半径作圆A"Ar圆H与双曲线C的一条渐近线交于M.N两点,若NM4N=60。，则一的离心率%26为丁.如图，圆形纸片的圆心为。.半径为5cm,该纸片上的等边三角形/用C的中心为O.D,反尸为圆。上的点，△OBC,△EC4, △分别是以笈C,C4”月为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△。月C,LECA,△尸使得OE,斤重合，得到三棱锥.当A/AC.的边长变化时,所得:梭锥体积(单位：cm，)的最大值为的行.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。.。2分)2△X6C的内角H,B,C,的对•边分别为a,b,c.J知△H8C的面积为—.3sinACl>求sinbsinC；(2)若6c4)s£/c0sC=I,〃=3,求△.48C的周长.解：(I)由题改得La(winS=—。,即-csin=—*一.2 3sinA 2 3sinATOC\o"1-5"\h\z由正弦定理得isinCsin8= ,3sinA故sinNsinC'=j-(2)由题设及(I)Wcos^cosC-sin/?sinC--•-,即cos(6+C)=-L2 2所以3+C=空，故村=四.3由题设得,bcsinA=——，即be=8,2 3sinJ由余弦定理得四十E-机：=9,即伪+c尸-3加=9，得b+G=亚,故△zfBC的周长为3十曲.II

IS.(12分)如图，在四棱锥产一"O中，ABfiCD、J1NA4P二NCOP=90。.(1)证明」平面R4N，平面小。：⑵若PA=PD=：B=DC,ZAPD=900,求二面用d-P3-C的余弦值.C）由已知NB,4P=/C'QP-90°,AB1AP,CD1PD.由于/出〃CD,故/火_L&X从而力8J.平面P4Q.又/Su平面P/B,所以平面£45,平面方/>.C2)在平而P40内作P/7，/!。,垂足为五.ill(I)可知，力力，平面R4D,故」可得平面ABCD,由(I)及已知可得#4,0,0),P(0,0，与,设〃=(工,外Z)是平面由(I)及已知可得#4,0,0),P(0,0，与,设〃=(工,外Z)是平面PCH的法向量,则书=。'即修—7=。"叱函=0、 ］氐=仇可取〃=&T-e),设M=(2,z)是平面PAR的法向量，则*或=°，叩I—2=0.TOC\o"1-5"\h\z—即・2 27/1•AB=0, ny=0.可取/n=(L0.1).则costn.fn、- ---.' /l〃IIH3所以二伍角A-PE-C的余弦值为-孚.・、19.412分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线匕随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单.位：cm).根据长期生产经脸，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(〃,/).(I)假设生产状态正常，记*表示一天内岫取的16个零件中其尺寸在(“-+36之外的零件数，求P(X2)及K'的数学期望；12(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在9十36之外的零件，就认为这条生产线在这一•天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行跄杳.Ci)试说明上述监控生产过程方法的合理性：Cii)下而是检验处在一天内抽取的16个零件的尺寸；9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9,98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得亍=白线=9.9九$=\/£(再-打=、3汽片-哧”0.212.其中司16片 V V167T为抽取的第i个零件的尺寸，f=用样本平•均数工作为〃的估计值"，用样本标准差落作为。的估计值6,利用估计侑判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(Q-3抗"十33)之外的数据，用剩下的数据估计“和。《精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布则R〃一为vZv“+3b)=09974.0.9974h,0.9592,V().()0X=0.09.ft?:Cl)抽取的一个零件的尺寸任(〃-3cr.w+3G之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在+储)之外的概率为0.0026,故T~8(16,0,0026),因此产(X>1)=1-尸(*=0)=I-0997”上0.040X,X的数学期望为 =16x0,0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常.，个零件尺寸在(〃-3b.“+3b)之外的概率只有0.0026,•大内抽取的16个零件中.出现尺寸住(“-3cr.“+36之外的零件的概率只有0.040S.发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)|llx=9.97.5^0.212,得“的估计值为/=9.97,f7的估计值为3=0.212,由样本数据可以看出有个零件的尺寸在(。-33,之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(启-3抗4十片)之外的数据9,22,剩下数据的平均数为^(16x9.97-9.22)=10.02,因此"的估计值为10.02.脩£.v；=16«0,2122+16«9.972 591.134,r=i剔除十33)之外的数据9,22,剩卜数据的样本方盖为—{I591.134-9.22--l5x|Q.O22)^0.008，15因此b的估计值为《U.OOX=0.09.13

2（）.（12分）已知椭网C：讶+/=1（。＞力＞0）,四点或（1,1）,AQT）,R（—。）,£（1,半）中恰有三点在椭圆C上.（I）求C的方程；（2）设直线/不经过片点且与C相交于儿9两点.若直线g4与直线6以的斜率的和为-1,证明：/过定点.解t（□由于4两点关于〉，轴对称，故山题设知。经过月，B两点•乂由‘+上知，C不经过点《，所以点只在C上J_=I因此6：,解得卜iU悼=1・lir4万■故C的方程为三十jj=l.4（2）设直线£力与直线巴火的斜率分别为人，如果/与工轴垂直，设/：x=t,由题设如，,0,且|「|＜2,可得,4,6的坐标分别为亿罕“罕）.4 乙It2t得It2t得f=2,不彳遮设,从而可设/：v=h3m±1).将v-kx+ni代入L4r=1得4(4Ar：+l)x:+8Aw.x+4w?-4=0.由题设可知△=16(4好-〃['+1)>0.设A(x1设A(x1)，B&,%)*则x.+x2=8Am4nr-4rJi-1M-1

1^^=--+ —A三kx}4〃j—1kx,+/w-12£rrr?+(m—1)(^+x.)•3由侬设占+上2=-I•故（2A+1同巧+（,〃一1）（币+巧）=0,■1n .八4wi—4八—Xkm八即（2八1）.7TL』（川-1）,万「=仇4&+1 4江十I解得=14当口仅当〃?>-1时，△a0,尸是Z：y=---^―.V+m，即y+1=-巴9a-2),所以/过定点(2,-1)..(12分)已知函数fix')=cre2x♦(a-2)e*-x.(1)讨论的单调性；(2)若八、)有两个零点.求a的取值范围.解二(I)—的定义域为(yo,+«)，f(x)=2ae2'4^-2)e,-l=U/e'-l)(2e,+1).(i)若。Wo,则/a)vO,所以，(x)在(fo,F)单调递减.(ii)若a>0,则由八刘=0得k=—Ina.当xwS-InG时,f(x)<0•当丁£(-Ina,+8)时,fr(x)>0.所以/(无)在(a)单调递减”在(-Ina,+•»)单调递烟.C2)(i)若a&0.由(1)知，八外至多有一个零点.(ii)若。>0,由(1)知，当;v二一时，J(r)取得最小侑，最小值为/《Tn“)=1—+lna•a①当"I时，由于/(-1114)=0,故/(t)只有一个零点：②当aw(l.+3o)时，由于1-1+hi">0,即/(Tna)>0,故没有零点；a③当aw(0,l)时,l—L+ln«<(),即八一lna)<0.a-/(-2)=—T♦(”2*42>—2婷♦2>0.故/⑻在—Ind)有,个零点.设止整数%满足n0>ln(--1)声则f(n0)=d(.铲+a-2)-%>c"-ff0>2%-%>0.a由「InP-l)>-ln4,因此/'(a)在(一ln“•十⑹有一个零点.a综上，《的取值范围为(04).(二)选考题；共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分b.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系万。『中，曲线(?的参数方程为J.一二刃.C0为参数)，直线/的参J,二§1口。数方程为户=':"(，为参数).(D若〃=-1,求C与/的交点坐标：(2)若C,上的点到/距离的最大值为而■求a.解。⑴曲线。的普通方程为/丁=1.15当”=一1时.直线，的普通方二程为x-4.