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文档简介

第五章定积分一定积分的概念与性质

1.定积分的定义2.牛顿莱—布尼兹公式

3.原函数存在定理

4.定积分的性质定积分的计算

1.换元积分

2.分部积分

3.广义积分

4.定积分的导数公式三定积分的应用

1.平面图形的面积

2.旋转体的体积一定积分的概念与性质1.定积分的定义

（1）定积分的实际背景1.曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.

曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：曲边梯形的面积≈所有窄条矩形面积之和矩形估计方法a.分割:在区间中任意插入个分点

将大曲边梯形分割成n

个窄条曲边梯形则对应的窄曲边梯形的面积设在上连续,且

.b.取近似:c.作和:

d.求极限:记,则（2）.定积分的定义

定义设函数在上有定义，任取分点记分区间为n

个小区间再在每个小区间上任取一点，作乘积的和式：积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量

若积分存在，则积分值与以下因素无关：（3）.定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和2.牛顿莱—布尼兹公式牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题.例

计算下列定积分解：3.原函数存在定理简单性质:注意:

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小.4.定积分的性质（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2

例1下列各式不正确的是（）.(A)(C)(D)(B)Do注意：不论

的相对位置如何,上式总成立.性质3(定积分的区间可加性)o性质4推论解令于是由性质4的推论（此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围）性质5(估值定理)例3估计积分值:解性质6（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公

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