第三章信号检测与估计理论4课件

总结分析：(1)前面讨论的信号的统计检测问题(2元、M元)，观测次数N是固定的，在达到规定的观测次数后，强制作出M个假设中其中一个假设Hj成立的判决，这种判决方式通常称为硬判决。

(2)信号检测的性能分析表明，功率信噪比与观测次数N成正比。3.8信号的序列检测1通常情况下，观测是顺序进行的，即各次的观测信号xk是顺序得到的，这样如果我们事先不规定观测的次数N，而按照实际情况，采用边观测边判决的方式，如果观测到第k次还不能作出满意的判决，则可以不判决，而继续进行k+1次观测。称之为信号的序列检测。2信号序列检测的好处信号的序列检测使所需平均意义上的检测时间相对于固定观测次数N的检测时间有所减小。即在给定检测性能指标的情况下，它所用的平均观测次数最少，平均检测时间最短。33.8.1信号序列检测的基本概念

在进行信号的序列检测时，若不预先规定对信号的检测次数N，而是在获得第一个观测信号x1时就开始判决所能达到的指标，如果在满足性能指标要求的前提下能做出判决，则信号检测过程便结束，否则继续进行下一步观测,进一步判决。(1)信号的序列检测的基本概念；(2）信号的序列检测的平均观测次数；4图3.20序列检测的判决域继续判决对于最常用的二元信号的序列检测，其划分问题如下5检测门限1检测门限26信号序列检测使用的准则

为了实现信号的序列检测，一般采用修正的奈曼—皮尔逊准则，在该准则下，信号的序列检测是在给定的性能指标P(H0|H1)和P(H1|H0)的条件下，从获得第一个观测量x1开始进行似然比检验，检验的两个检测门限是由两个错误判决概率P(H0|H1)和P(H1|H0)的值计算出来的。7设N次观测信号xk所构成的N维观测矢量为xN=(x1,x2,…,xN)T,其似然比函数为如果假设各次观测是相互统计独立的，则序列检测的似然比函数可以表示为：8进一步写成H1成立H0成立9根据下一次观测进行检验1011取上限取下限1213

3.8.2信号序列检测的平均观测次数

信号序列检测的平均观测次数是该检测方式的一个重要参数，下面计算E(N|H1)和E(N|H0)，其中N是终止观测的观测次数，它是个随机变量。14

如果信号序列检测到第N次观测时终止，即满足15

可得假设H0为真时

可得假设H1为真时

161718192021注解：虽然信号的序列检测是有终止的，但有时候观测次数太大，这时候我们需要规定一个观测次数的上限N*；超过N*则转为固定观测次数的判决方式，称为可截断的序列检测。

结论：对于给定的错误判决概率约束条件，这种序列检测方式所需的平均观测次数E(N|H1)和E(N|H0)是最少的。2223242526272829如果对所有的假设Hj，信号的概率密度函数都是高斯概率密度函数，则称此类信号的检测为一般高斯信号的统计检测本节在一般高斯分布的联合概率密度函数的基础上，讨论一般高斯二元信号的统计检测。3.9一般高斯信号的统计检测303.9.1一般高斯分布的联合概率密度函数定义1：联合高斯随机变量：若有一组随机变量x1,x2,…xN，当它们的所有线性组合都是高斯随机变量时，则称这组随机变量是联合高斯随机变量。

定义2:N维高斯随机矢量：若有一个N维随机矢量x,其各分量x1,x2,…xN是联合高斯的随机变量时，则称x是N维高斯随机矢量。3.9一般高斯信号的统计检测31定义3：一般高斯分布的联合概率密度函数设是维高斯随机矢量，意即其各个分量是联合高斯的随机变量。则高斯随机矢量的N维联合概率密度函数为32式中，均值矢量其中协方差矩阵

其中333.9.2一般高斯二元确知信号的统计检测

设是N维高斯随机矢量，34

设假设下，接收信号的概率密度函数为而假设下，接收信号的概率密度函数为则由似然比检验，经化简得一般高斯二元确知信号统计检测的最佳判决通式为35

3.9.1036判决式表明，可以分三种情况三种情况中的任意一种出现，都能实现信号状态的最佳判决。讨论：1.情况（3）最佳判决式为前面已经给出的(3.9.10)判决通式。2.讨论前两种情况(1)和(2)。372.情况（1）等协方差矩阵的情况若假设H0和H1下，观测信号的均值矢量不等，协方差矩阵相等

38将3.9.11和3.9.12式代入3.9.10得检验统计量l(x)的左边为39令则由判决通式（3.9.10）得最佳判决式简记为分析：检验统计量是由高斯随机矢量经两次线性变换得到的一维高斯随机变量。这将对性能分析带来方便

。性能分析：现研究检测性能。就和前面章节的相同了。

4041

检验统计量是高斯分布的，称为均值偏移高斯—

高斯问题。其判决概率和分别为

式中，参数的平方定义为称为偏移系数。对于此类信号检测问题，其检测性能完全

由偏移系数d2决定。42

以上我们给出了二元确知信号检测时，如果检验统计量是高斯分布的，其偏移系数为，判决概率和的公式。该结果同先求出和，再根据判决式，对进行积分求出判决概率的结果是一样的。

在等协方差矩阵情况下，根据协方差矩阵的结构，讨论几种特殊情况。43A设等协方差矩阵中的各元素满足在这种特殊情况下意味着各次观测信号xk之间互不相关，因而也统计独立，且各个分量xk的方差都相等44于是在两个假设下的协方差矩阵为其逆矩阵为45则检验统计量l(x)为检测门限为偏移系数d2为4647B设等协方差矩阵中的各元素满足在这种特殊情况下意味着各次观测信号xk之间互不相关，因而也统计独立，且各个分量xk的方差不相等48两个假设下的协方差矩阵为其逆矩阵为49因此，其检验统计量为50显然在上式中，具有小方差的观测信号分量加权越重，对检验统计量l(x)的贡献越大，检测门限为偏移系数d2为51偏移系数d2为小方差对l(x)贡献大52这两种特殊结构的协方差矩阵形式，信号统计检测的判决式的检验统计量l(x)和检测门限都是简明的表示式，决定检测性能的参数d2也可以简单求得。有两个简单特点。1观测信号互不相关2协方差矩阵为对角矩阵53C观测信号xk之间是相关的

其主要思路就是将这种情况下的协方差矩阵变换为对角阵。变相关为不相关。54

因为协方差矩阵Cx是对称的正定阵，利用对称矩阵的正交变换定理，将协方差矩阵Cx变换为对角阵。这也是我们以前线性代数中的知识。555657585960616263643等均值矢量情况此时即信号检测的判决表示式为65在等均值矢量情况下，概率密度函数p(x|H0)和p(x|H1)在N维观测空间中的坐标中心是相同的，故均值矢量不能提供判决假设H0和H1成立的信息，而要靠两个协方差矩阵的差异Cx0和Cx1。66因此，在等均值矢量情况下，把概率密度函数p(x|H0)和p(x|H1)的坐标中心移到原点，（即令均值矢量等于0），同时对检测门限进行适当调整，就可以得到相同的判决结果，令67则式3.9.60可表示为68根据信号s的协方差矩阵Cs的结构，教材分为三种特殊情况进行了讨论。这里从略。693.10复信号的统计检测前面讨论的都是实信号的最佳检测理论模型、最佳判决表示式、检测性能分析复信号的检测应用比较广泛把实信号检测的结论推广到复信号70主要内容复确知二元信号的统计检测复高斯二元随机信号的统计检测713.10.1复确知二元信号的统计检测1首先考虑复高斯噪声独立同分布条件下，简单二元复确知信号的统计检测72是N维复高斯随机矢量，则两个假设条件下的N维联合概率密度函数为73H表示复共轭转置747576图3.23独立同分布Cn情况下简单二元复确知信号检测原理框图77下面简要讨论其检测性能独立复高斯随机变量之和仍是复高斯随机变量，其实部为高斯随机变量。求其均值和方差，从而获得其检测性能。首先，令它是复高斯随机变量，其均值和方差分别如下78798081828384复信号的偏移系数为实信号偏移系数的2倍8586下面考虑复高斯噪声独立同分布条件下，一般二元复确知信号的统计检测87两假设下的复信号矢量分别为88两复信号均为N维矢量，所以观测信号在两个假设下的N维联合概率密度函数分别为89根据似然比检验得90图3.24独立同分布Cn情况下一般二元复确知信号检测原理框图

91下面分析以上判决的检测性能，首先定义92939495969798991003.10.2复高斯二元随机信号的统计检测

101102103104105106107图3.26复高斯二元随机信号检测原理框图108109110

第3章主要内容3.2信号统计检测的基本概念信号不同状态的假设；不同状态信号的统计描述；根据信号统计特性的差异，作出合理地判决；判决结果为，判决概率为；

最佳判决的实质是满足某种指标要求的判决域最佳划分，数学上表示为最佳判决式。

最佳判决的性能分析，关键是要求出检验统计量的概率密度函数，进而求出判决概率，最终分析检测性能。1113.33.4

二元确知信号统计检测的三个主要准则的基本概念：贝叶斯准则先验概率已知，代价因子指定，使平均代价最小；最小平均错误概率准则先验概率已知，代价因子，使平均错误概率最小；奈曼－皮尔逊准则在约束下，使

最大。二元确知信号的统计检测112

二元确知信号统计检测的最佳判决式：似然比检验判决式化简为检验统计量与检测门限比较的最佳判决式或

检测性能分析：根据检验统计量统计特性；求出其概率密度函数；根据最佳判决式，积分求出各种判决概率；进而求出其检测性能。1133.6M元确知信号的统计检测我们可以把二元确知信号统计检测的贝叶斯准则、最小平均错误概率准则的概念、理论和方法推广应用到M元确知信号的统计检测中。1143.7参量信号的统计检测在确知信号统计检测理论的基础上，结合参量信号的统计特性，可以实现参量信号的统计检测，这就是复合假设检验。其方法主要有基于最大似然估计的广义似然比