自动控制系统分析基础

自动控制系统分析基础第一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61引言本章内容控制系统的数学模型及其求解：数学模型的建立方法，连续控制系统的微分方程描述，拉氏变换与反变换的定义，应用拉氏变换求解线性微分方程的方法。自动控制系统的传递函数：传递函数的概念与定义，基本性质,零点、极点分布。系统的结构图表示:系统函数的串并联关系，结构图的等效变换及传递函数的化简。第二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/62引言教学要求：掌握传递函数的定义、性质及与此有关的名词、术语等基本概念（特征方程、零极点等）。重点掌握系统方块图表示方法，等效变换方法与应用,会用等效变换求闭环传递函数。理解系统数学模型的概念,系统微分方程的描述方法,拉氏变换方法、性质与应用。了解建立系统微分方程的步骤以及有关线性、非线性系统的概念。第三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/632.1控制系统的数学模型

分析控制系统，首先要对它的输入变量和输出变量之间的运动关系进行数学描述，也就是要建立系统的运动数学模型。在动态过程中，反映各变量之间关系的数学表达式是一组微分方程，称为动态数学模型当变量的各阶导数为零时，这时描述各变量之间关系的数学表达式称为静态数学模型。第四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/642.1控制系统的数学模型

—数学模型建立方法分析法：从元件或系统的物理规律出发，建立数学模型。例如，建立电气网络的数学模型是基于基尔霍夫定律；建立机械系统的数学模型则是基于牛顿定律。实验法：对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，用求取系统或元件输出响应的方法建立数学模型。2023/6/65第五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2.1控制系统的数学模型

—常见的系统模型线性控制系统的数学模型：线性微分方程式线性定常系统的线性微分方程式的系数是常数非线性控制系统的数学模型：非线性微分方程

凡是能用微分方程式描述的系统，都是连续时间系统。

如果系统中包含有数字计算机或数字元件，则要用差分方程描述系统，这种系统称为离散时间系统。第六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/66在经典控制理论中，连续控制系统数学模型的形式有：微分方程、传递函数、频率特性函数、方框图和信号流图。在现代控制理论中，主要采用状态空间表达式作为系统数学模型。

在各种数学模型中，微分方程是最基本的一种数学模型。

★本章以线性连续系统为重点，讨论控制系统数学模型的建立和主要研究方法。2.1控制系统的数学模型

—系统描述方法第七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/67确定实际系统的输入量和输出量，再按信号传递顺序，定出各元件或环节的输入量和输出量。按信号传递顺序，根据有关的物理(或化学、电路）基本定律，写出各元件或环节的微分方程式，有时还要考虑元件之间的相互影响，即所谓的负载效应。2.1.1系统微分方程建立的一般步骤第八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/68消去中间变量后，即得到描述系统输入输出之间运动关系的微分方程式。标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。见课本Page19：例2-1、例2-2。2.1.1系统微分方程建立的一般步骤第九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/692.1.1线性定常系统的微分方程其中：c(t)－－系统输出量

r(t)－－系统输入量

a0，a1，…，an、b0，b1，…，bm均为由系统结构参数决定的实常数。第十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6102.1.2非线性微分方程的线性化

－－线性系统的性质可叠加性即同一个线性系统对若干个输入共同作用时所引起的输出响应，等于各个输入单独作用于系统时的输出响应的叠加。齐次性即线性系统的输入若变化K倍，则输出响应也变化K倍。x1(t)x2(t)y1(t)+ky2(t)线性系统y1(t)线性系统y2(t)线性系统x1(t)＋kx2(t)图线性系统的叠加定理第十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6112.1.2非线性微分方程的线性化

－－线性化需求

实际上所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，求解非线性系统的微分方程也是相当困难的。由于非线性特性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法，因而就提出了线性化问题。利用数学或者其它课程学习的知识，请大家思考：有什么办法可以实现线性化？第十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6122.1.2非线性微分方程的线性化

－－线性化需求

解决思路：

如果在工作点附近一个较小的范围内，能够用线性来代替原有的非线性，使原有非线性微分方程式近似为线性微分方程式，这将给理论分析和工程实践都带来很大方便。（比如二极管、三极管的特性）。第十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/613

在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡工作点的值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。具有间断点、折断点或非单值关系的非线性特性，如饱和特性、死区特性、间隙(滞环)特性、摩擦特性和继电特性等，称为严重非线性特性或本质非线性特性。具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。2.1.2非线性微分方程的线性化

－－线性化需求第十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/614

非线性微分方程的小偏差线性化，是将一个非线性函数y(t)=f(x)在工作点(x0，y0)处展开成泰勒级数，然后略去二次以上的高次项，得到线性函数，用来代替原来的非线性函数。图小偏差线性化的几何意义2.1.2非线性微分方程的线性化

－－小偏差线性化

线性化就是在平衡工作点处用线性特性来近似原来的非线性特性。第十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/615

建立了系统的微分方程后，要进一步分析系统的控制过程，最直接的方法是求解微分方程，然后逐点绘出输出变量的响应曲线。

工程上，常用拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的方法求解线性微分方程，可以把经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又有现成的拉氏变换表可供查找，这样可使方程求解问题大为简化，因而它是一种较为简便的数学方法。2.1.3微分方程的解－－拉氏变换第十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6162.1.3微分方程的解

－－拉氏变换的定义如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是t＞0，那么拉氏变换就是如下运算式：(2―2)

式中的s为复数，s＝＋j。F(s)称为象函数，f(t)称为原函数。第十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6172.1.3微分方程的解

－－拉氏变换的表述为了表述方便，通常把式(2―2)记作：

F(s)=L［f(t)］

如果已知象函数F(s)，可用下式求出原函数:

式中,c为实数，并且大于F(s)任意奇点的实数部分。此式称为拉氏变换的反变换。同样，为了表述方便，可以记作

f(t)＝L-1［F(s)］第十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6182.1.3微分方程的解

－－拉氏变换的条件一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是(1)在t＜0时，f(t)＝0；(2)在t≥0时的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；在实际工程中，上述条件通常是满足的。(3)第十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6192.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（线性）线性性质

拉氏变换也遵从线性函数的叠加定理。也就是说，若f1(t)和f2(t)的拉氏变换分别是F1(s)和F2(s)，a为常数，则有：

L［af1(t)+bf2(t)］=aF1(s)+bF2(s)第二十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/620微分定理

原函数的导数的拉氏变换为：2.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（微分）)0()(])([fssFdttdfL＋=式中,f(0)为f(t)在t＝0时的值。

第二十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6212.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（微分）同样，可得f(t)各阶导数的拉氏变换为:第二十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6222.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（微分）

如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为:第二十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/623积分定理

原函数f(t)积分的拉氏变换为当初始值为零时

2.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（积分）第二十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/624初值定理

如果原函数f(t)的拉氏变换为F(s)，并且

2.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（初值）存在，则时间函数f(t)的初始值为

第二十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6252.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（终值）终值定理

如果原函数f(t)的拉氏变换为F(s)，并且sF(s)在s平面的右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数f(t)的稳态值可由下式求得：

第二十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/626

从初值定理和终值定理可知，t→0与s→∞对应，而t→∞与s→0对应，事实上这正是反映了时域与频域(或与复数域)的一种反比关系。2.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）注意：终值定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。但是，当sF(s)的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理。第二十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/627卷积定理

如果时间函数f1(t)和f2(t)都满足条件：当t＜0时，f1(t)＝f2(t)＝0。则f1(t)和f2(t)

的卷积为：由于卷积符合交换律，卷积也可写成：2.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（卷积）第二十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6282.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（卷积）

如果f1(t)和f2(t)是可以进行拉氏变换的，

F1(s)＝L［f1(t)］，F2(s)＝L［f2(t)］，那么f1(t)*f2(t)

的拉氏变换为：这称为卷积定理。ûëùé)()()()(21210sFsFdtffLt=úê-òttt第二十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6292.1.3微分方程的解

－－拉氏变换法则（不作证明）（卷积）根据卷积符合交换律得：因此：

即拉氏变换满足乘法交换律。[][])()()()()()()()(12211221sFsFsFsFtftfLtftfL==*=*)()()()(12120sFsFdtffLt=úûùêëé-òttt第三十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/630

经典方法求微分方程的全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。应用拉氏变换法就可省去这一步。2.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程为什么？第三十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6312.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程

因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么只要简单地用复变量s来代替微分方程中的d/dt，用s2代替d2/dt2……就可以十分方便地得到微分方程的拉氏变换式。

拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。第三十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/632对线性微分方程进行拉氏变换，使时域的微分方程变换为复数域s的代数变换方程；方程中的初始值应取系统t=0-时的对应值。求解代数变换方程，得到输出变量在复数域s的象函数表达式。将s域的输出象函数表达式展成部分分式。对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程在时域的全解。2.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程（步骤）第三十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/633【例2-3】已知图2-1所示的RC无源网络动态微分方程式为：

求输入为单位阶跃电压时的拉氏变换和时域的解。设电容C上的初始电压为u0＝Uc(0)。解:对网络微分方程式进行拉氏变换，得变换方程：

TsUc(s)-Tuc(0)＋Uc(s)＝Ur(s)

2.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程（例）RiuiucC图2-1RC无源网络第三十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6342.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程（例）

输入单位阶跃电压为ur＝1(t)，将其拉氏变换式Ur(s)＝1/s代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式为：01(s)s(Ts1)cTUTsu=+＋1+将输出的象函数Uc(s)展成部分分式：

011111)(uTsTsssUc+++-=(2-3)第三十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/635

2.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程（例）

对等式两边进行拉氏反变换，得

uc(t)=1-e

-t/T

+u0e

-t/T

(2-4)

此式表示了RC网络在输入为单位阶跃电压时输出电压uc(t)的变化过程。第三十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6362.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程（例）

uc(t)=1-e

-t/T

+u0e

-t/T

(2-4)请大家比较方程(2-3)和(2-4)011111)(uTsTsssUc+++-=(2-3)可见，方程右端的第一项取决于外加的输入作用ur＝1(t)，表示了网络输出响应uc(t)的稳态分量；第二项表示uc(t)的瞬态分量，该分量将随着时间的增长而衰减至零；第三项是与初始值有关的瞬态分量，当初始值u0＝0时，则第三项为零，于是就有

uc(t)=1-e

-t/T第三十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/637图RC网络的阶跃响应曲线

2.1.3微分方程的解

－－应用拉氏变换解微分方程（例）

RC网络的阶跃响应uc(t)及其各组成部分的曲线如右图所示。第三十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6382.2传递函数

－－引入

求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件和输入信号作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。

问题的提出背景

如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。

为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算；微分方程的阶次越高，这种计算越繁杂。必须借助计算机才能完成大量的运算。第三十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/639

在经典控制理论中一直广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，并不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。2.2传递函数－－引入传递函数是—个极其重要的基本概念。第四十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/640

在例2-3中，用拉氏变换法对RC网络的微分方程进行了求解。如果假定初始值u0＝0，对其微分方程进行拉氏变换，则有：2.2.1传递函数的概念及定义)(tuudtduTrcc=+令1)(sU1)()(+==TssUsGrc则输出的拉氏变换式可写成：

Uc(s)=G(s)Ur(s)（2-5）(Ts+1)Uc(s)=Ur(s))(11)(+=sUTssUrc网络输出的拉氏变换式为：第四十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/641

可见，如果Ur(s)给定，则输出Uc(s)的特性完全由G(s)决定。

因此，G(s)反映了系统自身的动态本质。

G(s)被称为传递函数。2.2.1传递函数的概念及定义

式Uc(s)=G(s)Ur(s)所表达的输入、输出与传递函数三者之间的关系。对照G(s)与原微分方程的形式，也可看出二者的联系。第四十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/642

下图所示的方框图形象地表示了(2－5)式，输入经G(s)传递到输出。2.2.1传递函数的概念及定义图传递函数方框图表示Ur(s)G(s)Uc(s)第四十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6432.2.1传递函数的概念及定义

对具体的系统或元部件，只要将其传递函数的表达式写入方框图的方框中，即为该系统或该元部件的传递函数方框图，又称结构图。如上述RC网络，只需在方框中写入1/(RCs+1)，即表示了RC网络的结构图。第四十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/644

传递函数是另一种数学模型，它是一个复变量函数，是以s为变量的代数方程。对任意元部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看作是在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

2.2.1传递函数的概念及定义因此，给出传递函数的定义：

线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。第四十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/645

已知以c(t)为输出量，r(t)为输入量的线性定常系统的微分方程一般表达式为：

(2-6)2.2.1传递函数的概念及定义式中a0，a1，…，an及b0，b1，…，bm均为由系统结构参数决定的实常数。第四十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/646

设初始条件为零，对式(2-6)两边进行拉氏变换，得:(ansn+an-1sn-1

+…+a1s+a0)C(s)=(bmsm+bm-1sm-1

+…+b1s+b0)R(s)

则系统的传递函数为:

(2-7)2.2.1传递函数的概念及定义第四十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/647

从微分方程看，s＝0相当于所有导数项为零，方程变为静态方程，b0/a0恰好为输出、

输入的静态比值。若令ｓ＝0，则有:2.2.1传递函数的概念及定义即为系统放大系数。第四十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/648①输入作用是在t＝0以后才作用于系统，因此，系统的输入量及其各阶导数在t＝0-时的值均为零；②指输入作用加于系统之前，系统是“相对静止”的，因此，系统输出量及其各阶导数在t＝0-时的值也为零。2.2.1传递函数的概念及定义

传递函数是在初始条件为零(称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义：实际的工程控制系统多属此类情况，这时，传递函数一般都可以完全表征线性定常系统的动态性能。

第四十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/649

根据传递函数的定义，只要求出了系统运动的微分方程表达式，由式(2-7)就可以直接写出系统的传递函数。则其传递函数为：2.2.1传递函数的概念及定义

例如，page19图2―2所示的弹簧―质量―阻尼器动力系统的微分方程如下:

第五十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/650①对于非零初始条件，传递函数便不能完全描述系统的动态特性。②传递函数只是通过系统的输入变量与输出变量之间的关系来描述系统，而对系统内部其他变量的情况却不完全知道，甚至完全不知道。2.2.1传递函数的概念及定义－－局限性第五十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6512.2.1传递函数的概念及定义－－局限性

尽管如此，传递函数作为经典控制理论的基础，仍是十分重要的数学模型。

现代控制理论采用状态空间法描述系统，就可以克服传递函数的这一缺点。第五十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/652

从线性定常系统传递函数的定义式(2-7)可知，传递函数具有以下性质：传递函数是复变量s的有理真分式，而且所有系数均为实数，通常分子多项式的次数m低于(或等于)分母多项式的次数n，即m≤n。这是因为系统一般都具有惯性，且能量又有限的缘故。传递函数只取决于系统和元件的结构与参量，与外作用形式无关。2.2.1传递函数的概念及定义－－性质第五十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/653

数学上的每一个因子都对应着物理上的一个环节，称之为典型环节。（2-8）可以将式(2-7)的分子、分母分别进行因式分解，改写成如下所谓的“典型环节”的形式：2.2.1传递函数的概念及定义－－性质第五十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/654

例：试求解图2-2(a)、(b)所示的机、电系统具有相同的数学模型。

第五十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/655对电气网络(b)，列写电路方程如下：

解：对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式②

③

④第五十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/656利用②、③、④求出

代入①将①两边微分得第五十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/657力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。机械电阻R1电阻R2弹性系数K1弹性系数K2电气阻尼B1阻尼B21/C11/C2第五十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/658七种典型环节：K

比例环节(或称放大系数、系统增益)1/(Ts＋1)惯性环节或非周期环节1/s积分环节1/(T2s2＋2ζTs＋1)振荡环节s微分环节τs＋1一阶微分环节τ2s2＋2ζτs＋1二阶微分环节2.2.1传递函数的概念及定义－－性质第五十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6592.2.1传递函数的概念及定义－－性质

当多项式的各项系数为实数时，分解得到的各个因子只能具有零、实数和共轭复数这三种形式。所以，我们所研究的自动控制系统，都可以看成由这7种典型环节组合而成。各个因子的T、τ与时间量纲相对应，式(2-8)称为时间常数形式。（2-8）第六十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/660传递函数都有一定的零、极点分布图与之对应。将式(2-8)改写成如下零、极点形式：(2-9)2.2.1传递函数的概念及定义－－性质第六十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/661

式中，

-z1，-z2，…，-zm为传递函数分子多项式等于零的根，称为传递函数的零点

－

p1，－

p2，…，－

pn-r为传递函数的极点把传递函数的零点和极点同时表示在s复数平面上的图形，就叫做传递函数的零、极点分布图。2.2.1传递函数的概念及定义－－性质第六十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/662

右图表示了传递函数的零、极点分布情况，图中零点用“○”表示，极点用“×”表示。2.2.1传递函数的概念及定义－－性质j[s]1­3­2­10­1图零、极点分布图第六十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6632.2.1传递函数的概念及定义－－性质

式(2-9)中的各个因子的zi、pj分别与式(2-8)中的τi、Ti互为倒数，常数K*称为传递函数的根轨迹增益。系统增益K与K*之间的关系为:第六十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6642.2.1传递函数的概念及定义－－性质传递函数的拉氏反变换，即为系统的脉冲响应。所谓脉冲响应，是指系统在单位脉冲函数δ(t)输入下的输出响应。因为单位脉冲的拉氏变换式：所以

h(t)＝L-1

［C(s)］＝L-1

［G(s)R(s)］＝L-1

［G(s)］

显然，系统的脉冲响应h(t)与系统传递函数G(s)有单值对应关系，故可以用来描述系统的动态特性。第六十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6652.2.1传递函数的概念及定义－－性质若令s＝jω(即s＝σ＋jω，其中σ＝0)，这是传递函数的一种特殊形式

G(s)|s＝jω

＝G(jω)，

称为频率特性。

G(jω)是用频率法研究系统动态特性的基础。频率特性也是描述系统动态特性的又一种数学模型，而且频率特性有鲜明的物理意义。第六十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/666

求传递函数时，需要对微分方程组(或变换方程组)进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

结构图提出的背景第六十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/667建立系统结构图的步骤如下：建立控制系统各元部件的微分方程。对各元部件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元部件的结构图。按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★——结构图的建立第六十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/668

已知随动系统如上图所示，要求画出系统的结构图。解在下图所示的系统原理图中，各环节的作用和信号传递很清楚，依次列写出各元部件的微分方程:

比较元件

θe＝θr-θc

电位计

ue＝K1θe

放大器

ua＝K2ue电动机减速器2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★举例——结构图的建立第六十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6692.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

——结构图的建立

把该微分方程组进行拉氏交换，可得如下拉氏变换方程组：

θe(s)＝θr(s)-θc(s)Ue(s)＝K1θe(s)Ua(s)＝K2Ue(s)s(Tms+1)θ(s)＝KmUa(s)

第七十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6702.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

——结构图的建立图随动系统各元部件结构图图随动系统的结构图各元部件的结构图如上图所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得到下图所示的随动系统的结构图。第七十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/671

结构图是从具体系统中抽象出来的数学图形，主要是为了研究系统的运动特性，而不是研究它的具体结构。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图等效变换及梅森公式第七十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/672

由上述讨论可知，系统结构图实质上是系统原理方框图和数学方程二者的结合。与系统原理图比较，在结构图上，用记有传递函数的方框取代原理方框图中的元件名称，也就是用传递函数取代了各元部件的具体物理结构。可见，结构图对系统特性进行了全面描述，既描述系统各组成元部件之间信号的传递关系，也表示了系统各变量之间的运算关系。即：系统结构图更能体现出系统的数学功能。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图等效变换及梅森公式第七十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/673

比起系统的运动方程，系统结构图更能表明系统中各变量的流动情况和各元部件的作用。运用系统结构图变换规则可以方便地简化系统和计算系统的传递函数！！2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图等效变换及梅森公式第七十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/674

在实际系统中，任何复杂系统的结构图，都不外乎是由串联、并联和反馈三种基本结构交织组成的。等效变换主要是通过变换加法点和引出点的位置来实现。有时还可以变换方框的位置。

所谓”等效”，就是不论结构图图形如何变化，变化前后有关变量之间的传递函数应保持不变。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图等效变换及梅森公式第七十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/675

为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。

图环节的串联连接

串联连接

2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－串联结构第七十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/676特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。

结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。n为相串联的环节数

2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－串联结构第七十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/677

图环节的并联连接

特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，即:

并联连接2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－并联结构第七十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/678结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。

第七十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/679图环节的反馈连接

比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

反馈连接

2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－反馈连接结构第八十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/680

图比较点移动示意图

放大缩小

缩小放大

第八十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/681

左图分支点移动示意图

缩小放大放大缩小右第八十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/682用方块图的等效法则，求下图所示系统的传递函数C(s)/R(s)

解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。例2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例第八十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/683

反馈公式

串联和并联第八十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/684答案：2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例第八十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6852.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例【例】简化上图(a)所示系统结构图，并列写系统闭环传递函数Φ(s)＝C(s)/R(s)。

解:这是—个多回路系统结构图，且回路有交叉。为了从内回路到外回路逐步简化，首先消除交叉回路。可以采用如下方法简化方框图。

图多回路系统结构图的等效变换

第八十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6862.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例①将求和点A、B逆向移动，将引出点C顺向移动，将图简化为图(b)。第八十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6872.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例②在图(b)中对前向通路中G1(s)、G2(s)、G3(s)和G4(s)进行串联变换，进而只剩一个主反馈回路，简化为图(c)。

③最后变换为一个方框，如图(d)所示。第八十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6882.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例根据图(d）,可得系统传递函数为:

第八十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6892.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图简化的步骤(1)若结构图有交叉连接，则可利用移动规则，首先将交叉回路消除，然后将其简化成无交叉的结构图。可以根据以下原则检查结构图移动前后的等效性：前向通道传递函数乘积不变：

G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)各回路传递函数乘积不变，可分别检验如下：

回路Ⅰ：G2(s)G3(s)H2(s)

回路Ⅱ：G3(s)G4(s)H3(s)

回路Ⅲ：G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)第九十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6902.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图简化的步骤(2)按照串联、并联、反馈变换的顺序进行化简。(3)对多回路结构图进行化简，直至变换成一个单回路结构图或一个方框图。最后写出系统闭环传递函数。第九十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/691将下图的系统方块图简化例2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－结构图化简举例第九十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/692图方块图的简化过程简化提示：分支点A后移（放大->缩小）比较点B前移（放大->缩小）比较点1和2交换。

第九十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6932.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式梅森(S.J.Mason)公式

应用梅森公式，可以不用简化结构图，而直接写出系统传递函数。这里只给出公式，并举例说明其应用。前向传递函数：前向通路及前向通路传递函数信号从输入端到输出端传递时，通过每个方框只有一次的通路，称为前向通路。前向通路上所有传递函数的乘积，称为前向通路传递函数。回路传递函数：回路及回路传递函数号传递的起点就是其终点，而且每个方框只通过一次的闭合通路，称为回路。回路上所有传递函数的乘积(并且包含代表回路反馈极性的正、负号)，称为回路传递函数。第九十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/694梅森公式的表达形式为：(2―12)式中Δ称为特征式，且

Δ＝1－∑Li＋∑LiLj－∑LiLjLk＋…

∑Li——所有不同回路的回路传递函数之和∑LiLj——所有两两互不接触回路，其回路传递函数乘积之和2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式第九十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/695

∑LiLjLk——所有三个互不接触回路，其回路传递函数乘积之和；

……Pi——第i条前向通路传递函数；

Δi——在Δ中，将与第i条前向通路相接触的回路有关项去掉后，所剩余的部分称为Δ的余子式。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式第九十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/696【例】用梅森公式求下图所示系统的闭环传递函数。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式图例2―6的系统结构图L4L1

H4(s)

G3(s)

G2(s)

G1(s)

G4(s)

G5(s)

G6(s)-R(s)-L2

H2(s)

H3(s)-L3

H1(s)C(s)-第九十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/697【解】从图可见，系统共有四个回路L1、L2、L3和L4。故有

∑Li＝L1+L2+L3+L4

＝－G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)H1(s)

－G2(s)G3(s)H2(s)＋G4(s)G5(s)H3(s)

－G3(s)G4(s)H4(s)2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式

在以上四个回路中，只有L2与L3为互不接触回路。因此∑LiLj＝L2L3＝－G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)H2(s)H3(s)

而∑LiLjLk=0……第九十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/698

故可得特征方程式为：

Δ＝1－∑Li+∑LiLj

＝1－(L1＋L2＋L3＋L4)＋L2L3

＝1＋G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)H1(s)+G2(s)G3(s)H2(s)－G4(s)G5(s)H3(s)

＋G3(s)G4(s)H4(s)

－G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)H2(s)H3(s)前向通路只有一条，得

P1＝G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式第九十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/699因为所有回路均与前向通路相接触所以，其余子式Δ1＝1利用梅森公式(2-12)得

将Δ1、P1、Δ1代入上式，就可得系统闭环传递函数。

2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式第一百页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61002.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式例简化下图所示的控制系统结构图第一百零一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61012.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式前向通路P1＝G1G2G3G4G5G6前向通路P2＝G1G2G7G6前向通路P3＝G1G2G3G4G8第一百零二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61022.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式回路L1＝－G1G2G3G4G5G6H3回路L2＝－G1G2G7G6H3第一百零三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61032.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式回路L3＝－G1G2G3G4G8H3回路L4＝－G2G3G4G5H2回路L5＝－G2G7H2第一百零四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61042.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式回路L6＝－G4H4回路L7＝－G5G6H1回路L8＝－G8H1回路L6和回路L2、L5两两互不接触。L6L2=G4H4G1G2G7G6H3L6L5=G4H4G2G7H2第一百零五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61052.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－梅森公式第一百零六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6106

一个反馈控制系统在工作过程中，一般会受到两类信号的作用，统称外作用：一类是有用信号或称输入信号、给定值、指令等，用r(t)表示，通常是加在控制系统的输入端；另一类则是扰动，或称干扰n(t)，它可以出现在系统的任何位置，但通常最主要的干扰信号是作用在被控对象上的扰动。例如电动机的负载扰动等。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－反馈控制系统的传递函数第一百零七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6107

一个闭环控制系统的典型结构图如图2-20所示。应用叠加原理可分别求出下面四种最常用的传递函数。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－反馈控制系统的传递函数图闭环控制系统典型结构图N(s)B(s)G2(s)H(s)G1(s)-R(s)E(s)C(s)+第一百零八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/61082.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－反馈控制系统的传递函数输入信号r(t)作用下的闭环传递函数令n(t)＝0

上图可简化成右图R(s)G1(s)G2(s)-H(s)(a)C(s)

输出C(s)与输入R(s)之间的传递函数，称为输入作用下的闭环传递函数，简称闭环传递函数，用Φ(s)表示，即第一百零九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6109而输出的拉氏变换式为：

(2-13)2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－反馈控制系统的传递函数图2-21输入作用下的系统结构图第一百一十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2023/6/6110输入信号作用下的误差传递函数

为了分析系统误差信号的变化规律，寻求误差信号与输入之间的关系，可以将结构图简化为图(b)。

(2―14)2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数★

－－反馈控制系统的传递函数

输入R(s)与输出E(s)之间的传递函数，称为控制作用下的误差传递函数，用Φ