自回归与分布滞后模型

自回归与分布滞后模型第一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一分布滞后模型：在涉及时间序列数据的回归分析中，如果回归模型不仅含有解释变量X的当前项．还含有它们的滞后(过去)项．则称之为分布滞后模型。自回归模型：如果模型在它的解释变量中包含有应变量的一个或多个滞后项，则称之为自回归模型。第二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例如*是一个分布滞后模型。*则是自回归模型的一个例子.同时它也被称为动态模型。第三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一§17.1时间或滞后在经济学中的作用在经济学中，变量Y（被解释变量）很少是瞬时的。常见的情形是Y对X的回应有一个时间的延迟，这种时间延迟就称为滞后。

例如：消费函数

(17.1.1)

其中Y是消费量，X是收入第四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一更一般的，我们可以写成:(17.1.2)

β0表示随着X一个单位的变化，Y均值的同期变化，

故称短期或即期乘数第五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一β0+β1

给出下期Y（均值）的变化β0+β1+β2给出再下期Y的变化，以此类推.β0+β1,β0+β1+β2这些部分的和称中期乘数。经过K期之后我们得到

称为长期或总分布滞后乘数。第六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一§17.2滞后的原因心理原因.作为一种习惯势力（惰性）的结果，人们在价格降低或者收入增加之后并不会立刻改变他们的消费习惯，这或许是因为改变的过程会带来一些直接的负效应。

技术原因假使相对于劳动力而言，资本的价格下跌致使用资本替代劳动较为经济，但无疑资本的添置需要时间（孕育时期）。此外如果人们预期资本价格下跌是暂时现象，厂商就不会匆忙用资本去替代劳力。第七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一制度原因经济契约往往在某段时期内具有效力，因此合同义务可能阻碍厂商们在劳动力和原材料之间的替代。例如“锁定”状态。第八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一§17.3分布滞后模型的估计两种方法：

（1）现式估计法（2）限定各β遵从某种变化模式的先验约束法第九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一现式估计法原理:

在使用现式估计法的时候，需要序贯地对原式进行估计，这一序贯程序一直进行，直至滞后变量的回归系数开始统计上不显著或至少有一个变量的系数变号为止。第十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一(17.3.1)

如上述模型，若我们尚未规定滞后的长度，那么这个模型就被称为无限（滞后）模型。若滞后的长度k已经设定，这种形式就被称为有限（滞后）分布模型既然解释变量Xt-1,Xt-2

等也是非随机的，那么原则上，普通最小二乘法(OLS)可用于(17.3.1)的估计.第十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一这种方法由阿尔特（Alt）和丁伯根（Tinbergen）采用.他们建议序贯地对(17.3.1)进行估计：首先，将Yt

对Xt回归然后，将Yt

对Xt和Xt-1.回归，依此类推增加滞后项进行回归.

这一序贯程序将终止于滞后变量的回归系数开始变成统计上不显著或至少有一个变量的系数改变符号(由正变负或由负变正)之时。例:第十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一现式估计法的不足滞后的最大长度是什么，没有任何先验性的指引2.在估计滞后的相继过程中．剩下来的自由度越来越少，致使统计推断不太可靠。3．更重要的是，在经济时间序列数据中，连续的(滞后)值一般都是高度相关的；多重共线性的阴影笼罩着整个估计问题。多重共线性导致不准确的估计；就是说，标准误相对于所估系数来说有倾向于偏大。结果，根据通常计算的t，我们就易于(错误地)声称(各)滞后系数在统计上不显著。4.对滞后长度的序贯寻找．将使研究者受到数据开采的指责。第十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一考伊克曾提出一种估计分布滞后模型的巧妙方法：.考伊克假设所有的β都有相同的符号，并按照几何级数项衰减其中λ（0<λ<1）称为分布之后的衰减率，而1-λ称为调节速度。§17.4分布滞后模型的考伊克方法

第十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一假设的合理性：

当我们追溯到越是遥远的过去，该滞后对于Y的影响就越小。这是一个合理的假设。几何意义图17.5（书666页）描绘了考伊克模式的几何意义。λ越接近于1，βk的衰减速度就越慢λ越接近于0，βk的衰减速度就越快；第十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一注意考伊克模式的以下特点：(1)通过假定λ非负，排除β变号出的可能性;(2)通过假设λ<1,对遥远的β比对近期的β赋予了更小的权重；(3)确保长期乘数，即β的总和是有限值，即第十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一考伊克变换由（17.4.1），无限滞后模型（17.3.1）可以写为严格地说，（对参数而言的）线性回归分析方法不适用于这类模型，然而考伊克提出了创造性的解决方法。他将（17.4.3）滞后一期得到第十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一用λ乘以(17.4.4)得到（17.4.5），从（17.4.3）中减去（17.4.5），得到整理得第十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一上述过程称为考伊克变换。考伊克变换的优点：现在我们只需要估计三个参数：α，β，λ。通过仅用一个变量(如Yt-1)代替Xt-1,Xt-2,…,在一定程度上解决了多重共线性的问题第十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一考伊克变换的主要特点：1.本质上，这个这一变换表明了如何把一个分布滞后模型转换为一个自回归模型。2.Yt-1，和Yt一样都是随机的。如果使用OLS方法，我们必须证明Y独立于随机干扰项vt。（运用OLS方法的假设前提之一：解释变量是非随机的，或者如果是随机的，则须独立于随机干扰项）3.在原始模型(17.3.1)中，干扰项是μt；而在转换后的模型中，干扰项是。后者的统计性质依赖于前者。但是我们会发现，即使原始的μt是无关的，νt也是序列相关的。相关证明在17.8节中给出。

4.滞后的Y的出现违背了德宾-沃森检验的基本假定之一。（思考DW检验的假定前提）一个检验序列相关的替代方法是德宾h检验。这一内容我们将会在17.10中详细介绍。第二十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一模型结构性质的描述：不过,在实际应用中,中位滞后和平均滞后常用来刻画一个分布滞模型的滞后结构。中位滞后中位滞后是指在X的以单位持续变化之后，Y变化一半，即变化达到其总变化的50%所需要的时间。对于考伊克模型，中位滞后有如下形式：考伊克模型：中位滞后=第二十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一因此，如果λ=0.2，则中位滞后是0.4306；但如果λ=0.8，中位滞后为3.1067.用文字来说，对于前一情形，Yd的总变化的50%可在少于半个时期内完成，而对于后一情形这需要经过多于3个时期才能完成50%的变化。这一对比并不奇怪，因为我们知道λ值越高，调整的速度越慢。λ值越低，调整的速度越快。第二十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一表达式证明第二十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一平均滞后假设所有的βk

都是正的，则平均滞后定义为：这是以各个β系数为权数的所有相关滞后的加权平均。扼要地说，它是滞后加权平均时间。（类似于投资学中的久期）

考伊克模型：平均滞后=

（课后尝试推导）第二十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一证明：因为0<λ<1,k=0,1,2……当λ↑，中位滞后↑，调整的速度降低；当λ↓，中位滞后↓，调整的速度加快；当λ→0时，中位滞后→0，调整的速度无穷大；第二十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一§

17.5考伊克模型的合理化：

适应性预期模型（AE模型）假如我们假设如下的一个模型：（17.5.1）其中Y=对货币（实际现金余额）的需求

=均衡、最优、预期的长期或正常利率

=误差项方程(17.5.1)设想，货币需求是预期（预测意义的）利率的函数.第二十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一由于预期变量不可直接观测，我们对预期的形成做如下的设想：

(17.5.2)其中为,称期望系数（coefficientofexpectation）。假设(17.5.2)称适应性预期（adaptiveexpectation）或累进式期望（progressiveexpectation）或错误中学习假设（errorlearninghypothesis）.(17.5.2)表明：人们每期都按变量的现期值与前期期望值之间的差距的一个分数去修改期望值。.第二十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一

另一种方法是把(17.5.2)写成:从而说明时间t的利率期望值是时间t的利率真实值与它的前期期望值各以和为权的加权平均。如果=1,则意味期望是立即全部实现的。如果=0,则意味谓期望是静止的。第二十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一将(17.5.3)代入(17.5.1),我们得到：

(17.5.4)

现将(17.5.1)滞后一期并乘以，我们得到：

(*)

(17.5.4)-(*),我们得到:

(17.5.5)

（其中代表期望系数）

(17.5.5)为适应性预期模型，简称AE模型。第二十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一我们回顾一下考伊克模型并将之与AE模型比较：

其中适应性预期模型和考伊克模型的相似之处在于它们都是自回归模型，并且它们的误差项类似。它们唯一的区别在于诠释的方式不同。AE模型的优点:1.它为经济参与者的行为提供了一个可靠的预期模型，在模型中他们将根据过去的经验对他们的预期建模，特别是他们可以从错误中学习。2.越遥远的经验比越新进的经验发挥更小的作用，这也符合常识。第三十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一RE支持者批评AE的假设（RE假说最先由J.穆特提出，

然后由R.卢卡斯和T.萨金特推广）：AE假设是不适宜的，因为它在期望的形成中只依靠一个变量的过去值。RE假定：“各个经济行为者在建立他们的期望时，利用了当前所能获得的有关信息，并不纯粹依赖于过去的经验。”“预期之所以是合理的，是因为这些预期在其形成时就已有效地容纳了所有能够得到的全部信息”，而不仅仅是过去的信息。第三十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一§17.6另一种合理化考伊克模型:存货调整或部分调整模型这个模型由马克·纳洛夫(MarcNerlove)提出,假定存在一种均衡:在给定的技术、利息率等情况下生产给定产出所需要的最优的,理想的,或者长期的资本存量的数量。简而言之，即假定理想资本水平是产出的线性方程。公式：

(17.6.1)

由于理想资本水平并不可直接观测，纳洛夫给出以下假设，该假设又被称作部分调整或存货调整。模型如下：

(17.6.2)

第三十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一其中是调整弹性，其值。同时实际改变量，理想改变量。由于两个时期资本存货的改变量恰恰就等于投资，（17.6.2）式可改写为（17.6.3）第三十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一在（17.6.2）式中，若，则实际资本存货与理想存货量相等。也就是说，实际存货与理想存货是同步（同一个时间段内）调整的。若，则意味着没有发生改变，这是因为在t时的实际存货与前一时间段的观测值是相同的。一般说来，介于0和1之间。注意：调整机制（17.6.2）式可以另外表示成第三十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一现在，将（17.6.4）式中的用（17.6.1）式替换，得到:这就是部分调整模型。我们算出（17.6.5）式的估计量，可以很容易地得出（17.6.1）式中的系数。部分调整模型同时也是一种自回归模型。但是必须记住，即使在外观上此模型与自适应预期模型（AE模型）相似，在概念上他们是不同的。第三十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一前者是基于不确定性(关于价格、利率等的未来走向），但是后者是由于技术或体制的刚性、惯性及变化的成本等等。

第三十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一17.8自回归模型的估计以上的三个式子实际上都是自回归,可是不能直接用经典的OLS方法对参数进行估计。第三十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一不能直接用经典的OLS对参数进行估计的原因有两个：1、随机解释变量的存在2、序列相关的可能性即使我们假设原来的分布项满足所有的经典假设，如：

也未必满足以上所有的性质。第三十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一以考伊克模型为例

则也就是

不为0。而且由于作为一个解释变量出现在该模型中，它必然和存在相关关系。实际上，我们可以证明：以上说明同样适用于适应性预期模型。第三十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一如果在一个回归模型中的解释变量和随机分布干扰项存在相关关系，则OLS估计量不仅有偏，而且不一致。也就是说即使样本容量无限增大，它的估计量也不会渐进地趋向于真实的总体值。因此，用传统的OLS方法对考伊克模型和适应性预期模型进行估计可能会引起严重的后果。但部分调整模型却不一样：在部分调整模型中：第四十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一因此，如果和满足之前的线性回归模型经典假设，则用OLS对部分调整模型进行估计，得出的结果仍然是一致的，尽管它倾向于有偏（在有限或小样本中）。直观地说，它们一致的原因是：尽管依赖于和之前其他的所有干扰项，但它和当前的误差项无关。所以，只要是序列独立，则也会独立，至少和不相关，从而满足用OLS估计的一个重要前提假设。第四十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一第四十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一如果有方法能够把考伊克模型或适应性预期模型中的和（误差项）的相关关系去除掉，则我们能用OLS方法得到一致的估计值。利维亚坦提供了以下的解决方法：假如我们能够找到一个替代变量代替，它和高度相关，但和无关，这样的替代变量叫做工具变量（IV）。利维亚坦建议用作为以下式子的工具变量：

这样，我们能通过一阶条件，对求导，获得OLS估计的正规方程。17.9工具变量的使用方法(IV)如果有方法能够把考伊克模型或适应性预期模型中的和（误差项）的相关关系去除掉，则我们能用OLS方法得到一致的估计值。利维亚坦提供了以下的解决方法：假如我们能够找到一个替代变量代替，它和高度相关，但和无关，这样的替代变量叫做工具变量（IV）。利维亚坦建议用作为以下式子的工具变量：

这样，我们能通过一阶条件，对求导，获得OLS估计的正规方程。第四十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一

(17.9.2)(17.9.1)通过工具变量的方法，用OLS估计得到正规方程:两组正规方程不同之处在于第三条式子，也就是工具变量仅在(17.9.1)式的第三条式子代替，而非出现在第一和第二条式子里。它不是以下的回归方程：第四十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一

利维亚坦已经证明了从(17.9.1)式得到的估计值是一致的，而从(17.9.2)式得到的估计值却不是一致的，为什么呢？因为和可能相关，而和则与无关。利维亚坦的方法成功地解决了参数估计的一致性问题，但同时它又可能产生多重共线性问题，因为和是高度相关的，因此利维坦的方法尽管得到一致的估计值，但它们却不是有效的（有较大的方差）。

第四十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一§17.20在自回归模型中侦察自相关:德宾h检验如12章所提到的,德宾-沃森d统计量可以用来检测自回归.

但是该统计量不宜用于侦察自回归模型中的(一阶)自相关。这是因为,如果对这些模型使用d检验,就会产生内在偏误,妨碍我们发现序列相关。同时，d的期望值应当在纯随机序列中。德宾(Durbin)本人提出了自回归模型一阶序列自相关的一个大样本检验,称之为h统计量：

(17.9.1)其中，n=样本容量,=滞后项的方差。第四十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一

德宾h

检验要求大样本容量.

补充:德宾-沃森h检验的定义比仅多一个观察值,因此二者近乎相等。第四十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一(17.10.2)第四十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一h服从标准正态分布:

因此取

=5%若h>1.96,则拒绝没有一阶正自相关的假设;若h<-1.96,则拒绝没有一阶负自相关的假设;若-1.96≤h≤1.96,则接受没有一阶自相关的假设.第四十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一h统计量的特性:不需要考虑自回归模型中有多少个X变量或多少个Y的滞后值,都可以应用.计算h是只需考虑Y的一阶滞后项Yt-1的方差.若大于1,无法使用h检验(为什么?)不过,现实中这通常不会发生.由于h检验是大样本检验,因此严格意义上不能在小样本检验中使用,这点Inder和Kivietas已有证明.第五十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一17.13

分布滞后的阿尔蒙方法或多项式分布滞后虽然考伊克模型在现实中广为应用，但他是基于这样的假定，即随着滞后的延长，β系数按几何方式下降（见书688页17·7）。由图17·7（b）和（d）可见，似乎βi是滞后长度i的一个函数，并能找到合适的曲线反映两者之间的函数关系。这就是S.阿尔蒙（ShirleyAlmon）提出的方法。让我们回到前面考虑过的有限分布滞后模型:这又可简写为：第五十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一韦亚斯特拉斯定理：定理表述：阿尔蒙假定βi可用滞后长度i的一个适当高次的多项式来逼近。阿尔蒙以此定理为基础，建立了相关的分布滞后模型

Step1:例如，17.7a所展示的滞后模型如果合适，就可写为：第五十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一Step2:如果βi遵循图17.7的模式，则可写为：更一般地，我们可以写为：

这是i的一个m次多项式。这里假定m（多项式的次数）小于k（滞后的最大长度）

Step3:假定β符合图17.7a所展现的样式，从而用二次多项式逼近是合适的。将（17.13.2）代入（17.13.1),我们得到：

第五十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一Step4：定义：就可以把（17.13.5）写为：

Tips:可以看出（17.13.7）可以用普通的OLS方法去估计。阿尔蒙技术与考伊克方法相比有明显的优点，后者由于随机解释变量Yt-1的出现很可能与干扰项相关，从而涉及严重的估计问题。第五十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一Step5:由α估计出β。一旦从（17.13.7）估计出诸α，即可从（17.13.2）估计原始的诸β系数如下:第五十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一阿尔蒙方法使用前提在我们应用阿尔蒙技术之前，我们必须解决以下实际问题：1.设定滞后k的最大值，就是（17.13.1）滞后长度k。方法一：这里也许可以采纳戴维森和麦金农的意见:从一个很大的滞后长度开始，看模型的拟合度是否会随滞后长度的减少而显著恶化。方法二：我们也可以用施瓦茨信息准则选取合适的滞后长度;Eviews能帮助进行AIC检验。第五十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2.定出多项式的次数m方法一：一般地说，多项式的次数应至少比i和βi的函数曲线的转向点个数大1。如图17.13a仅有一个转向点，从而一个二次多项式就是一个良好的逼近。图17.13c中有两个转向点，从而一个三次多项式就是一个良好的逼近。第五十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一方法二：我们也可以在经济理论的指导下选择一个模型。如戴维森和麦金农的建议：从一个足够大的滞后长度开始,然后逐渐减小.例如在一个二次和三次多项式之间选择：其中在（17.13.9）中我们可以发现统计上显著而不显著，就可以认为二次多项式给出了一个较好的近似。第五十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一3.一旦m和k确定了，就很容易构造出诸Z。例如，若m=2,k=5，则诸Z是：

（17.13.10）第五十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一阿尔蒙滞后程序的优点：1.它给出了一个涵盖形形色色的滞后结构的灵活方法。而考伊克系数则拘泥于假定诸β系数是几何递减的。2.在用阿尔蒙方法时不像考伊克技术那样，我们不必担心滞后因变量作为解释变量出现在模型中从而产生估计问题。3.如果可以拟合一个足够低次的多项式，则待估系数（指诸α）的个数要比原先系数（指诸β）的个数要少的多。第六十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一阿尔蒙技术的问题：1.多项式次数以及滞后的最大期数基本上是一种主观臆断。2.诸Z变量可能有很大的标准误，从而使一个或多个系数在通常t检验的基础上在统计上不显著。

详见：例子P692第六十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一回归分析中考虑一个变量依赖于另一个变量，但这不一定意味着因果关系。

Causality:诱发性，原因，起因，因果性，因果关系，有固定相互联系的现象之间的关系，因果律

Causation:引起结果，产生效果，原因，起因，因果关系，固定相互联系的现象之间的关系，因果律

Example:考虑两个变量：GNP和货币供给M。它们相互之间有着分布滞后的影响。换句话说，这里存在着时间序列滞后关系。那么，我们是否可以确定这两个变量之间因果关系的方向呢？17.14经济学中的因果检验：格兰杰检验第六十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一为了阐明这一点，格兰杰提出了一个简单的方法对因果关系进行了检验。格兰杰检验基本原理

格兰杰因果关系检验假设,有关GDP或M变量的预测信息,全部包含在这两个变量的时间序列之中。格兰杰检验首先对以下回归进行估计：（17.14.1）（17.14.2）第六十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一其中假定干扰项

和不相关。

方程（17.14.1）假拟当前GNP与GNP自身及M的过去值有关

方程（17.14.2）假拟当前M与M自身以及GNP的过去值有关在模型中GNP和M可以用和。分别读作GNP点和M点,(