自动控制数学模型

自动控制数学模型第一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二拉氏变换的引入拉普拉斯变换简称拉氏变换，是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程变换成代数方程式，且在变换的同时引入初始条件，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，拉氏变换可使微分方程求解的过程大大简化。在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数的基础上，而传递函数又是建立在拉氏变换的基础上，故拉氏变换是经典控制理论的数学基础。第二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二一、拉氏变换的概念说明：由于是一个积分式，t

将在新函数中消失。故F(s)只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。存在一一对应关系。

定义：将实变量t的函数f(t)，乘以指数函数e-st（其中，s＝σ＋jω，是一个复变函数），再在0到∞对时间t进行积分，得到一个新的函数F(s)。那么，F(s)称为f(t)的拉氏变换式，用符号L[f(t)]表示。即：第三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二3、微分定理在零初始条件下，即：则：二、拉氏变换定理1、叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即：2、比例定理：K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍，即：第四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二5、延迟定理

当原函数f（t）延迟τ时间，成为f(t-τ)时，其拉氏式为：说明：在零初始条件下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以。4、积分定理在零初始条件下，即:则：第五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二6、终值定理说明：原函数在t→∞时的数值（稳态值），可以通过将象函数

F(s)乘以s后，再求s→0的极限值来求得。7、位移定理若L[f(t)]=F(s)，则对任一常数a，有第六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二三、常用函数拉氏变换对照表

序号原函数象函数单位脉冲１单位阶跃单位斜坡１23456第七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二78910110<ξ<112第八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二1314150<ξ<10<ξ<1ξ>1第九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例1、已知f(t)=1-2cosωt，求F(s)解：F(s)＝L[f(t)]=L[1-2cosωt]例2、求如图所示的方波的拉氏变换。解：方波的表达式可写为：第十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例3、求e-atsinωt的拉氏变换解：直接运用位移定理得：同理，可求得：第十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二四、拉氏反变换（了解）

由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。求法：由定理，适当结合查表及部分分式分解法求拉氏逆变换。特殊情况：部分分式分解求拉氏反变换1.若真分式的分母中含有一次因式s－a，则进行部分分式分解后必含有第十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2.若真分式的分母中含有k重一次因式(s－a)k，则进行部分分式分解后必含有3.若真分式的分母中含有在实数范围内不可分解的二次因式s2+ps+q(p2－4q<0)，则进行部分分式分解后必含有第十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二举例：求下列函数的拉氏反变换1、2、3、4、已知1）利用终值定理，求t→∞时的f(t)值。2）通过求F(s)的拉氏反变换，求t→∞时的f(t)值。第十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二第十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二终值：终值：第十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二第二章自动控制系统的数学模型本章的主干内容：传递函数动态结构图动态结构图的变换以及闭环传递函数的求取第十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二1.数学模型——描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法(1)机理建模法(解析法)——本课研究的方法(2)实验辩识法3.控制系统数学模型的主要形式(1)微分方程(2)传递函数(3)动态结构图(4)频率特性概述第十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二第一节控制系统的微分方程

一、建立系统微分方程的一般步骤

1）确定系统的输入和输出变量；2）建立初始微分方程组。即根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。3）消去中间变量，将式子标准化。将与输入量有关的项写在方程式等号的右边，与输出量有关的项写在等号的左边。第十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例1、RC回路RC1i1(t)ur(t)uc(t)解：①确定输入、输出输入量为电压ur，输出量为电压uc②建立初始方程组，③消除中间变量i(t)，使式子标准化故RC回路的数学模型为一阶常系数线性微分方程。二、常见环节和系统微分方程的建立第二十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例2、RLC回路解：设回路电流为i(t)，则回路方程消去中间变量上式为二阶常系数线性微分方程。，得：第二十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二解:阻尼器的阻尼力:例3、图为机械位移系统整理得:故机械位移系统的数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。弹簧弹性力:第二十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例4、直流电动机解：直流电动机各物理量间的基本关系式如下：电枢电路：电磁转矩：动力学方程：反电动势：消去中间变量得微分方程：此式为一个二阶常系数线性微分方程。第二十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例5、液位系统解:已知:qi0，qo0，h0分别为箱体的流量，流出量，和平衡时液面高度qi，qo，h分别为平衡时的增量设箱体的横截面面积为A，则→液位阀门液位系统原理图h0为定值，且qi0＝qo0，有第二十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二已知qo(t)的流量公式：若以qi(t)为输入量，h(t)为输出量，消去中间变量qo(t)，得系统的微分方程为：这时一个非线性微分方程。系统为非线性系统。第二十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二三、线性微分方程的求解求解基本思路和方法：线性微分方程（时域t）拉氏变换代数方程（复数域s）代数方程的解（复数域s）拉氏反变换微分方程的解（时域t）第二十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二第二十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二第三节传递函数、传递函数的概念及求取1、定义：传递函数G(s)：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉式变换之比。设输入量用R(s)表示，输出量用C(s)表示，传递函数的表达式为：第二十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例5，如图RCL回路，试列写网络传递函数Uc(s)/Ur(s)传递函数：求解方法：在零初始条件下，形式上只要将微分算符换成相应的输入与输出的时间函数r(t)、c(t)改成象函数R(s)和C(s)，便可求出系统相应的传递函数。第二十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二一般，n阶系统可用n阶线性微分方程描述：其中，c(t)为输出量，r(t)为输入量；第三十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二设初始条件为零，对微分方程的一般表达式进行拉氏变换，得：故，传递函数的一般表达式为：其中：s=z1,z2,…zm为零点

s=s1,s2,…sn为极点第三十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二传递函数的性质：1）传递函数只适用于线性定常系统；2）传递函数只取决于系统的结构和参数，而与系统的输入无关。表示系统的固有特性，是一种在复数域描述系统的数学模型。3）传递函数是在零初始条件下定义的，故不能反非零初始条件为零的系统的运动过程。4）传递函数是复变量s的有理式，分子和分母的各项系数均为实数。分母中s的最高次n是系统的阶次。其中n≥m第三十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二

二、典型环节的传递函数及其动态响应

K1、比例环节（放大环节）(ProportionalElement)微分方程：拉氏变换：传递函数:系统框图：特点：输出量与输入量成正比，动态与静态关系都一样，不失真、不延迟，又称为“无惯性环节”或“放大环节”，只有一个参数放大系数K。K为放大倍数第三十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二运算放大器线性电位器传动齿轮实例：图a：由运算放大器构成的比例环节，其中，图b：为线性电位器，其中，图c：为传递齿轮，其中，，i为传动比第三十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2、惯性环节（IneritialElement)

微分方程：其中T为时间常数；K为比例系数。拉氏变换：传递函数：当时，查表，拉氏反变换，单位阶跃信号作用的响应：第三十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二特点：由图知，当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化，故该环节具有惯性。响应曲线如图：第三十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二实例：a图为运算放大器构成的惯性环节，其微分方程为：传递函数：

b图为电阻、电感电路，其微分方程为：传递函数：惯性调节器第三十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二当时，3、积分环节(IntegratingElement)1）微分方程：2）拉氏变换：其中，T为时间常数3）传递函数：故单位阶跃响应为：积分环节特点：输出量与输入量对时间的积分成正比。有滞后作用，输出积累一定时间后，输出将保持不变。一般改变系统的稳态性能。第三十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二右图为运算放大器构成的积分环节，输入与输出量之间的关系：传递函数为：第三十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二4、微分环节1）理想微分环节微分方程：

传递函数：

故单位阶跃响应为：

从响应曲线上可看出，理想微分环节的输出与输入量的变化速度成正比。在阶跃输入作用下的输出响应为一理想脉冲（实际上无法实现）。第四十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二实例：近似理想微分环节的实例如图：a图，微分方程：传递函数：b图，微分方程：传递函数：第四十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二输出响应为：结论由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，而不能反映输入量本身的大小，故在许多场合无法单独使用。常采用比例微分环节。图b称为实用微分环节。其单位阶跃响应的拉氏变换为：第四十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2）比例微分环节传递函数：单位阶跃响应为：响应曲线如图所示：结论：当比例微分环节的输入量为恒值时，其输出量与输入量成正比；当输入信号为变量时，输出量中既有与输入量成正比的量，也有反映输入信号变换趋势的信息。第四十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二实例：如图为比例调节器，微分方程：其中，运算放大器构成的比例微分环节其传函为：第四十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二5、振荡环节(OscillatingElement)1）微分方程：2）传递函数

ωn=1/为振荡环节的无阻尼自然振荡频率*特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。第四十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二3）动态响应（以输入量为单位阶跃信号为例）当为振荡环节时，单位阶跃响应为：式中第四十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二减幅振荡阶跃响应曲线如图所示：r(t)c(t)第四十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二与进行比较，得：实例：RLC串联回路，传递函数如下：*第四十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二6、时滞环节（延迟环节或纯滞后环节

Pure

Time

DelayElement）1）微分方程：2）传递函数：若将按泰勒(Tayor)级数展开得：由于τ很小，所以可只取前两项，传递函数可化为：上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用一个小惯性环节来代替。第四十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二第四节动态结构图一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简第五十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二概述本章重点是系统动态结构图的基本概念、组成、建立以及梅逊公式。动态结构图的变换是古典控制理论的一个基本工具。动态结构图（方框图）：是系统数学模型的另一种形式，它可表示控制系统各变量之间的数学关系及信号的传递过程；也可通过等效变换原则，求出系统的传递函数。第五十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二一、建立动态结构图的一般方法1、举例，如图RC电路，画出系统的动态结构图解：列出电路的初始微分方程组用方框图表示各变量之间的关系如图：再根据信号流向将框图按顺序连接，得系统结构图第五十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2、动态结构图组成由上例可知，动态结构图由信号线、综合点（比较点）、方框和引出点组成。其中，信号线上的箭头表示信号传递的方向；比较点表示两个信号的代数和；方框中表明的是传递函数；引出点表示将同一个信号分别引出。第五十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二3、绘制动态结构图的一般步骤如下：1）确定各元件或环节的传递函数；2）绘出各环节的动态方框图，方框中标出其传递函数，并以箭头和字母表明其输入量和输出量；3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框图连接起来。第五十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例2、求图2-26电路的动态结构图·+。。-。+。-Ci1i2R2R1ucur解：第五十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二系统动态结构图如图所示：第五十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例3、绘出图示双RC网络的结构图uiuouC2C1ic1i1R1R2i2图2-29RC串联电路解：第五十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二Ui(s)I1(s)U(s)

-(a)I2(s)IC1(s)I1(s)-(b)IC1(s)U(s)(c)第五十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二I2(s)Uo(s)(e)U(s)I2(s)Uo(s)(d)

-Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)

-

-(f)第五十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二二、动态结构图的等效变换与化简1、动态结构图的等效变换

等效变换：就是被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后输入量和输出量保持不变。1）串联变换当系统中有两个或两个以上环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积，即：第六十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2）并联变换当系统中有两个(或两个以上)环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。即：推导过程？第六十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二3)反馈变换：变换框图如下图所示：由a图可知说明：公式中，“＋”对应负反馈、“-”对应正反馈；反馈环节H(s)=1,称为单位负反馈。第六十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二4)比较点和引出点的移动规则在一些复杂系统中，回路之间常存在交叉连接。为消除交叉连接，需要移动比较点和引出点的位置。①比较点之间或引出点之间的位置交换

相邻比较点之间的位置交换或合并如图a，引出点之间的位置交换如图b：注意：一般不能将比较点与引出点的位置进行交换。a)b)第六十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二②比较点相对方框的移动根据等效变换的原则，变换后应在被移动支路中串入适当的传递函数。图a前移；图b后移。如下图所示：变换前后是否相等？第六十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二③引出点相对方框的移动根据等效变换的原则，变换后应在被移动支路中串入适当的传递函数。图a为引出点前移；图b后移。如下图所示：变换前后是否相等？第六十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二总结1、由引出点和比较点的移动规则可知：引出点前移和比较点相对方框后移，在引出线上添加G(s)；引出点后移和比较点前移，在引出线上增添1/G(s)。引出量和输出量都保持不变。2、结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式3、解除交叉联接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，结构图上相邻的分支点可以互相交换，相邻的综合点也可交换。但是，当引出点与比较点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换。第六十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例1，化简如图的结构图，求解：化简方法一，先通过移动引出点和综合点，消除交叉连接，使动态结构图变成独立的回路，然后再进行串联、并联和反馈环节的等效变换，最后求得系统的传递函数。第六十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二等效变换后的结构图：故，系统的传递函数为：第六十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例2，化简RC网络动态结构图，求第六十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例3、化简下图多回环系统解：＋－－＋ⅠⅡⅢ＋－－＋ⅠⅡⅢ第七十页，共八十九页，编辑于2023年，星期二系统传函：＋－Ⅰ第七十一页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例4、用结构图的等效变换求取系统的传递函数－－＋－－＋①第七十二页，共八十九页，编辑于2023年，星期二－－＋－②③第七十三页，共八十九页，编辑于2023年，星期二④⑤第七十四页，共八十九页，编辑于2023年，星期二试求如下系统的传递函数随堂练习第七十五页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2、梅逊公式

利用梅逊公式，不用等效变换，可直接求出有交叉回环复杂系统的传递函数。公式：说明如下：1）△为特征式：其中，：各回路传递函数之和。回路传递函数是指回路内前向通道和反馈通道传递函数的乘积。：两两互不接触的回路的传递函数乘积之和。：所有三个互不接触回路的传递函数乘积之和。第七十六页，共八十九页，编辑于2023年，星期二2）为第k条前向通道的传递函数。为相应的余子式,是将△中与第k条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分。(把与第k条前向通路接触的回路去除，剩余回路所构成的子特征式)例1、求如下系统框图的传递函数。第七十七页，共八十九页，编辑于2023年，星期二解：1）系统有5个回路，各回路的传递函数为：2）系统没有两个或多个互不相接触回路，第七十八页，共八十九页，编辑于2023年，星期二3）系统有两条前向通道，分别与5个回路都有接触，故将以上各式代入梅逊公式，故系统的传递函数为：第七十九页，共八十九页，编辑于2023年，星期二例2、求如图系统的传递函数有1条前向通道，所以：解：该动态结