2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期4月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式即可求解.【详解】.故选：B.2．已知向量，，则（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用坐标求出模作答.【详解】向量，，则，所以.故选：B3．在△ABC中，，，，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】利用正弦定理求得，进而求得.【详解】由正弦定理得，所以，由于，所以为锐角，所以.故选：B4．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.【详解】如图所示，在中，因为为边上的中线，所以为的中点，所以由平行四边形法则有：，又点在上，且所以，所以，故选：A.5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．沿轴向左平移个单位 B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位 D．沿轴向右平移个单位【答案】C【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】，将函数的图象沿轴向左平移个单位，即可得到函数的图象，故选：C【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（

）A．20m B．30m C．20m D．30m【答案】D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故选：D.7．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据及相关公式求出，再根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由，得，则，即，则，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：.8．的内角，，的对边分别为，，，已知的面积，设是边的中点，若，则等于（

）.A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】由面积公式及余弦定理求出，即可得到与的夹角为，再由面积公式求出，最后由数量积的定义计算可得.【详解】由，又，所以，所以，又，所以，所以与的夹角为，由面积公式，解得，即，因为是边的中点，所以，所以．故选：A．二、多选题9．边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD，再由向量数量积公式可判断C.【详解】根据向量加法法则可知，，故A正确；根据向量减法法则可得，故B错误；由向量数量积公式得，故C正确；根据向量加法法则可知，，所以D正确.故选：ACD.10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）.A．是的充要条件B．若，，，则有两解C．若为钝角三角形（C为钝角），则D．若为斜三角形（若一个三角形不包含直角，则称此三角形是斜三角形），则【答案】ABD【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，若，则，所以，所以是的充要条件，故A选项正确；对于B选项，，则，如图：所以有两解，B选项正确；对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确.故选：ABD.11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在线段上B．若，则点是的重心C．若，则点的轨迹必过的内心D．若，且，则的面积是面积的【答案】BCD【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量的线性运算以及三角形重心的定义可判断B选项；利用三角形内心的性质以及平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及三角形面积的关系可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，则，可得，所以，点在射线上，且点为线段的中点，A错；对于B选项，设点为线段的中点，则，因为，此时点为重心，B对；对于C选项，因为，则，因为、分别是与、方向相同的单位向量，记住，，以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，则平分，且，即，此时，点的轨迹必过的内心，C对；对于D选项，因为，且，所以，且，设，则，即，即，所以，、、三点共线，又因为，所以为的中点，如图所示：所以，故D正确.故选：BCD.12．在中，记角所对的边分别为，若，则（

）A．B．C．内角的最大值为D．面积的最小值为【答案】BC【分析】先由向量的数量积公式计算判断A选项，再结合余弦定理公式计算判断B选项，再结合基本不等式和余弦函数的单调性判断C选项，最后利用面积公式结合bc的范围判断D选项.【详解】，故A选项错误；因为，所以，故B选项正确；因为，所以，所以，故C选项正确；因为，所以，故D选项错误.故选：BC.三、填空题13．已知向量，，若，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，根据向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标表示，即可求出实数的取值范围.【详解】解：已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，所以，若为相反向量,则两向量共线，有，，所以实数的取值范围是且.故答案为：.14．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________．【答案】/【分析】在中，利用正弦定理求出，在中，先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可得解.【详解】如图，在中，，则，因为，所以，在中，，则，所以，则.故答案为：.15．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______.【答案】/【分析】利用向量共线求出，再利用二倍角的正弦公式结合齐次式法求值作答.【详解】依题意，由与共线，得，而，，于是，即，又，不共线，因此，解得，所以.故答案为：16．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，求出的关系，从而可将都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，所以，又因为函数在内单调递增，所以，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，则，因为，所以，则，因为存在最大值，则，解得．故答案为：．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得.四、解答题17．已知向量，满足，，且，的夹角为45°．(1)若，求实数k的值；(2)求与的夹角的余弦值．【答案】(1)k；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，列式计算作答.（2）根据给定条件，利用向量夹角的计算公式计算作答.【详解】（1）因，，与的夹角为45°，则，又，则，解得，所以实数k的值是.（2）由（1）知，，，，因此，，所以与的夹角的余弦值.18．在条件：①，②，③，且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：中，内角、、所对边长分别是、、.若，，______.(1)求；(2)求的面积.（注意：选择多个条件时，按你第一个选择结果给分.）【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选择条件①：由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，即可得出的值；选择条件②：利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；选择条件③：利用平面向量共线的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）解：选择条件①：由正弦定理知，，，，，，化简得，，则，，即，，则，则，即；选择条件②：，，由余弦定理知，，；选择条件③：，，且，，由正弦定理知，，则，、，则，，则，故.（2）解：由三角形的面积公式可得.故的面积为.19．中，、、分别为角、、的对边，，，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）本题首先可根据得出，然后通过三角恒等变换得出，最后根据得出；（2）本题首先可根据余弦定理得出，然后与联立求出、的值，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因为，，所以，即，，因为，所以，故，解得.（2）因为，，所以，联立，解得或，当时，的面积；当时，的面积，故的面积为或.【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查通过三角恒等变换求角的大小，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查余弦公式以及解三角形面积公式的应用，若两个向量互相垂直，则这两个向量的数量积为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.20．的内角的对边分别为，．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知，再根据正弦定理边角互化并整理得，进而得答案；（2）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而结合已知条件得，再求解正弦值即可.【详解】（1）解：因为，所以，即，所以，正弦定理可得，因为，所以，因为，．所以，因为，所以．（2）解：因为，所以，由正弦定理得．又因为，，所以，整理可得，即，所以，因为，所以或，即或，因为，所以，．21．在近年，中国采用“吹沙填海”的方式，成功将部分小岛礁连成一片，可以进而形成一个大岛礁．已知南海上存在、、、四个小岛礁，它们在一条直线上且满足，若通过“吹沙填海”的方式建成了如图所示一个矩形区域的大岛礁，其中米．(1)为线段上一点，求最小值；(2)为线段上一点，求的最小值；(3)因特殊原因，划定以圆心，为半径的圆的区域为“隔离区”，拟建造一条道路，使与该“隔离区”的边界相切，求四边形面积的最大值．【答案】(1)8000(2)(3)【分析】(1)取中点，将原问题转化为向量求模即可；(2)根据余弦定理及第一问的结果可以求解；(3)由于MN，MB都是圆A的切线，连接AM，利用以及切线之间的几何关系，再利用面积公式求解即可.【详解】（1））取中点，，当且仅当点位于中点时等号成立，∴最小值为8000；（2）由余弦定理得，，当且仅当，即点立位于中点时等号成立，的最小值为；（3）设与圆切于点，连接，，设，，则，，，，∴的面积，当且仅当，时等号成立时等号成立，四边形CDNM的最大值为：；综上，最小值为8000，的最小值为，四边形CDNM的最大值为：.22．已知向量，，函数(1)求函数的解析式和对称轴方程；(2)若a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；(3)若时，关于x的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.【答案】(1)，对称轴方程为(2)见解析；(3)，【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出对称轴方程；（2）先求出，再根据与及b的大小关系判断这个三角形解的个数；（3）将方程化为，进而转化为要有两个不同于的根，数形结合得到数的取值范围及的值.【详解】（1），令，解得：，故对称轴方程为：（2），因为，所以，故，解得：，当时，此时，故此时三角形解的个数为0，即不存在这样的三角形；当时，此时，此时三角形解的个数为1，且∠B为直角