2022-2023学年湖北省荆州市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省荆州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．120° D．150°【答案】A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.【详解】∵∴∴又∵∴故选：A.2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【答案】D【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．【详解】解：因为，所以，令，得瞬时速度为．故选：D.3．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可.【详解】解：圆，即，圆心，半径，圆的圆心，半径，因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以，即，解得，即；故选：A4．在正项等比数列中，是的等差中项，则（

）A．16 B．27 C．32 D．54【答案】D【分析】由题可得，进而可得，即得.【详解】设数列的公比为，则，∴，解得，（舍去），∴.故选：D.5．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】D【详解】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减6．等差数列、中的前项和分别为、，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列的性质及其前项和公式可得，将代入即可求解.【详解】∵等差数列、中的前项和分别为、，，∴.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前项和公式，需熟记公式，属于基础题.7．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.8．已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（

）A． B． C．2 D．无法确定【答案】A【分析】联立直线与抛物线方程，得到，代入两点斜率公式即可化简求解.【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，则故选：A二、多选题9．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本函数的导数公式，导数的运算法则逐项计算判断作答.【详解】对于A，，A不正确；对于B，，B正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：BD10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（

）A．当时，曲线C为圆B．曲线C为椭圆的充要条件是C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则D．存在实数k使得曲线C为抛物线【答案】AC【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解.【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；对于B，若曲线C为椭圆，则，且，所以B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确；对于D，曲线C不存在x，y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误．故选：AC.11．设数列的前n项和为，，且，则（

）A． B．是等差数列C． D．【答案】AD【分析】根据的关系，即可求解是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解.【详解】当时，，因为，所以，故A正确；于是，当时，，所以，即，即，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故，，故BC错误，D正确．故选：AD12．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，为线段的中点，则（

）A．与共面B．三棱锥的体积跟的取值无关C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为D．【答案】ABC【分析】由为的中点，得到，可判定A正确；由到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据，可得判定B正确，由时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形，可判定C正确；当时，根据，可判定D不正确．【详解】在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确；由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；当时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，所以平面截正方体所得截面的周长为，所以C正确；当时，可得，则，所以不成，所以D不正确．故选：ABC三、填空题13．已知函数，则_________．【答案】【分析】根据导数的公式，代入求解即可．【详解】，，令，则，，故答案为：．14．直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________．【答案】1【分析】由于直线恒过，所以当直线与定点和圆心连线的直线垂直时，取得最小值，从而可求出的值【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：，所以则的最小值为：，此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．故答案为：．15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由单调性可知在上恒成立，采用分离变量法可得，由二次函数的最值可求得的范围.【详解】在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立；又当时，，，解得：，实数的取值范围为.故答案为：.四、双空题16．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.（结果用表示）【答案】66【分析】分析数据规律可得，再利用累加法即可求解.【详解】设第件首饰上的珠宝颗数为，则，，，，因为，，，，所以猜想，所以推断，即.由，则，…,,以上各式相加得,所以.故答案为：66；.五、解答题17．已知函数，的图象在点处的切线为．(1)求a，b的值;(2)设，求最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解，（2）求导得单调性，即可求解最值.【详解】（1），，由已知，得，解得，∴函数的解析式为．（2），则，令，则，当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增，∴．18．已知三点共线，其中是数列中的第n项.(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.【详解】（1）三点共线，（2）

①

②①—②得19．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：由于，，所以，由于，，、平面，所以平面，平面，由平面，得.取的中点，连接，因为底面是直角梯形，且，，故四边形为矩形，且且，，所以在中，，，，即，由于，、平面，所以平面.（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，.所以，直线与平面所成角的正弦值为.20．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前项和为，求证:【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.【详解】（1）由为等差数列，得，则又构成等比数列，所以，即解得或(舍)，所以;（2）因为，所以21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.（1）求椭圆的方程；（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出，之间的等量关系，再结合，，间的关系即可求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及已知即可得出，的关系，进而即可得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，.，，，椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得.设点，，则，.，且由题意知和必存在，.又，，即，整理得，得，即，解得，的方程为.，即，，解得.，位于椭圆轴上方，，此时直线过轴上的定点.22．已知函数.（1）当时，求证：恒成立；（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.【答案】（1）见证明；（2）3【分析】（1）当时，，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程转化为，构造函数，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得的最小值【详解】（1）证明：当时，，，令，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.故，所以.（2）至