行列式按行列展开

行列式按行列展开第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期一三阶行列式：（一）按某一行（列）展开余子式三阶降成了二阶！则代数余子式第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期一余子式讨论n阶行列式：n-1阶行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代数余子式第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期一定理1.4

(P.22)按行展开按列展开即：D

等于第

i

行（列）元素与对应的代数余子式乘积的和。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期一证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）“1”不与其余数构成逆序第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期一第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期一(3)四阶行列式按第三行展开的结果＃n阶行列式按第i行展开：第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期一P.25例2计算行列式解按第三列展开其中：展开原则：选0元素最多的行（列）展开。第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期一所以注：•对于三阶行列式，也可展成二阶，零元素多时可直接计算；•用展开定理之前，可先用性质将某行（列)化成只含一个非零元。第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期一解2按第二行展开按第一列展开第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期一P.26(28)例3当k为何值时解第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期一P.27例4求证第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期一证按第1列展开第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期一n-1阶第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例5(P28)证明范德蒙(Vandermonde)行列式第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期一证明(数学归纳法)，结论成立。按第1列展开第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期一根据归纳假设有：综上所述，结论成立。第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例6(P29)计算行列式12张解

V是的范德蒙行列式，故第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期一即：第i行元素与另一行元素的代数余子式乘积的和等于零。定理1.5

（P.23)证0=i

行s

行2和10对应的代数余子式相同：第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期一综合定理1.4，定理1.5对于行：对于列：第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例解法一：解法二：第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期一称S为D的一个2阶子式*（二）按某k

行（列）展开(Laplace展开）P.29

子式及其余子式

取第1、2行与第1、4列交点位置的元素构成一个二阶行列式：称M为S在D中的余子式为S在D中的代数余子式S的行标之和S的列标之和第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期一

定义

(P.29)在n阶行列式D中，任取k行、k列的交点上的k2个设S的各行位于D中第行S的各列位于D中第列，那么称为S的代数余子式。

元素按原来的相对位置组成的k阶行列式

S，称为D的一个k阶子式。在D中划去S所在的k行与k列，余下的元素按原来的相对

位置组成的n-k阶行列式M，称为S的一个余子式。第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期一

定理1.6(Laplace)若在行列式D中任意取定k个行

，则由这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D。当k=1时，此定理即按行展开，t=n。此定理可实现大幅度降阶的目标。设D的某k行组成的所有k阶子式分别为它们相应的代数余子式分别为则第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例7

(P.29)用拉普拉斯定理求行列式的值：解按第一、第二行展开(含0多），这时任何两列交叉点上的元素可构成二阶子式，共有则1,4列；2,4列；3,4列对应的Si=0.1,2列1,3列2,3列第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期一练习1,2列按1,2行展开显然，按Laplace展开计算并没有减少，但特殊情况却有很多优势。展开的原则：值为零的子式越多越好。第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例证：取前k行展开即得。第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期一推广：(其中Ak为方阵)特别：(其中Ak为方阵)注：

对右上三角形的也成立第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期一P.26例3续当k为何值时解第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期一练习：注意：对角线上一定是方阵，非对角线上可以是长