行列式按行展开

行列式按行展开第一页，共四十页，编辑于2023年，星期一

内容分布一、行列式按一行(列)展开二、行列式按某k行(列)展开

基本要求

利用展开定理计算行列式

第二页，共四十页，编辑于2023年，星期一

可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？第三页，共四十页，编辑于2023年，星期一

1.4.1行列式按一行（列）展开定义1.9在n阶行列式D=|aij|中，去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的余子式,记为Mij．称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式．第四页，共四十页，编辑于2023年，星期一注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。第五页，共四十页，编辑于2023年，星期一例如引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．第六页，共四十页，编辑于2023年，星期一即有又从而下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,（根据P.16例8的结论）第七页，共四十页，编辑于2023年，星期一我们以4阶行列式为例.第八页，共四十页，编辑于2023年，星期一被调换到第1行，第1列第九页，共四十页，编辑于2023年，星期一

定理1.2行列式D=|aij|等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或第十页，共四十页，编辑于2023年，星期一证明：i=1,2,···n第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一例1分别按第一行与第三列展开行列式解（1）按第一行展开（2）按第三列展开．第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一由例1我们可以看出，按第一行展开计算比按第三列展开计算要简单，这是因为行列式第一行里的零元素相对要多．为此，在计算行列式时，可以先用行列式的性质将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元，再按此行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式．第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一例2计算行列式解由于D中第三行有一个零元素，并且非零元素中有1，所以利用行列式的性质，把该行除元素“1”外其余的非零元素全化为0，然后按第三行展开．第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一例计算行列式解：第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一例3讨论当k为何值时解所以，当且时，第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期一例4求证第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期一第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期一第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一例5证明范德蒙行列式其中，∏表示全部同类因子的乘积（连乘），注意下标条件的理解。第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一证明用数学归纳法证明.当n=2时，结论成立.假设结论对于n-1阶范德蒙德行列式成立，要证结论对n阶范德蒙德行列式也成立．为此，设法把Dn降阶第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一按第1列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出，就得到上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳假设，它等于所有(xi-xj)因子的乘积,其中n≥i>j≥2．故

n−1阶范德蒙德行列式第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一例利用范德蒙德行列式计算如下行列式解：根据范德蒙德行列式计算公式，有第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一定理1.3

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一定理1.2

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1.3行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一例设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期一解第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期一第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期一例设D中aij元的余子式和代数余子式依次记为Mij和Aij，求第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一解：（1）根据展开定理，表达式为行列式按照第3行展开，故（2）表达式为第一行元素与第三行对应元素的代数余子式相乘的和，根据定理1.3，有（3）根据展开定理，表达式为如下行列式的第1行展开：第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一（4）根据代数余子式和余子式的关系，有再根据行列式展开定理，有第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一1.4.2行列式按某k行（列）展开其中i1,…,ik为k阶子式M在D中的行标，j1,…,jk为M在D中的列标．定义1.10在n阶行列式D=|aij|中，任意选定k行k列(1≤k≤n)，位于这些行和列交叉处的k2个元素，按原来的顺序构成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成n-k阶行列式在其前面冠以符号，称为M的代数余子式第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一例选取第1,2行，第1,3列2阶子式M的余子式M的代数余子式余子式第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一定理1.4（拉普拉斯（Laplace）定理）在n阶行列式D中，任意取定k行(列)(1≤k≤n-1)，由这k行(列)组成所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D．例计算2n阶行列式其中未写出的元素为0第三十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一解：把D2n行依次与第2n-1行,···,第2行对调（作2n-2次相邻对换），再把第2n列依次与第2n-1列,···,第2列对调，得以