计算方法插值法

计算方法插值法第一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3均差与牛顿插值公式2.4差分与等距节点插值2.5埃尔米特插值2.6分段低次插值2.7三次样条插值2023/6/62第二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.2023/6/63第三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.1引言能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题2023/6/64第四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二这就是插值问题，上式为插值条件其插值函数的图象如下图2023/6/65第五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/66第六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二二、插值法的类型且满足其中为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值2023/6/67第七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.2拉格朗日插值此插值问题可表述为如下：问题求作次数多项式，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。

拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。2023/6/68第八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/69第九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二问题已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求作一次式，使满足条件其几何意义，就是通过两点的一条直线。

2.2.1线性插值与抛物插值一、线性插值—点斜式2023/6/610第十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二L12023/6/611第十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。适用情况：很小时2023/6/612第十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二也可表示为如下对称形式：其中，显然，2023/6/613第十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二

线性插值的局限性2023/6/614第十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二线性插值举例例1:

已知，，求代入点斜式插值多项式得y=10.71428精确值为10.723805，故这个结果有3位有效数字。2023/6/615第十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二

问题求作二次式，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点

的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：二、抛物插值2023/6/616第十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/617第十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(121–100)(121–144)L2(115)=(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*

10+(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228抛物插值举例2(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位2023/6/618第十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二为了构造，我们先定义n次插值基函数。2.2.2拉格朗日n次插值多项式定义：若n次多项式在n+1个节点上满足条件2023/6/619第十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二n+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：2023/6/620第二十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二且从而2023/6/621第二十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二总结称为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称为n次拉格朗日插值基函数2023/6/622第二十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多项式。2023/6/623第二十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/624第二十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/625第二十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/626第二十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）高次插值的精度不一定高2023/6/627第二十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.2.3插值余项与误差估计一、插值余项满足不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？2023/6/628第二十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/629第二十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二令设其中证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为2023/6/630第三十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二若引入辅助函数2023/6/631第三十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二根据罗尔定理,再由罗尔定理,依此类推由于2023/6/632第三十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二所以因此2023/6/633第三十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二则注意（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。（2）在内的具体位置通常不可能给出，所以，设2023/6/634第三十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二例1:解:2023/6/635第三十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/636第三十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二例2.并作图比较.解:2023/6/637第三十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图Runge现象2023/6/638第三十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.

P441、2本章作业2023/6/639第三十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二1、给定正弦函数表如下，试用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估计误差。0.50.60.70.479340.564640.644222、已知函数表x1.131.151.171.20y=f(x)1.1911.3951.5931.790应用拉格朗日插值公式计算f(1.16)第四十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.3均差与牛顿插值公式2023/6/641第四十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.3.1均差及其性质我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合2023/6/642第四十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/643第四十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二有2023/6/644第四十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二一、差商(均差)定义2.称2023/6/645第四十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二二、均差具有如下性质：2023/6/646第四十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/647第四十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/648第四十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二三、均差的计算方法(表格法):规定函数值为零阶均差均差表2023/6/649第四十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.3.2牛顿插值公式2023/6/650第五十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/651第五十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二我们称

为牛顿(Newton)均差插值多项式。称

为牛顿均差插值多项式的截断误差。2023/6/652第五十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/653第五十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/654第五十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二显然：2023/6/655第五十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二例1：2023/6/656第五十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二解：2023/6/657第五十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/658第五十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较2023/6/659第五十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二P5913、14本章作业2023/6/660第六十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.4差分与等距节点插值2023/6/661第六十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二一、差分定义3.2.4.1差分及其性质2023/6/662第六十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二依此类推可以证明如2023/6/663第六十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二差分表2023/6/664第六十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系2023/6/665第六十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二依此类推2023/6/666第六十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二

2.4.2等距节点插值公式一、牛顿前插公式2023/6/667第六十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/668第六十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二二、牛顿向后(差分)插值公式2023/6/669第六十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/670第七十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的.但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.三、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比2023/6/671第七十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.5埃尔米特插值法2023/6/672第七十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.5埃尔米特插值法2023/6/673第七十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/674第七十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/675第七十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/676第七十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/677第七十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/678第七十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/679第七十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/680第八十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/681第八十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/682第八十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/683第八十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/684第八十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/685第八十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/686第八十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二解：1

)2023/6/687第八十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/688第八十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/689第八十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/690第九十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/691第九十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/692第九十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/693第九十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/694第九十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/695第九十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/696第九十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二P6015、16本章作业2023/6/697第九十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.6分段插值法2023/6/698第九十八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二例2.解:2.6.1高次插值的病态性质2023/6/699第九十九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图Runge现象2023/6/6100第一百页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.

2023/6/6101第一百零一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.6.2分段线性插值一、分段线性插值的构造2023/6/6102第一百零二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差，在节点处有尖点。但如果增加节点的数量。减小步长,会改善插值效果因此则2023/6/6103第一百零三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6104第一百零四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二x2023/6/6105第一百零五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二分段线性插值的误差估计可利用插值余项得到或二、分段线性插值的误差估计其中2023/6/6106第一百零六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.6.3分段三次埃尔米特插值2023/6/6107第一百零七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6108第一百零八页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6109第一百零九页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6110第一百一十页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6111第一百一十一页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6112第一百一十二页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6113第一百一十三页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6114第一百一十四页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2023/6/6115第一百一十五页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二P5918、19本章作业2023/6/6116第一百一十六页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.7三次样条插值2023/6/6117第一百一十七页，共一百三十页，编辑于2023年，星期二2.7三次样条插值什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具.样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoen