2023年高一数学等差数列知识点及练习题

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专题九等差数列

一．等差数列基本概念

1．等差数列定义

2.等差数列通项公式na=______________或na=___________.

3.等差数列前n项和1)nS=________________2).nS=_________________

4.等差中项：假如,,abc成等差数列，么b叫做,ac的等差中项，则有_________________

5.等差数列的判定办法1)定义法：2)中项公式法：

3)通项法：已知数列na的通项公式为napnq=+，则na为等差数列，其中首项为1a=________，公差d=________。

4)前n项和法：已知数列na的前n项和2nSAnBn=+，则na为等差数列，其中首项为

1a=________，公差d=________，

6.等差数列性质1)1212nnaaaaa-+=+=nL

2)当*,,

,mnpkN∈，且mnpk+=+，则mnpkaaaa+=+；特殊当

2mnp+=时2mnp

aaa+=

特殊注重“mnp+=时，mnpaaa+=”是不正确的.

3)数列na的前n项和为nS，则232...,,mmmmmSSSSS--成大差数列

4）当n为奇数时，12

nnSna+=

二．例题分析

【类型1】求等差数列通项【例1】.等差数列na中，5

1210,31aa==，求1,,ndaa.

【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.

【例2】等差数列na中，381312aaa++=，381324aaa??=，求通项公式na.

【变式1】等差数列{}na中，51510,25,aa==则25a的值是．

【变式2】已知等差数列{}中．61018aa+=31a=，则13a=．

【变式3】（09年安徽文）等差数列{}na中，

135105aaa++=，24699aaa++=，则20a=．

【变式4】(2022年天津文4）若等差数列{}na的前5项和525S=，且23a=，则7a=．

【例3】已知数列中，=1，，则数列的通项公式为______

【变式1】已知数列{}中，=2,=3，其前n项和满足(n≥2，n∈N)，则数列{}的通项公式为()

A．=n

B．=

C．=n-l

D．=n+l

【例4】在数列{}na和数列{}nb中，nS为数列{}na的前n项和，且满足

22nSnn=+，数列{}nb的前n项和nT满足13nnTnb+=，且11b=

（1）求数列{}na的通项公式（2）求数列{}nb的通项公式

【例5】数列na中，1155

1,n

nnaaaa+=+=，求数列{}na的通项公式；

【类型2】求等差数列前n项和

【例1】（11年天津文11．）已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，*nN∈，若

32022,20,aS==则10S的值为_______

【变式1】假如是一个等差数列的前n项和，其中a，b，c为常数，则c的值为．

【例2】（10年全国文6）等差数列{}na中，34512aaa++=，那么na的前7项和7S=．

【变式1】已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分离为1a、1b，

且511=+ba，*11,Nba∈．设nbnac=（*Nn∈），则数列}{nc的前10项和等于（）

A．55

B．70

C．85

D．100

【例3】{}na通项公式为2

1

nann

=

+，则nS=_______．

【变式1】{}

na通项公式为na=nS=．

【变式2】{}

na通项公式为na=n项和为10，则项数n

为．

【例4】等差数列{}na中，249nan=-，前n项和记为nS，求nS取最小值时n的值.

【变式】差数列{}na中，213nan=-，则n=时nS有最大值；

【类型3】等差数列性质的应用

【例1】（1）等差数列{}na中，230,100,mmSS==求3mS的值.

（2）等差数列{}na中，481,4SS==，求17181920aaaa+++的值.

【例2】（2022年辽宁理科14）等差数列{}na中，na的前n项和为nS，假如

369,36SS==，则789aaa++=．

【变式1】（2022年辽宁文）等差数列{}na中，

na的前n项和为nS，366,24,SS==，

则9a=．

【变式2】已知等差数列{}na中，12345612,18,aaaaaa++=++=则

789aaa++=．

【变式3】已知数列{}na和{}nb的前n项和分离为,nnAB，且7+1

,427nnAnBn=+求1111

ab的值.

【例3】等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中一定是常数的是（）

C．B．C．

D．

【变式1】等差数列中，则（）C．-36B．48C．54D．72

【变式2】等差数列中，已知前15项的和，则等于（）A．B．12C．D．6

【变式3】在等差数列中，若则．

【类型4】证实数列是等差数列

【例1】知数列{}na的前n项和为21

+2

nnnS=，求通项公式na并推断是否为等

差数列

【例2】在数列中，,设证实是等差数列．

【例3】已知数列{}na的前n项和为nS，且满足)2(021≥=+-nSSannn，2

1

1=

a，求证：数列???

???nS1是等差数列；求数列{}na的通项公式。

【变式1】数列na中，11551,n

nnaaaa+=+=，推断1na??????

是否为等差数列.

【例4】数列{}na中，144nnaa-=-，1

2

nnab=-；1）求证{}nb是等差数列；2）求{}na的通项公式.