高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)

一．正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数余弦函数正切函数有界性有界有界无界定义域 值域当时，当时，当时，当时， 周期性是周期函数，最小正周期是周期函数，最小正周期奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称奇函数，图象关于原点对称单调性在上是单调增函数在上是单调减函数在上是单调增函数在上是单调减函数在上是单调增函数对称轴对称中心正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（一）三角函数的性质

1、定义域与值域

2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx.

（2）型三角函数的奇偶性

（ⅰ）g（x）＝（x∈R）

g（x）为偶函数

由此得；

同理，为奇函数.

（ⅱ）

为偶函数；为奇函数.

3、周期性

（1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为.

（ⅱ）型三角函数的周期

的周期为；

=5\*GB3⑤当·；·.=6\*GB3⑥与是同一函数,而是偶函数，则.=7\*GB3⑦函数在上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].=8\*GB3⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）=9\*GB3⑨不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：.=10\*GB3⑩有.二、形如的函数：1、几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；2、函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）；3．函数最大值是，最小值是，周期是，最小正周期频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如（1）函数的递减区间是______（答：）；（2）的递减区间是_______（答：）；5、函数图象的画法：（1）利用“五点法”作函数(其中)的简图，是将看着一个整体，先令列表求出对应的的值与的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。②图象变换法：这是作函数简图常用方法===由图象推的图象6．函数的图象与图象间的关系：图象变换(1)振幅变换(2)周期变换(3)相位变换(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩函数的图象与函数的图象之间可以通过变化来相互转化．影响图象的形状，影响图象与轴交点的位置．由引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．（一）先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得图象（二）先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，例如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；三、正切函数的图象和性质：（1）定义域：。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变