新教材高中数学第15章互斥事件和独立事件第1课时互斥事件学案含解析苏教版必修第二册6703

学习任务核心素养1．了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否1．通过求事件发生的概率，培养数是对立事件．(重点、难点)据分析、数学运算核心素养．2．了解两个互斥事件概率的加法公式，知道2．借助于互斥事件概率之间的关对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式系，培养逻辑推理核心素养．进行简单概率计算．(重点)甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．问题：甲获胜的概率是多少？知识点1互斥事件与对立事件的定义(1)一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，B⊆Ω，满足AB＝∅，即事件A与B不可能同时发生，称A，B为互斥事件，如果事件A和事件B互斥，是指事件A和事件B在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A和事件B同时发生的交(和)概率为0，即P(AB)＝0．(2)一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，C⊆Ω，满足AC＝∅且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝A或A＝C．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？[提示]对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．1．抽查10件产品，设A＝{至少有两件次品}，则A为________．至多有一件次品[“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”．]2概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这是概率满足的第三个基本性质(2)一般地，如果事件A，A，…，A中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A，B分别发生的概率的12n1A2，…，A两两互斥．那么P(A＋A2＋…＋A)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A)，即彼此互斥事件1nnn和的概率等于每个事件概率的和．2．若事件A，B互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝()A．0.6B．0.4C．0.2D．0.03B[∵A，B互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.3＝0.4．]3对立事件的知识点一个重要公式对立事件A与A必有一个发生，故A＋A是必然事件，从而P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1．由此，我们可以得到一个重要公式：P(A)＝1－P(A)．3．某射手射中10环的概率为0.22，那么在一次射击训练中，该射手射击一次不够10环的概率为________．0.78[令A＝“射手一次射击射中10环”，则P(A)＝0.22，∴P(－A)＝1－P(A)＝1－0.22＝0.78．]类型1互斥事件与对立事件的判断2名女生，从中任选2名同学参加【例1】某小组有3名男生和演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰有(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解](1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．由1名男生”与“恰有2名男生”；事件．当恰有于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生、1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．[跟进训练1．从40张扑克牌(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于判断上面给出的[解](1)是互斥事件，不是对立事件．40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发于还可能抽出“方块”]1～10各10张)中，任取一张．色牌”与“抽出黑9”．或者“梅花”，因此，(2)既是互斥事件，40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，不是对立事件．40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌数大于9”这两个事件可能同时发生，得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然点不可能是对立事件．类型2概率的加法公式【例2】某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位[8，10)[10，12)[12，14)[14，16)[16，18]/m概率0.10.280.380.160.08处此的年最高水位在下列(1)[10，18]；(2)[8，14)．[解]记此处河流的年最高水位在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]范围A，B，C，D，E，则这5个事件是彼此互斥的，由互斥事件的概率加法公式可范围内的概率：内分别为事件(1)此处河流的年最高水位在P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.90．(2)此处河流的年最高水位在[8，14)的概率是1．将一个事件拆分为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式计算结2．在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏．3．常用步骤：(1)确定诸事件彼此互斥；(2)诸事件中有一个发生；(3)先求诸事件分别发生的概率，再求和．[跟进训练]2．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝103，P(B)＝21，求“3个球中[解]本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件1个红球，2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球，1个白球”)，而且事件A与事件314B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．10253．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？[解]记“响第1声时被接”为事件B，“响第3声时被A，“响第2声时被接”为事件E，则易知A，B，P(E)＝P(A＋B＋C＋接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D，“响前4声内被接”为事件C，D互斥，且E＝A＋B＋C＋D，所以由互斥事件的概率加法公式，得D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9．类型3求对立事件的概率【例3】一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取该球的编号为n，求n<m＋2的概率．编号分别为1，2，3，4．1个球，1利用列举法求出基本事件的总数，进而求出概率；2是有放回抽样，所取的编号有先16，利用解.“正难则反”思想求2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，11和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率为＝．63(2)先从袋中随机取为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．n≥m＋2的结果为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号满足条件3个．316所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝，3131616故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P＝1－＝．1．当直接计算符合条件的事件个数较多时，可先计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＝1－P(A)间接地求出符合条件的事件的概率．2．应用公式时，清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式一定要分常用于“至多”“至少”型问题的求解．[跟进训练]4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．7[每位同学有2种选法，基本事件的总数为2＝16，其中周六、周日中有一天无人参48加的基本事件有2个，根据对立事件的概率公式知，周六、周日都有同学参加公益活动的概271－＝．168率为]5．玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，中从任取1球，求：(1)得到红球或黑球的概率；(2)得到红球或黑球或白球的概率．[解]记事件A：从12只球中任取1球得红球；A：从12只球中任取1球得黑球；A：123541球得白球；A：从12只球中任取1球得绿球，则P(A)＝，P(A)＝＝1212412从12只球中任取211，P(A3)＝＝，126P(A)＝．124513P(A＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝．1234(1)取出红球或黑球的概率为：1(2)A＋A＋A的对立事件为A．1234111P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝．1212类型4互斥事件、对立事件概率公式的综合应用4】抛掷一个质地均匀的正方体玩具字)，求：(1)落地时向上的数是偶数的概率；(2)落地时向上的数是奇数的概率；(3)落地时向上的数不小于5的概率；(4)落地时向上的数大于1的概率；【例(各个面上分别有1，2，3，4，5，6这6个数(5)落地时向上的数最大或最小的概率．[解]列表如下：向上的数x123456161616161616概率1111(1)P(x是偶数)＝P(x＝2)＋P(x＝4)＋P(x＝6)＝＋＋＝．66621111(或P(x是奇数)＝1－P(x是偶数)(2)P(x是奇数)＝P(x＝1)＋P(x＝3)＋P(x＝5)＝＋＋＝666211)．＝1－＝22111(3)P(x≥5)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝．663(4)P(x>1)＝P(x＝2)＋P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＋P(x＝6)＝16×5＝，或56P(x>1)＝1－15P(x≤1)＝1－P(x＝1)＝1－＝．66111(5)P(x最大或最小)＝P(x＝6)＋P(x＝1)＝＋＝．663“互斥”和“对立”都是针对两个事件而言.“互斥”是发生；“对且仅有一个发生.,对于求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求出所求进而再求所求指两个事件不能同时立”是指两个互斥事件有事件的对立事件的概率，事件的概率.[跟进训练]6．掷一枚骰子的试验，事件B表示“小于5的42P(B)＝＝，所以事件B发632P(A)＝＝，事件B发生的概率为321P(B)＝1－P(B)＝1－＝，易知事件A与事件B互斥，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)33生的概率为112＝＋＝．]333和棋的概率为，乙获胜的概率为31，求：127．甲、乙两人下棋，(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．[解](1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率12P＝1－－113616＝．即甲获胜的概率是．(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以112P(A)＝＋＝．62312A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝．即33法二：设事件23甲不输的概率是．1．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，为对立事件的)是(A．①B．②④C．③D．①③C[从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶只有③中的两个事