2019年福建质检数学试题及答案理科

2019年福建省高考冲刺第一次模拟考试理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题），第n卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟•注意事项：.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效..选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5凫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚..做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑..保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回・参考公式：样本数据孙/2,…逐”的标准差 锥体体积公式$=7?（勺-通2+（--强+…+（4-动2] V=j~Sh其中三为样本平均数 其中s为底面面积m为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式。 4aV-Sh S=4gR2,V=yTr/?3其中S为底面面积涓为高 其中R为球的半径第I卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数产等于2-1A.1-i B.1+iC.—1+i D.-1—i2.设全集U=R,集合4={xlx（x-2）<0},B= <a},若力与B的关系如右图所示,则实数a的取值范围是A.[0,+co） B.（0,+8）C.[2,+«） D.（2,+oo）理科数学试题第1页（共5页）

.在各项均为正数的等比数列｛4｝中,=4,则数列｛log24｝的前7项和等于TOC\o"1-5"\h\zA.7 B.8 C.27 D.28.已知向量:。与，的夹角是120。,且IgI=1,1*1=2.若(0+成)，出则实数A等于A.1 B.-1 C.-亨 。.亭.运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为log23和1密2,则输出M的值是A.O B.1C.2 D.-1.设二次函数/(切=g2-2ox+c在区间[0,1]上单调递减，且/(m)W/(0)，则实数m的取值范围是A.(-8,0] B.[2,+oo)C.(-oo,0]U[2,+oo) D.[0,2]7.设是空间两条不同直线,a,S是空间两个不同平面，则下列(开始命题的逆命题正确的是♦♦♦(开始A.当mCa,nC^3时，若m〃跖则a//pB.当 时，若则C.当m(Za,nUQ时，若 〃9则a〃£D.当mCa,nC/9时，若m则九la.在AABC中，角4,8,C所对的边分别为a,6,c.若a=1,c=4％8=45。,则sinC等于.函数/(切=的图象上关于y轴对称的点共有[cOSTTXfX<0A.0对 B.1对 C.2对 D.3对.定义在区间[0,a]上的函数/(4)的图象如右下困所示，记以月(0J(0)),B(aJ(a)),C(x,/(x))为顶点的三角形的面积为S«),则函数5(%)的导函数S,⑺的图象大致是理科数学试题第2理科数学试题第2页(共5页)第II卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置•.（l4-21dx=..设数列｛aJ的前〃项和为S.,且册=sin詈/wN•，贝IJ5师=•.若以双曲线号-/=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是.[\x\<2,1.已知平面区域。i=（,y） ,。2=｛（*%）1狂-7+2<0｝.在区域。1内随机选11/1<2取一点也若点M恰好取自区域的概率为P，且0<pW：,则4的取值范围是•.某棋赛采用单循环赛（每两名选手均比赛一盘）方式进行,并规定:每盘胜者得1分,负者得0分，平局各得0.5分.今有8名选手参加这项比赛，已知他们的得分互不相等，且按得分从高到低排名后，第二名选手的得分恰好是最后四名选手的得分之和.以下给出五个判断：①第二名选手的得分必不多于6分；②第二名选手的得分必不少于6分；③第二名选手的得分一定是6分；④第二名选手的得分可能是6.5分；⑤第二名选手的得分可能是5.5分.其中正确判断的序号是（填写所有正确判断的序号）.三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步噱..（本小题满分13分）已知函数/（%）=，3cos%+sinxcoax-警产wR（I）设角a的顶点在坐标原点,始边在。轴的^负半轴上，终边过点P（。，-翔，求加）的值;（n）试讨论函数/（%）的基本性质（直接写出结论）.理科数学试题第3页（共5页）背面还有试题

17.（本小题满分13分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人.陈老师采用4、8两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果，期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）.记0.0400.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.004IAA1 1 1 1 .05060708090100成绩(分)乙班（I）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为金求§的分布列和数学期望；2一)（口）根据旗率分布直方图填写下面2x2列联表，并判断是否有95%2一)甲班（力方式）乙班（8方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计n(ad-be)2九(几11ntt-nl2n2l)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024（此公式也可写成/=(a+6)(c+d)(a+c)(6+J).（本小题满分13分）如图，在RtZUBC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF//BC交AC于点尸,将△AE尸沿EF折起到△PEF的位置（点4与P重合），使得4PE8=60。.（I）求证:EFJLP8；（n）试问:当点E在线段AB上移动时,二面角P-FC-5的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出其定值;若不是，说明理由.理科数学试题第4页（共5页）cc的参数方程为.(本小题满分13分)已知函数/(*)»+¥+alnx(I)求/(好的单调递增区间；(H)设a=1,g(4)=/'(%)，问是否存在实数人使得函数gG)的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于左？若存在，求k的取值范围;若不存在，说明理由.TOC\o"1-5"\h\z.(本小题满分14分) r已知椭圆E的中心在原点，焦点在4轴上，离\\ Z/心率为李，且过抛物线C：x2=4y的焦点F. /(1)求椭圆E的方程；(n)过坐标平面上的点p作抛物线c的两条 I7：)x切线。和M它们分别交抛物线c的另一条切线4于两点. 『(i)若点「恰好是点F关于4轴的对称点，且，3与抛物线C的切点恰好为抛物线的顶点(如图)，求证:A4B尸的外接圆过点F；(ii)试探究:若改变点F'的位置，或切线，3的位置，或抛物线C的开口大小,(i)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使(i)中的结论成立的命题，并加以证明.(温馨提示:本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分，但若给出的命题是假命题，本小题不得分)21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=f：)的两个特征值分别为用=-1和入2=4.(I)求实数6的值；(n)求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点。为极点逐轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线x=sina. 一2万C2c(。为参数)，曲线。的极坐标方程为所玳"作)=-苧.y=2cosa-2 q，(I)将曲线c的参数方程化为普通方程；(n)判断曲线C与曲线D的交点个数,并说明理由.(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知a,6为正实数.(I)求证ba(n)利用(I)的结论求函数y=+邑(0<X<1)的最小值.X1-X理科数学试题第5页(共5页)

2019年福建省高考冲刺第二次模拟考试理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，共50分.1.B2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.B9.D10.D二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题4分，共20分.11.4；12.0；13.(x-2)2+/=^-；15.三、解答题:本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.11.4；12.0；13.(x-2)2+/=^-；15.三、解答题:本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解法一:(I)因为点P(),-亨)在角。的终边上,所以sina=-y^,cosa=y-./(a)=氐+sinacosa-亨二4x(-1-)2+(一亨)-一与二一奈(II)/(x)=^cos2x+sinxco&r二&X乙1+cos2x=-^-sin2x+^cos2x=sin(2x+y-). 函数/(切的基本性质如下：①奇偶性：函数/(口既不是奇函数，也不是偶函数;②单调性：函数/(“)单调递增区间为［而一雪，而+制，单调递减区间为L A乙 JL乙J回+$说+碧］(AwZ)； ③最值:函数/(%)的最大值为1,最小值为-1; ④周期性：函数/(%)的最小正周期为E 理科数学试题答案第1页(共8页)11分12分13分解法二J(4)=-Acos2x+sinxcosx-与=有xL土半虫+-i-sin2x一专=—sin2x+=—sin2x+乙x=sin(2x+作).(I)因为点P(/-亨)在角a的终边上，所以a=2kir••••所以f(a)=sinj2(2A：ir--y)+引=sin(4A；n-孑)=sin(-y-)=-冬(口)同解法一.注:如果考生正确给出函数/(“)的对称轴或对称中心等性质，相应给分..本小题主要考查频率分布直方图、随机变量的分布列、数学期望和独立性检验等基础知识.考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等.满分13分.解:(I)由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4.《的可能值为04,2. : 口(七C2207t1、CJ1184八C：6P(f=0)=C^=245^=1)="cT=1225^(f=2)=德=否.故f的分布列为0122071846r24512251225的“mn2071 184c6 196 40rWEf=Ox—+lx—+2x—(H)由频率分布直方图可得,甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38,乙班成绩优秀、成绩不优秀人数分别为4,46.甲班(4方式)乙班(3方式)总计成绩优秀12416成绩不优秀384684总计505010010分根据列联表中数据，12分13分「12分13分衣- 16x84x50x50 24・762・ 由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关..本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象

能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分13分.(I)证明：在RtdABC中,•••EF//BC,:.EF1AB.•••EFLEB,EFtEP,X・・EBREP=E,•••EF上平面PEB. 又P8U平面PEB,；•EFLPB. 理科数学试题答案第2页(共8页)

(D)解:在平面PE8内，过P点作尸DJ.8E于D,由(I)知EF,平面PE8,，EF1PD9・・.PD上平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BH//PD,贝！.平面8CFE. 6 分如图，以8为坐标原点，记，屁，丽的方向分别为4轴，y轴/轴的正方向建立空间直角坐标系.设PE=x(O<x<4)，又,；AB=BC=4,BE=4-x9EF=x.在Rt4PED中，乙PED=60。,:・PD=£x,DF=yx,.*.BD=4-x-^-x=4-ya;,/.C(4,0,0),F(x,4-x,0),P(0,4-9冬).从而不=(t-4,4-孙0),方=(一4,4-全,冬). 设/=(，0,兀/0)是平面PC尸的一个法向量，由n1•CF=0,nt•CP=0,与(%-4)+为(4-x)=0,—4&+(4-yx)y0+冬Z。=04一九=0,属0-Zo=0,取，0=1,得为=(1,1,⑸是平面PFC的一个法向量• 9分又平面8CF的一个法向量为%=(0,0/)・ 10分设二面角P-FC-B的平面角为明则38a=lcos38a=lcos〈〃i,〃2〉I=二争因此当点E在线段AB上移动时,二面角P-FC-8的平面角的余弦值为定值,13分13分19.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分非与整合思想及有限与无限思想等.满分13分.TOC\o"1-5"\h\z解法一:(I)函数/(%)的定义域为(0,+8), 1分・.•/«)=±+应+°1皿,..・/，(％)=1-岑+ 2分力 XX X当。=0时J'G)=1>0,所以/(%)的单调递增区间是(0,+8)； 3分当a>0时，由/⑺>o,即("+2叱3-人>o,解得所以八①的单调递增区间是X(a,+8)； 5 分当a<0时，由/⑷>0,即但丝心刃>0,解得力>-2a,所以/(外的单调递增区间X是(-2a,+8)• 7 分理科数学试题答案第3页(共8页)

(口)当a=l时，&(%)=1-4+工假设存在实数儿使得g(%)的图象上任意不同两点连Xx线的斜率都不小于左,即对于任意盯 >0,都有网生二^^2小，X2一41TOC\o"1-5"\h\z亦即g(42)-辰2Ng(孙)一施卜 8分7 1考察函数无(%)=g(%)-显=1-4+L-任(％>0). 9分xx故问题等价于/(%)-右0,即对%>0恒成立. 10分xx xx令”工>0,考察函数『3=4t3-?(t>0).x则?⑴=12?-2力，令「⑴=0,得”0(舍去)或"看「.2(如「.2(如+%2) 1•x2>X{>0>.. 22 > 22 -力/2 XlX2 3出考察函数日(4)=4?-?(x>0),由解法一知H(x)的最小值为-盛.理科数学试题答案=4(-1=)3-(^1=)2. 9 分小巧 产2 卢2第4页(共8页)当t变化时,F(t)与尸’(c)的变化情况如下表：t(°4)16"(1+8)尸’3一0+F(。极小值-壶/故知”)在(。吊)内单调递减，在弓，+8)内单调递增•所以当”看■时,F3取得最小值，且最小值为一忐 12分，当4>0时,F(一)；XXX故力的取值范围是(-8,V解法二：(I)同解法一(H)当。=1时,&(%)=i--2X线的斜率都不小于K即对于任2 1丁g(%2)-g(%)=1--2+—•%2 %2于是问题转化为Aw氢与卫三-忘,当且仅当x=6时等号成立.81・ 13分+ 假设存在实数A,使得g(工)的图象上任意不同两点连X:意>0,都有4"配6— (*)X2fc2 1 ( 、12(阳+孙)1i一」一对于任意0〉盯>0恒成立. 8分TOC\o"1-5"\h\z又因为焉皿所以焉H焉）所以当4W-壶时,（*）成立. 11分以下证明当上,-壶时,g（*）的图象上存在不同两点连线的斜率小于k取孙=6,叼且取6）,加g（”2）-g（*i）2（/+x2）-4仔22（6+c）-6t_3-t则-f-= 弱=36? =9F-取-<自<0,且*o要证/4有空。且戾6的解,只需证盘<自，即证9媪2+1-3>0有空0且46的解. （**）设函数wQ）=9即2+-3,则夕Q）图象的对称轴为直线”一直,且-康>0，又•.•△=1+108A0>0,所以（**）成立.故当">-壶时,g（%）的图象上存在不同两点连线的斜率小于k综上京的取值范围是（-综上京的取值范围是（-8,-斋]. 13分5分5分.本题考查椭圆与抛物线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想及特殊与一般思想等.满分14分.TOC\o"1-5"\h\z解：（I）由已知得P（0/）・ 1分设椭圆E的方程为g+专=l（a>6>0）,则6=1, 2分abfa2=b2+c29 9ra=2,由T%,•・・椭圆E的方程为。+*=i. 3分（n）（i）依题意，点f’的坐标为（o,-i）,过点产’且与抛物线c相切的直线的斜率存在,设其方程为y=屈-1.由二4，二得％2-4h+4:0.[y-1令4=0得人±1.不妨设直线。4的方程分别为y=%-1和y=-x-1. 4 分又抛物线C在顶点处的切线4的方程为y=0. 理科数学试题答案第5页（共8页）

由得点4坐标为（1,0）,Ly=0TOC\o"1-5"\h\z由得点B坐标为（一1,0）. 6分ir=0设LABFf的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,A+D+F=0, fD=0,则l-D+F=0,解得E=0, ,.1-E+F=0,lF=-1.所以△加广的外接圆方程为？+/=1.故△ASP的外接圆过抛物线的焦点F. 7分（ii）命题:设厂为抛物线外一点,若过点厂作抛物线的两条切线1{4分别交抛物线的另一条切线％于43两点，则△谡/的外接圆过抛物线的焦点R 9分证明:不妨设抛物线方程为丫=2”4（i=1,2,3）分别与抛物线相切于点B（勺,％•）（i=1,2,3）.晨题意勺声2,%3中至少有两个不为o,不妨设七六0，3肛因为,•，故切线4的方程为y_力二亍"（zf）,i=l,2,3. 10分11分故4r的垂直平分线方程为当;巧二/+：+也）,8尸的垂直平分线方程为y-妇铲二-旨（，-止产）,它们的交点为爪5-零，宁产W. 12分又yF（0学）*尸的中点为N（色芳，/卫）， 13分“标 13分“标2%十”产2域T7> +%/42 %/2巧、小%-P? 阳%+孙％3 4/2+%2%FX.w=__(____)+- 4；—=——4;4_P2(%142+%2%3)4;4_P2(%142+%2%3)=0,理科数学试题答案第6页（共8页）所以falnm.故4F'BFMF的垂直平分线交于一点即P,4,8,F都在以M为圆心的圆上，也就是说的外接圆过点R 14分注：(i)若考生只改变点尸的位置，或切线％的位置，或抛物线c的开口大小三者之一，写出正确命题给1分,证明正确再给3分，共4分；(ii)若考生只改变点F'的位置，或切线13的位置，或抛物线c的开口大小三者之二，写出正确命题给1分,证明正确再给4分，共5分；(iii)若考生同时改变点尸的位置，切线13的位置，以及抛物线c的开口大小,但非一般性推广,如点尸'仍在y轴上，或抛物线C的方程非抛物线标准方程的一般形式等，按(ii)给分..(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思根满分7分.TOC\o"1-5"\h\z解：([)矩阵M=©，的特征多项式为f(A)= 八， 1分/./(A)=(A-2)(A-b)-2a=A2-(Z>+2)A+26-2a, 2分由已知九二-1,入2=4为/(入)=0的两根，-1+4=6+2, •I-1x4=26-2a, ‘力解得『二：’ 4分lb=1.(H)由(I)知股=任力,设直线4-2y-3=0上任意一点(孙y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是由(;h;i)c)=(2：：r)- 5分得广："=：'，解得"4 '代入得广："=：'，解得"4 '代入-2y-3=0得-%：3y_2x中-3=0,L2x+y=yt x-y 4 21/ 2，HP5xz-7/+12=0, 6分于是点(7,y'