非线性方程求根的迭代法

非线性方程求根的迭代法第一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二

本章重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.第二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二f(x)=0某个区间上可能有奇数重根或者有偶数重根，都可以转换为讨论单根的情形（具体数学细节不多加解释）。所以此节我们考察单根情形。第三页，共六十七页，编辑于2023年，星期二4.1二分法求非线性方程

确定方程的有根区间计算根的近似值的根的方法分为两步：第四页，共六十七页，编辑于2023年，星期二首先确定有限区间：依据零点定理。设，且，则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负，则此根唯一。第五页，共六十七页，编辑于2023年，星期二等步长扫描法求有根区间

用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h>0是给定的步长，取，若则扫描成功；否则令，继续上述方法，直到成功。如果则扫描失败。再将h缩小，继续以上步骤。第六页，共六十七页，编辑于2023年，星期二等步长扫描算法（了解）算法：（求方程的有根区间）(1)输入；(2)；(3)，若输出失败信息，停机。(4)若。输出，已算出方程的一个根，停机。第七页，共六十七页，编辑于2023年，星期二等步长扫描算法(5)若。输出为有根区间，停机(6)，转3）注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明：在内无根在内有偶重根第八页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Qustion:有没有更直观的方法呢？第九页，共六十七页，编辑于2023年，星期二二分法

用二分法(将区间对平分)求解。令若，则为有根区间，否则为有根区间记新的有根区间为，则且第十页，共六十七页，编辑于2023年，星期二二分法对重复上述做法得且

第十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二二分法设所求的根为，则即取为的近似解

第十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二二分法特点：（1）条件简单，只需要满足连续性即可。（2）收敛速度慢，精度要求比较高时，时间花费比较大。第十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题例1设方程

第十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期二4.2基本迭代法

迭代法及收敛性对于有时可以写成形式如：第十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期二迭代法及收敛性考察方程。不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得第十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期二迭代法及收敛性若收敛，即则得是的一个根第十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期二基本迭代法

上述方法称为基本迭代法将变为另一种等价形式。选取的某一近似值，则按递推关系产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。第十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期二

若收敛，即称迭代法收敛，否则称迭代法发散第十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期二迭代法的几何意义交点的横坐标y=x第二十页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题例试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。解：由建立迭代关系

k=10,1,2,3…….计算结果如下:第二十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二第二十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题精确到小数点后五位第二十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列第二十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期二下面考虑如下两个问题：

什么时候收敛？收敛速度怎么刻画？第二十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期二迭代法的收敛性定理（压缩映像原理）（了解）设迭代函数在闭区间上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即有且。第二十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期二压缩映像原理则在上存在唯一解，且对，由产生的序列收敛于。

第二十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期二关于压缩映像，教材上有另外一种形式Th4.2.1则基本迭代格式收敛的充要条件是：第二十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题例证明函数在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。证明：第二十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题

第三十页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题若取迭代函数，不满足压缩映像原理，故不能肯定收敛到方程的根。第三十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二简单迭代收敛情况的几何解释第三十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二是否取到合适的初值，是否构造合适的迭代格式，对于是否收敛是关键的。对于初值，实际操作时，可以先画出函数图形，然后，观察根大概在什么地方。对于迭代格式，可以对求导，看看是否小于1第三十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期二

迭代法收敛的阶定义设序列收敛到，若有实数和非零常数C，使得其中，，则称该序列是p

阶收敛的，第三十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期二迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p>1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。第三十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期二误差估计若满足定理条件，则

第三十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期二下面定理给出判别迭代收敛阶的一个方法第三十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期二定理：记是的根，，设在附近连续，若对，有则基本迭代法是P阶连续的。第三十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期二基本迭代法的matlab实现function[k,piancha,xk]=diedai1(x0,k)%输入的量--x0是初始值,k是迭代次数x(1)=x0;fori=1:kx(i+1)=fun1(x(i));%程序中调用的fun1.m为函数y=φ(x)piancha=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;xk=x(i);[(i-1)pianchaxk]endMatlab中与或非，分别是：&|~与或非第三十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期二if(piancha>1)&(k>3)disp('请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式')return;endif(piancha<0.001)&(k>3)disp('祝贺您！此迭代序列收敛，且收敛速度较快')return;endp=[(i-1)pianchaxk]';第四十页，共六十七页，编辑于2023年，星期二关于程序里面的fun1,可以如下类似定义functiony1=fun1(x)y1=(10-x^2)/2;第四十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二作业：

1.编程求方程在区间(1，2)内的实根。2.习题4.4（P104）

第四十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二4.3Newton迭代法设x*是方程f(x)=0的根，又x0

为x*附近的一个值，将f(x)在x0附近做泰勒展式令，则

第四十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton迭代法

即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：第四十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton迭代法

以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。第四十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton迭代法几何解释

几何意义第四十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题例用Newton法求的近似解。解：由零点定理。第四十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题第四十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例题例用Newton法计算。解：第四十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton迭代法算法第五十页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton迭代法收敛性定理4.3.1给定方程，若满足条件：（1）在根附近，f(x)二次连续可微。（2）则Newton迭代法是局部二阶收敛的。（即初值取根附近的值时，是二阶收敛的）第五十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二定理告诉我们：单根附近是二阶收敛的第五十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton法的matlab实现function[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;第五十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton法的matlab实现fori=1:gxmaxx(i+1)=x(i)-fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]if(abs(yk)<ftol)&((piancha<tol)|(xdpiancha<tol))k=i-1;xk=x(i);[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]return;endend第五十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期二Newton法的matlab实现

ifi>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。')k=i-1;xk=x(i);[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]return;end[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';第五十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期二重根情形Newton迭代重根时仅有线性收敛速度，经修改后可以有二阶收敛性。设重数为m.（1）m已知时，迭代公式修改为：第五十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期二（2）m未知时，在根的附近有单根，对构造newton迭代公式：

第五十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期二求重根的matlab实现（一）已知方程根的重数供名为newtonxz.m的M文件：function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=newtonxz(m,x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;fori=1:gxmaxx(i+1)=x(i)-m*fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];if((piancha<tol)|(xdpiancha<tol))&(abs(yk)<ftol)k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];return;endendifi>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.')k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];return;end第五十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期二求重根的matlab实现（二）未知方程根的重数function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=newtonxz1(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;fori=1:gxmaxu(i)=fnq(x(i))/dfnq(x(i));du(i)=1-fnq(x(i))*ddfnq(x(i))/((dfnq(x(i)))^2+eps);x(i+1)=x(i)-u(i)/du(i);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));if((piancha<tol)|(xdpiancha<tol))&(abs(yk)<ftol)k=i-1;xk=x(i);[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk]return;endendifi>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.')k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];return;end第五十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期二例用牛顿切线法求方程在附近的近似根，要求精度.解

在MATLAB工作窗口输入程序[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)>>[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)第六十页，共六十七页，编辑于2023年，星期二functionk=fnq(x)k=2*x^3-3*x^2+1;%计算x处的函数值第六十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期二functionk=dfnq(x)k=6*x^2-6*x;%计算x处的一阶导数值第六十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期二作业1：

求，要求精度为.要求（1）写出牛顿迭代格式，并分析其收敛速度（可仿照p97例4.3.1）（2）写出matlab实现程序（写清程序newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)中的各参数，另外自己写程序fnq,dfnq)作业2习题4.5习题4.8