中考数学复习精创专题-高频考点突破-二次函数与三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——二次函数与三角形1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点B的横坐标是8．（1）求这条直线AB的函数关系式及点A的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，写出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？3．如图所示，抛物线经过，，三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．设抛物线的顶点为P，连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）将绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM，DN，若，求点N的坐标（直接写出结果）．4．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E．（1）直接写出tan∠ABC的值；（2）点P在射线ED上，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）点M在线段BC下方的抛物线上，当△MBC为锐角三角形时，求M点横坐标的取值范围．5．如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点的坐标，并求出的面积；（3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求N点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式．（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标．（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，点D是线段BC的中点，点E、F分别是线段OB，OC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点E，F，使得DEF为等边三角形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当∠BFD的度数最大时，求tan∠OBF的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，其中A（–4，0），B（2，0），C（0，–4）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；（3）将沿直线BC平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，，，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，∆的面积最大，并求出其最大值；（3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与∆相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象经过点和点，与轴交于点，连接，，现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点，设动点、移动的时间为（单位：秒）．（1）求经过，，三点的二次函数解析式；（2）点、点在运动过程中，的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（3）当为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程．14．如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点作轴的垂线，交于点，判断是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标．15．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线对称轴上一动点，当是直角三角形时，请直接写出点的坐标；（3）若点为抛物线上的一个动点，将点绕原点旋转180°得到点．①当点落在该抛物线上时，求的值；②当点落在第二象限内且取得最小值时，求的值．16．如图，抛物线经过点，．（1）求抛物线与轴的另一个交点的坐标；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点是上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，交抛物线的对称轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是第二象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；（3）点是对称轴左侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为．例如：抛物线的“伴随直线”为，即．（1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为______，“伴随直线”为______．（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．①若为等腰三角形时，求a的值：②如果点是直线BC上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值2时，求a的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）y＝x＋；（2）3，（3）存在，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．【解析】试题解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣，∴y＝（x＋1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x＝4时，y＝．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y＝kx＋b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k＝，b＝．∴直线AE的解析式为y＝x＋．（2）设直线CE的解析式为y＝mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣＝，解得：m＝．∴直线CE的解析式为y＝x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2＋x．∴△EPC的面积＝×（x2＋x）×4＝﹣x2＋x．∴当x＝2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM＋MN＋NK有最小值，最小值＝GH．∴GH＝＝3.∴KM＋MN＋NK的最小值为3.（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG＝．∴当FG＝FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF＝GQ时，点F与点Q″关于y＝对称，∴点Q″（3，2）．当QG＝QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a＋＝，解得：a＝﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．2．（1）y＝x+4，A点的坐标为（﹣2，1）；（2）存在，点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）如图1，连接AC，BC，然后分若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2；若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2；若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN＝a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x＝，从而得到MN+3PM＝﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．【解析】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y＝×（﹣2）2＝1，A点的坐标为（﹣2，1），设直线的函数关系式为y＝kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得∴直线y＝x+4，∵直线与抛物线相交，∴x+4＝x2，解得：x＝﹣2或x＝8，当x＝8时，y＝16，∴点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，连接AC，BC，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2＝325．设点C（m，0），同理可得AC2＝（m+2）2+12＝m2+4m+5，BC2＝（m﹣8）2+162＝m2﹣16m+320，①若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2，即325+m2+4m+5＝m2﹣16m+320，解得：m＝﹣；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即325＝m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2，即m2+4m+5＝m2﹣16m+320+325，解得：m＝32；∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）设M（a，a2），P（x，）如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得又∵点P与点M纵坐标相同，∴∴，∴点P的横坐标为，∴MP＝a﹣，∴，又∵2≤6≤8，∴当，取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（1）；（2）存在，点Q的坐标为，，或；（3）点N的坐标为【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式，求出点的坐标；方法1，设点Q的坐标为，利用两点间距离公式，再利用全等的条件可转化为方程组，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明，设点M的坐标为，可得，，根据求出x的值，然后根据，可得结果．【解析】解：（1）设抛物线的表达式为，将点代入后，得，解得．∴抛物线的表达式为．（2）设直线BC的解析式为，由题意，得，解得．∴直线BC的解析式为．由抛物线的表达式，得顶点P的坐标为．当时，，∴点D的坐标为．方法1：设点Q的坐标为．∴，，，，．∵在和中，，若两个三角形全等，则有以下两种情况．①当，时，，，则，解得，．∴点Q的坐标为，．②当，时，，，则，解得，．∴点Q的坐标为，．综上所述，点Q的坐标为，，或．方法2：∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点F的坐标为，∴，，，，，．∴，．如图所示，分以下四种情况．①当在y轴上，且时，．此时的坐标为．②当在PD延长线上，且时，．∴此时的坐标为．③当在AD延长线上，且时，．连接，∵，∴．∴．此时的坐标为．④当且时，，同理可得，，∴的坐标为．综上所述，点Q的坐标为，，或．（3）如图所示，∵点D的坐标为，点B的坐标为，∴，．∴．∴为等边三角形．在和中，，∴．∴，，设点M的坐标为，∴．又∵，∴，即，解得（负值舍去）．∴，∴．∴点N的坐标为解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q的坐标为，利用两点间距离公式，再利用全等的条件可转化为方程组，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷．4．（1）1；（2）（1，4﹣2）；（3）大于1而小于．【分析】（1）利用抛物线的解析式求出A，B，C，D，E各点的坐标，进而得到线段OA，OB，OC，OE，DE的长度，在Rt△OBC中，利用直角三角形的边角关系可求得结论；（2）设点P的坐标为（1，n），过P作PH⊥CD于点H，因为⊙P与CD相切，则PH＝PA＝PB；由已知可得CF＝DF＝1，则∠CDF＝45°，于是可得△PHD为等腰直角三角形，PH＝；利用勾股定理列出关于n的方程，结论可求；（3）分点M在CD下方和点M在DB下方两种情况讨论，得出只有在BD下方时存在；设存在M′（m，m2﹣2m﹣3），使∠CM′B＝90°，利用勾股定理列出关于m的方程，求出m的值，M点横坐标的取值范围可得．【解析】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵D（1，﹣4）．∴OE＝1，DE＝4．令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0.解得：x1＝3，x2＝﹣1．∴A（﹣1，0），B（3，0）．∴OA＝1，0B＝3．∴在Rt△BCO中，tan∠ABC＝．故答案为：1．（2）P为圆心，过P作PH⊥CD于H，连接PA，过点C作CF⊥DE于F，如图，则EF＝OC＝3，CF＝OE＝1．∴DF＝DE﹣EF＝1．∴CF＝FD．∴△CDF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝∠FCD＝45°．∵PH⊥CD，∴△PHD为等腰直角三角形．∴PH＝PD．∵点P在对称轴x＝1上，∴设点P的坐标为（1，n）．则PE＝﹣n，∴PD＝DE﹣PE＝4﹣（﹣n）＝4＋n．∵PA2＝AE2＋PE2，∴PA2＝22＋（﹣n）2＝4＋n2∵以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，∴PA＝PH．∴．∴．解得：n＝4±（正数不合题意，舍去）．∴n＝4﹣2．∴P（1，4﹣2）．（3）∵M在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，∴设M（m，m2﹣2m﹣3）．∵点M在线段BC下方的抛物线上，∴0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0．由（2）知：∠DCG＝45°，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠BCD＝180°﹣45°﹣45°＝90°．由上图可知，当M在CD下方的抛物线上时，∠MCB＞90°，∴△MCB为钝角三角形．当M与D重合时，△MCB为直角三角形．∴若△MCB为锐角三角形，M应在直线DB下方的抛物线上．∴m＞1．∵∠BDC为锐角，∴当点M接近点B时，∠BMC将变为钝角．∴线段BD下方的抛物线上存在唯一的一个点M′，使∠BM′C＝90°（如上图）．即点M在D与M′之间时，△BCM为锐角三角形．过M′作M′F⊥OB于F，M′H⊥OC于H，则M′H＝m，CH＝OH﹣OC＝﹣m2＋2m＋3﹣3＝﹣m2＋2m．M′F＝﹣m2＋2m＋3，BF＝3﹣m．∴M′C2＝M′H2＋CH2＝m2＋（﹣m2＋2m）2，M′B2＝M′F2＋BF2＝（﹣m2＋2m＋3）2＋（3﹣m）2在Rt△M′BC中，∵M′B2＋M′C2＝BC2，∴m2＋（﹣m2＋2m）2＋（﹣m2＋2m＋3）2＋（3﹣m）2＝33＋32．整理得：m4﹣4m3＋2m2＋3m＝0．因式分解得：（m﹣3）（m2﹣m﹣1）＝0．∵0＜m＜3，∴m2﹣m﹣1＝0．解得：m＝或m＝（不合题意，舍去）．∴m＝．∴当△MBC为锐角三角形时，M点横坐标的取值范围为大于1而小于．【点评】本题主要考查了二次函数的解析式和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系。利用勾股定理列出方程是解决此类问题的重要方法．5．（1）；（2），3；（3）点坐标为或或或，见解析．【分析】（1）把把，代入抛物线，求解即可；（2）求得对称轴为，再根据点和点关于对称轴对称，即可求得点坐标，面积也可求解；（3）分别以点为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求或的长，即可求解．【解析】解：（1）把，代入抛物线中，得，解得，所以该抛物线表达式为；（2），抛物线对称轴为直线，点和点关于对称轴对称，点的坐标为，，又，；（3）以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点为直角顶点且在轴上方时，如图，，，在和中，，，，，；②以点为直角顶点且在轴下方时，如图，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：和，同理得，，，，；③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图，，，做辅助线，同理得，，，；④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图，做辅助线，同理得，，；⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上可知当为等腰直角三角形时点坐标为或或或．【点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数图像性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质并灵活运用．6．（1）a＝−；对称轴为直线x＝−2；A（−6，0）；（2）（−2，2）或（−2，4）或（−2，2）或（−2，−2）；（3）或【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，确定出点P'（n−2，2＋m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．【解析】解：（1）∵抛物线y＝a（x＋6）（x−2）过点C（0，2），∴2＝a（0＋6）（0−2），∴a＝−，∴抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2）＝−（x＋2）2＋，∴抛物线的对称轴为直线x＝−2；针对于抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2），令y＝0，则−（x＋6）（x−2）＝0，∴x＝2或x＝−6，∴A（−6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝−2，∴E（−2，0），∵C（0，2），∴OC＝OE＝2，∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，∵△CME是等腰三角形，∴①当ME＝MC时，∴∠ECM＝∠CED＝45°，∴∠CME＝90°，∴M（−2，2），②当CE＝CM时，∴MM1＝CM＝2，∴EM1＝4，∴M1（−2，4），③当EM＝CE时，∴EM2＝EM3＝2，∴M2（−2，−2），M3（−2，2），即满足条件的点M的坐标为（−2，2）或（−2，4）或（−2，2）或（−2，−2）；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2）＝−（x＋2）2＋，∴D（−2，），令y＝0，则（x＋6）（x−2）＝0，∴x＝−6或x＝2，∴点A（−6，0），设直线的解析式为，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝x＋4，过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，设点P（m，n），∴OQ＝m，PQ＝n，∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，∴点P'（n−2，2＋m），∵点P'在直线AD上，∴2＋m＝（n−2）＋4①，∵点P在抛物线上，∴n＝−（m＋6）（m−2）②，联立①②解得，m＝或，即点P的横坐标为或．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．7．（1）y＝x²+x+4；（2）存在，DEF为等边三角形时，E（，0），F（0，﹣2）；（3）tan∠OBF＝【分析】（1）将一般式配方成为顶点式，根据顶点的纵坐标为，列出方程，求出的值，即可求解；（2）延长至，使，连接，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，得到，再由中点求出，，则，求出，又由，则，可求，；（3）过的外接圆，当与轴相切时，切点为，此时最大，设的中点，则，，可证明，由，求出，则，，求出直线的解析式为，设，则，由，得到，再由，可求，则，即可求．【解析】解：（1）将抛物线化为顶点式：y＝ax²﹣2ax﹣3a，＝a（x﹣1）²﹣4a，∴﹣4a＝，∴a＝，∴抛物线的解析式：；（2）存在，理由如下：设E（a，0），F（0，b），令x＝0，则y＝4，∴C点坐标（0，4），令y＝0，则，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵D为BC的中点，∴D点坐标（，2），如图1，延长DE至G，使DE＝EG，连接FG，过点D作DM⊥y轴交于点M，过G点作GN⊥y轴交于点N，∵DEF是等边三角形，∴EF＝EG＝DF＝DE，∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠FEG＝120°，∴∠EFG＝30°，∴∠DFG＝90°，∵∠MFD+∠MDF＝90°，∠MFD+∠NFG＝90°，∴∠MDF＝∠NFG，∴FMD∽GNF，，，，∴，，，，，∵E点是DG的中点，∴G（2a﹣，﹣2），∴ON＝2，，，，，，，，，，为等边三角形时，，，；（3）如图2，过BDF的外接圆M，当⊙M与y轴相切时，切点为F，此时∠BFD最大，设的中点，则，，，∵OC＝4，BO＝3，∴CB＝5，∵∠COB＝∠BHG＝90°，∠CBO＝∠HBG，∴BOC∽BHG，，即，，，，设直线GH的解析式为y＝kx+b，则，，，设M（r，t），则F（0，t），∵FM＝MB＝r，∴r2＝t2+（3﹣r）2，∴t2＝6r﹣9，，，，，，，，．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等相关知识以及（2）中倍长线段、构造字型相似，（3）中构造的外接圆与轴相切时最大是解题的关键．8．（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．【解析】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），∴D（2，3），∵B（3，0），∴T（，），BD＝，∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝BD＝，∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，解得m＝1或2，∴P（1，1），或（1，2）．（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E．∵△BMN是等边三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°，∵∠NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝BN，∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN，∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ，∵∠BEN＝∠TJB＝90°，∴△BEN∽△TJB，∴＝，∴BJ＝t，TJ＝2，∴T（3＋t，2），∵NM＝MT，∴M（，），∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，∴＝﹣（）2＋2×＋3，整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0，解得t＝﹣2（舍弃）或，∴M（，）．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），则有＝﹣（）2＋2×＋3，整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，解得n＝或（舍去），∴M（，），综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）．【点评】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．9．（1）；（2）P（-2，-4）；（3）O1′（-4，-8），O2′(，)，O3′(，)，O4′(，)．【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）根据题意利用PD⊥AC用含x的代数式表达PE的长度，当m=−=−2时，PE最大，此时PD最大，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标即可；（3）根据题意利用菱形的性质求出点O'的坐标即可．【解析】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），∵抛物线过C（0，-4），∴-8a=-4，∴a=，∴此抛物线解析式为y=x2+x−4；（2）过点P作PE∥y轴交AC于点E，如下图所示，∵A（-4，0），C（0，-4），∴AC解析式为y=-x-4，设P（m，m2+m-4），E（m，-m-4），则PE=yE−yp=−m2−2m，∵a=−＜0，−4＜m＜0，∴当m=−=−2时，PE最大，此时PD最大，∴P（-2，-4）；（3）∵A（-4，0），B（2，0），C（0，-4），∴BC解析式为y=2x-4，∵将△BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为△B'O'C'，∴点O'沿直线y=2x平移，设O′（a，2a），∴AC2=32，CO'2=5a2+16a+16，AO'2=5a2+8a+16，①CA2=CO′2即5a2+16a+16=32，∴a1=−4，a2=，∴O1′（-4，-8），O2′(，)，②AC2=AO′2即5a2+8a+16=32，∴a=，∴O3′(，)，O4′(，)，③CO'2=AO'2即5a2+8a+16=5a2+16a+16，∴a=0，∴O5′（0，0）（舍），综上所述，满足条件的点O'坐标有O1′（-4，-8），O2′(，)，O3′(，)，O4′(，)．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．10．（1），；（2）当时，△的面积最大，最大面积为18；（3）点坐标为（0，4）或（0，10）．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△APC的面积＝S△PHA＋S△PHC，即可求解；（3）分∠BM′C为直角、∠BCM为直角两种情况，利用数形几何即可求解．【解析】（1）已知直线：，令x＝0，则y＝−2，令y＝x−2＝0，解得x＝2，，点在直线上，，故点，将点的坐标代入得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为（a，a2−5a−2），则点H（a，a−2），则△APC的面积＝S△PHA＋S△PHC＝×PH×（xC−xA）＝×（a−2−a2＋5a＋2）×（6−2）＝−2a2＋12a，∵−2＜0，故△APC的面积存在最大值，当a＝3时，△APC的面积的最大值为18；（3）存在，理由：由点A、B的坐标知，△ABO为等腰直角三角形，如图：当△BMC与△BAO相似时，则△BMC为等腰直角三角形，①当∠BM′C为直角时，则点M′的纵坐标与点C的纵坐标相同，故点M′（0，4）；②当∠BCM为直角时，则点M′是BM的中点，故点M（0，10）；故点M的坐标为（0，4）或（0，10）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．11．（1）；m=2；（2）存在，或；（3）【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值；（2）先求出E（-5，12），过点E作EP⊥y轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解；（3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，在中和中分别求出EF，，进而即可求解．【解析】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线，∴A（1，0），设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，∴二次函数解析式为：y=(x-1)(x+3)，即：，∵直线y＝－2x＋m经过点A，∴0=-2×1+m，解得：m=2；（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2，又∵直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E，∴当x=0时，y=2，即D（0，2），联立，解得：，，∵点E在第二象限，∴E（-5，12），过点E作EP⊥y轴于点P，∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°，∴，∴P（0，12）；过点E作，交y轴于点，可得，∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°，∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE，∴，即：，解得：，∴（0，14.5），综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）∵点E、F均为定点，∴线段EF长为定值，∵MN=2，∴当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，由作图可知：，又∵三点共线，∴EM+FN=，此时，EM+FN的值最小，∵点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点，∴F（-1，4），∴（-3，4），又∵E（-5，12），∴（-5，-10），延长F交线段E于点W，∵F与直线y=1平行，∴FW⊥E，∵在中，由勾股定理得：EF=，在中，由勾股定理得：=，∴四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=．【点评】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．12．（1）（2）①9；②或．【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．【解析】解：（1）令x=0，得令得，（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得设即DE+BF的最大值为9；②点G是AC的中点，在中，即为等腰三角形，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，则①又，或经检验：不符合题意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合题意，舍去，综上所述，或．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．13．（1）；（2）的面积总为定值为90；（3）当时，为等腰三角形，过程见解析【分析】（1）将，代入中，列方程组求出参数值即可．（2）根据，分析得出相关数值，再根据，代入求值即可．（3）为等腰三角形时，分三种情况讨论，同时根据两点之间距离公式列相关等量关系求解即可．【解析】解：（1）将，代入中，得：解得：∴函数解析式为．（2）设点运动了秒，则，，且，说明点在线段上，且不与点，重合，∵，∴，同理：，∴，即，∴．∴，∴，∴的面积总为定值为90．（3）设点运动了秒，则，，，且，∴，，，①，则，解得，（不合题意，舍去），②若，则，解得（不合题意，舍去），③若，则，解得（均不合题意，舍去），综上所述，当时，为等腰三角形．【点评】本题考查的二次函数综合，涉及到两点之间距离公式运算，待定系数法求二次函数解析式，以及三角形面积的含参计算等，平行线分线段成比例等相关知识，能够数形结合找见相关的等量是解题关键．14．（1）；（2）存在，点的坐标为或；（3）面积的最大值是8，点的坐标是．【分析】（1）运用待定系数法直接求解即可；（2）分两种情况讨论：①时，列方程求解即可；②，过点作轴，垂足为，证明即可得解；（3）根据对称性求出点C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，设点，，求出PN的长，运用面积法得到n的二次函数关系式，配方求解即可．【解析】解：（1）∵抛物线经过点，，∴把点，代入解析式得：解得，所以，二次函数的解析式为：（2）设∵△BPQ是直角三角形，，∴分两种情况讨论：①当时，则有轴，如图①∴点P的纵坐标为2∴解得：，（舍）或，∴．②当时，过点作轴，垂足为，如图②，则∠PBM+∠BPM=90︒，PM=m，BM=∵∠PBQ=90︒∴∠PBM+∠OBA=90︒∴∠OBA=∠BPM∴，∴即，解得：（舍）或∴，综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点的坐标为或（3）设的延长线交与点∵，点与点关于轴对称，∴设直线的表达式为：，把A，代入得：解得，∴直线的表达式为：设点，则，∴∴∵，有最大值，且，∴当时，的面积最大，最大面积是8．此时，．综上所述，面积的最大值是8，点的坐标是．【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，利用面积公式得出二次函数是解（3）的关键．15．（1）；（2），，或；（3）①；②【分析】（1）根据题意，利用待定系数法解题；（2）分三种情况讨论是直角三角形，当时，当时或当时，再利用勾股定理解题；（3）①根据中心对称性质得，由点落在第二象限内解得n与m的关系式，由点落在该抛物线上，代入解析式中即可解题；②再计算AF的长，利用配方法，得到取得最小值时n的值，代入n与m的关系式，解一元二次方程即可．【解析】（1）根据题意，把、代入二次函数，得：解得：所以二次函数表达式为；（2）如右下图，，，或，理由如下：二次函数表达式为的对称轴为，设点，令，得，，，当时，当时当时或或，综上所述，，，或；（3）①由在抛物线上可得，∵点与关于原点对称，∴，由在抛物线上可得，∴解得，②由题意可知在第二象限，∴，，即，，∵抛物线的顶点坐标为，∴，∵在抛物线上，∴，∴，∵，，∴∴当时，有最小值，即取得最小值，∴，解得或，∵，∴（不合题意，应舍去），∴的值为．【点评】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形的判断与性质、勾股定理、解一元二次方程、二次函数的最值等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．16．（1）点的坐标为；（2）存在，点的坐标为；（3）在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或．【分析】(1)根据函数的对称性即可求解；(2)A、B两点关于对称轴对轴，连接BC交对称轴于点P，则P点即为所求，进而求解；(3)分和两种情况，设出M点坐标或CM的长，再根据三角形相似可得到方程，可求得M点坐标．【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且此抛物线与轴相交于点和点，∴，∴点的坐标为．（2）存在．理由：连接，交直线于点（如图1），∵抛物线经过点，∴A、B关于对称轴对称,∴，∴四边形的周长最小为：，设直线解析式为∵，，设直线BC解析式为，把B、C两点坐标代入可得，解得，∴直线的解析式为，由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为，当时，，∴点的坐标为．（3）存在，理由：①当