中考数学精创专题-高频考点突破-反比例函数与四边形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形1．如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图像上，所在直线的解析式为，其中点，．(1)求的值；(2)将沿着轴正方向平移个单位长度得到，边与反比例函数的图像交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形．2．如图，在中，顶点的坐标是．轴，一次函数与反比例函数的图象都经过、两点．(1)求的值；(2)求平行四边形的面积．3．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点和是反比例图像上的两点，其中，，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为、．当时，请判断四边形的形状，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，连接．(1)求k的值．(2)若D为中点，求四边形的面积．5．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点．(1)求的值；(2)若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况．6．如图，反比例函数的图象上两点P，R，O为坐标原点，连接且，x轴正半轴点，轴，轴，两垂线交于点B，连接，过R点作x轴的平行线交于点N，连接．(1)求证，四边形是矩形；(2)求证：．7．如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象交于点A，交于点B.若四边形的面积为12.(1)求k的值；(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.8．如图，已知点在双曲线上，点、在双曲线上，轴．(1)当，，时，求此时点的坐标；(2)若点、关于原点对称，试判断四边形的形状，并说明理由9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在反比例函数的图像上．(1)求k的值；(2)过点A作轴于点B，轴于点C，点D在第四象限的函数图像上，连接OD、CD，若，求点D的坐标．10．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．(1)求反比例函数的关系式；（提示：过点作轴的垂线段）(2)将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上．11．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立．【数学认识】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则，只有当时，有最小值(1)【解决问题】若时，有最小值为___________，此时x＝___________(2)如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，过点A作AD上y轴于点D，过点B作BC上y轴于点C，求四边形ABCD周长的最小值．12．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，连接、．(1)求反比例函数（）的表达式；(2)求△的面积；(3)点为坐标轴上一点，点为的图像上一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．14．如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．(1)①写出点B的坐标．②求证：四边形是平行四边形．(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．15．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点，分别连接，．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标为____________，当，则自变量的取值范围是______________；(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，在直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数（k＞0）经过点P，反比例函数的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y（k＞0）的表达式；(2)在（1）的条件下，当∠DPG＝30°时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当DM⊥MC时，请写出MG与CD的数量关系，并说明理由．17．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．(1)求双曲线的表达式；(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值；(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．18．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．(1)求点的坐标和反比例函数的关系式；(2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求值．(3)在（2）的条件下，坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)【分析】（1）由待定系数法求得所在直线的解析式为，进而求出点的坐标，即可求出的值；（2）由于，故当时，四边形是平行四边形，由题意可得点的横坐标为，得到点的纵坐标，由，解方程即可求得．【解析】（1）解：∵直线：经过点，∴，∴，∴所在直线的解析式为，∵，，∴当时，，∴，，∵点在反比例函数第一象限的图像上，∴，∴的值为．（2）当时，，∴，，∵沿着轴正方向平移个单位长度得到，∴，，，∴当时，四边形是平行四边形，由（1）得反比例函数的解析式为，由题意可得点的横坐标为，∴点的纵坐标，∴，解得：，且符合题意；∴当为时，四边形是平行四边形．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的判定．正确地作出图形是解题的关键．2．(1)；(2)6；【分析】（1）根据点的纵坐标为1，可得点的坐标，代入反比例函数解析式即可；（2）把代入一次函数，解方程可得点的坐标，从而得出的坐标是及的长，再由题意，求出，即可得出答案．【解析】（1）解：∵点的坐标是，轴，∴点D的纵坐标为1．∵一次函数图象经过两点，∴令，解得．∴，将点代入反比例函数，得∴．（2）由题意，把代入一次函数，得，∴．∵四边形平行四边形，∴的坐标是．由（1）的坐标是，，∴．∴平行四边形的面积等于．【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键．3．(1)，(2)四边形是矩形，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意，，，利用待定系数法结合已知可证得，进而证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判断可得结论．【解析】（1）解：将、代入中，得，解得，，∴，，故反比例函数为；将、代入中，得，解得，故一次函数的表达式为；（2）解：四边形的是矩形．理由：由题意，，，，，如图，设直线的表达式为，则，解得，∵，∴，则，∴，∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形的是矩形．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、平行四边形和矩形的判定、不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题以及矩形的判定，证得是解答的关键．4．(1)8(2)10【分析】（1）将代入，计算求解即可；（2）由题意知，反比例函数解析式为，，将代入，可得，进而可得点B的坐标，然后根据计算求解即可．【解析】（1）解：将代入得，解得，∴k的值为8；（2）解：∵k的值为8，∴反比例函数解析式为，∵D为中点，，∴，∴将代入，可得，∴点B的坐标为，∴，∴四边形的面积为10．【点评】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于确定反比例函数解析式．5．(1)(2)随的增大而减小【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出值即可；（2）利用梯形的面积公式求出与的关系式，再进行分析即可．【解析】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，当时，；当时，，，．为线段的中点，，反比例函数的图象过点，；（2）点是反比例函数的图象上一个动点，设，，设，则，随的增大而减小，在中，，时，随的增大而增大，随的增大而减小．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，是解题的关键．6．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用坐标的特点和反比例函数的解析式即可得出结论；（2）先判断出，是矩形的对角线，设与交于点S，进而得出，再由即可得出，即：，最后代换即可得出结论．【解析】（1）设点B的坐标为，∴直线的解析式为：，∵轴，轴，点P，R在反比例函数图象上，∴，，∵轴，∵，∴轴，∴，∴四边形是矩形．（2）由（1）四边形是矩形，设，交于点S，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【点评】此题主要考查了反比例函数解析式，待定系数法，矩形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键由点B的坐标表达点N的坐标．7．(1)(2)或【分析】（1）根据题意及反比例函数得出，，结合图象得，代入求解即可；（2）根据（1）中结论确定，结合函数图象即可得出不等式的解集．【解析】（1）解：点，点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数得，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即，，，即，，解得：；（2）由（1）得，∴反比例函数的解析式为，∴，连接并双向延长，根据图象得不等式的解集为或．【点评】题目主要考查反比例函数的几何意义，确定反比例函数的解析式及与一次函数的交点与不等式问题，理解题意，确定反比例函数的解析式是解题关键．8．(1)(2)四边形是平行四边形，理由见解析【分析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，根据构建方程即可解决问题；（2）只要证明，即可解决问题．【解析】（1）解：，，，，设点的坐标为，则点的坐标为，由得：，解得：，此时点的坐标为．（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：设点的坐标为．点、关于原点对称，点的坐标为，轴，且点、在双曲线上，点，点，，，，又，四边形是平行四边形．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9．(1)(2)【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可得到答案；（2）设，可得，再利用面积建立方程，从而可得答案．【解析】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，∴，（2）∵点在反比例函数的图像上，∴，∵在反比例函数上，设，∴，∴，解得：，∴．【点评】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，坐标与图形面积，熟练的利用面积建立方程求解是解本题的关键．10．(1)(2)【分析】（1）过点作轴的垂线段，垂足为，证明，得出的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点横坐标，根据平移的性质解答；【解析】（1）解：如图，过点作轴的垂线段，垂足为，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∵，，∴，∴；将点代入，得，∴反比例函数解析式为；（2）解：如图，过点作轴于，同理可得，∴，则∴，∵反比例函数解析式为；∴当时，，∴向左平移2个单位得到，点恰好落在反比例函数的图象上．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质是解题的关键．11．(1)；(2)【分析】（1）由，可得，再求出方程的解；（2）设点，则，表示周长利用求解；【解析】（1）解：由题意得：，即，当时，等号成立，所以最小值为，解，，，，经检验，是原分式方程的解故答案为：；．（2）解：设，则，∴四边形ABCD周长，，∴四边形ABCD周长的最小值为．【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用，理解在(均为正实数)中，若为定值，则，只有当时，有最小值是关键．12．(1)D，反比例函数表达式为y＝(2)E，DE∥AC，理由见解析(3)点G的坐标为或都在反比例函数图象上【分析】（1）根据B，则BC＝2，而BD＝，则CD＝，故点D=，将D点代入函数解析式中可得到系数的值．当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D，点E，点B，可知BD＝，BE＝，则，，即可证明平行；（3）根据题意可分为两种情况（1）点F在点C的下方,（2）点F在点C的上方，分别讨论其两种情况即可．（1）解：（1）∵B，则BC＝2，而BD＝，∴CD＝，故点D，将点D的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝，当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D，点E，点B，则BD＝，BE＝，故，∴DE∥AC；（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，过点F作FH⊥y轴于点H，∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝，则tan∠OCA＝，故∠OCA＝30°，则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），当x＝3时，y＝，故点G在反比例函数图象上；②当点F在点C的上方时，同理可得，点G（1，3），同理可得，点G在反比例函数图象上；综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．【点评】本题考查反比例函数的图象和解析式，菱形的存在性问题，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．13．(1)(2)(3)，，，．【分析】(1)根据一次函数求出A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可解决问题；(2)把点代入反比例函数中求出点B坐标，根据计算即可；(3)分四种情况：正确画图，根据平行四边形的性质和反比例函数上点的坐标可解答．【解析】（1）∵点在一次函数的图像上，∴，∴，∵在反比例函数的图像上，把代入，得，得，∴反比例函数的解析式是．（2）∵点在反比例函数的图像上，∴，即，∴，令，得，，∴，．（3）①如图，四边形是平行四边形，轴，，，，，．②如图，四边形是平行四边形，．③如图，四边形是平行四边形，，，，．④如图，四边形是平行四边形，同理得：，．综上，点N的坐标为或或或．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．(1)；证明见解析(2)(3)或或【分析】（1）①根据反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；②根据中心对称的性质可得OA＝OB，OC＝OD，从而证明结论；（2）根据矩形的性质可知CD＝AB，则OC＝OB，求出OB的长，即可得出答案；（3）分点A为中点，C为中点，E为中点，分别画出图形，利用三角形中位线定理可得OE和AD的长，从而解决问题．【解析】（1）解：（1）①∵正比例函数与反比例函数的图象于点，B两点，∴点A、B关于原点对称，∴；②∵点A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵点D与点C关于y轴对称，∴OC＝OD，∴四边形ACBD是平行四边形；（2）当四边形ACBD是矩形时，则CD＝AB，∴OC＝OB，∵，∴，∴，∴；（3）当点E为AC的中点时，则AE＝CE，作AH⊥x轴于H，∴，∴，∵，∴点D与H重合，∴，∴，当点A为CE的中点时，如图，则，同理可得，∴，∵四边形ACBD是平行四边形，∴，∴，∴，当点C为AE的中点时，，则，，由勾股定理得，∴，综上：或或．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握反比例函数图象是中心对称图形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．15．(1)(2)，或(3)存在，【分析】（1）将点，代入一次函数解析式求得，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标，结合函数图像的交点坐标，即可求得自变量的取值范围；（3）根据对称性可得，则在的上方，找到关于的对称点，根据中点坐标公式即可求解．【解析】（1）∵一次函数经过点，∴，∴．∴．∵反比例函数经过点，∴，∴反比例函数的解析式为，（2）如图，过点分别作轴的垂线，交于点，与关于轴对称，关于轴对称，，设，则，在上，，，解得，，，，当，则自变量的取值范围是或．（3）存在，．如图，连接交于点，四边形是菱形，，由（2）可知在上，设，，，，解得，．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．16．(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设GN＝x，则GM＝x，再根据S△PCD＝S△PDG＋S△PCG得出x的值，然后计算G点坐标即可；（3）设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），求出直线OP和直线CD的解析式，根据G点是直线CD和直线OP的交点得出G点坐标，根据G点是CD的中点，即可得出MG＝CD．【解析】（1）解：∵点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，四边形OAPB是矩形，∴P（6，3），∵反比例函数y（k＞0）经过点P，∴k＝6×3＝18，∴反比例函数y的解析式为y；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设MG＝x，∵∠DPG＝30°，∴GN＝MP＝＝x，由（1）知P（6，3），又∵反比例函数y＝的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，∴C（6，1），D（2，3），∴PD＝6−2＝4，PC＝3−1＝2，∵S△PCD＝S△PDG＋S△PCG，∴PD•PC＝PD•MG＋PC•GN，即×4×2＝×4x＋×2×x，解得x＝8−4，∴MG＝8−4，GN＝8−12，即G（18−8，4−5）；（3）MG＝CD，理由如下：设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），设直线OP的解析式为y＝rx，代入P点坐标得＝ra，∴r＝，即直线OP的解析式为y＝x，即直线CD的解析式为y＝sx＋t，代入C点和D点的解析式得：，解得：，即直线CD的解析式为y＝x＋，∵点G是直线OP和直线CD的交点，∴x＝x＋，解得x＝，∴G（，），∵D（，），C（a，），∴线段CD的中点坐标为（，），∴点G是线段CD的中点，又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．【点评】本题主要考查反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质、一次函数的性质等知识是解题的关键．17．(1)双曲线的表达式为y＝(2)AP＋PQ的最小值为(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（－3，0）或（3，0）或（－1，）或【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；（2）作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，分别求出A′P和PQ的值即可；（3）分三种情形：①当∠BAM=90°时．②当∠ABM=90°时．③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（-，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．（1）∵直线y=x+1经过点A（a，2），∴2=a+1，∴a=1，∴A（1，2），∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k=2，∴双曲线的表达式为y＝．（2）如图，作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q．∵A（1，2），∴AK＝A′K＝1，OK＝2，∠AKP＝∠A′KP＝90°．∵将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，∴直线l的表达式为y＝x，∴∠POQ＝45°，∴∠OPQ＝45°，∴∠A′PK＝∠KA′P＝45°，∴A′K＝PK＝1，∴A′P＝，OP＝OK－PK＝1．∵∠POQ＝45°，∴PQ＝OQ，PQ2＋OQ2＝OP2，∴PQ＝，∴A′Q＝A′P＋PQ＝＋＝．∴AP＋PQ的最小值为．（3）如图2中，设直线y＝x＋1交y轴于点E，交x轴于点F，对于y＝x＋1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1，∵E（0，1），F（-1，0），∴OE=OF=1，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE=∠OEF=45°．由，解得或，∴B（-2，-1）；①当∠BAM=90°时，则∠AEM1=∠OEF=45°，∴AM1=AE．∵A（1，2），E（0，1），∴AE=∴EM1=，∴OM1=1+2=3，∴M1（0，3），∴M1可看作由A向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，∵B（-2，-1），∴N1（-3，0）；②当∠ABM=90°时，同理可求M2（0，-3），N2（3，0）；③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，∵