2020北京昌平初二（上）期末数学（教师版）

2020北京昌平初二（上）期末

数学

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.若分式但的值等于0,则“的值为（）

a

A.-1B.1C.-2D.2

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是

A.x+5y=2B.x2+5=2xc.3x2+X-5=3%2D.-+3x=7

X

3.下列二次根式中，与6是同类二次根式的是（)

A.瓜B.79c.V12D.V18

4.下列各式正确的是

2

aabQQ+Caaa_a

A•厂瓦B.c.D.

bb+c厂记bab

5.袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有1052,15cm,20cm和25c”四种规格，小朦同学已经

取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

A.\0cmB.15cmC.20c/??D.25cm

6.正方体的体积为7,则正方体的棱长为（）

C.1

A.币B.V7D.73

3

7.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的短直角边和含45。角的三角板的一条直角边重合，则N1的度

数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.如果正整数。、b、C满足等式°2+〃=。2,那么正整数4、虫C叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列

成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）

abc

345

8610

15817

241026

Xy65

A47B.62C.79D.98

二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）

9.若代数式K1在实数范围内有意义，则x取值范围是.

10.如果一元二次方程x2-3kx+k=0的一个根为x=-1,则k的值为.

11.如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的

数学道理是.

12.等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,则底边长为cm.

13.如果一个无理数a与血的积是一个有理数，写出a的一个值是.

14.已知x,y是实数，且满足y=Jx-2+,2一x+'，则五•方的值是.

O

15.如图，已知点D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点，BC=6,点F是AD边上的动点，贝ijBF+EF

的最小值为.

16.比较大小：（1）265；（2）V6+V72&+布・

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7

分，共68分）

17.计算：V12-^-7（-2）2+|X/3-1|.

18.解方程/+以-5=0

/b2

19.计算:----------1----------

a-bb-a

X3

20.解方程：-------3—=1

x-3X2-9

21.已知：如图，E是BC上一点，AB=EC,AB//CD,BC=CD.求证：AC=ED.

22.己知关于x的一元二次方程2/一=0.

(1)当加=0时，求方程的根;

(2)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

23.(1)在如下6x6正方形网格中(每个小正方形边长均为1),画出一个面积为17的正方形;

(2)在如图所示的数轴上找到表示-火的点A(保留画图痕迹).

-5-4-3-Q-1012345

Y—+1I---4]।

24.先化简—一+,二+一,再从-2、-1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值.

Ix-xx~+2xJX

25.如图，已知线段。和/E4F,点3在射线4E上.在/E4F中画出△ABC,使点C在射线AF上，S.BC=a.

(1)依题意将图补充完整；

(2)如果NA=45。，A8=4后，BC=5,求△ABC的面积.

26.“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》(四书)及《诗经》、

《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》(五经)的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国

古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买

《论语》和《孟子》供学生阅读.已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟

子》的单价比《论语》的单价少15元.求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？

27.如图，将AABC分别沿AB,AC翻折得到4ABD和△AEC,线段BD与AE交于点F,连接BE.

(1)如果NABC=16。，ZACB=30°,求NDAE的度数；

(2)如果BDLCE,求/CAB的度数.

28.在同一平面内，若点P与AABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△

ABC的巧妙点.

(1)如图1,求作AABC的巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).

(2)如图2,在AABC中，NA=80。，AB=AC,求作AABC的所有巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕

迹)，并直接写出/BPC的度数是一.

图2

(3)等边三角形巧妙点的个数有()

A.2B.6C.10D.12

参考答案

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.若分式"'的值等于0,则“的值为（）

a

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【详解】由题意得：a+1=0且a#）,解得：a=-l,

故选A.

【点睛】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是要熟记分式值为。时，分子为0且分母不为0.

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是

3_

A.x+5y=2B.x?+5=2xC.3x2+x—5=3x2D.—\-3>x=l

x

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义注意判断即可.

【详解】解：A、x+5y=2是二元一次方程，故A选项错误；

B、/+5=2x是一元二次方程，故B选项正确；

C、3/+工一5=3/整理得：》一5=0是一元一次方程，故C选项错误；

3

D、一+3x=7是分式方程，故D选项错误；

x

故选：B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义：：①整式方程；②方

程中只含有一个未知数；③方程中未知数的最高次数为2.

3.下列二次根式中，与e是同类二次根式的是（）

A.瓜B.V9C.V12D.V18

【答案】C

【解析】

【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可.

【详解】A.#与6的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

B.百=3,与且不是同类二次根式；

C.V12=273，与6被开方数相同，故是同类二次根式；

D.V18=3A/2，与百被开方数不同，故不是同类二次根式.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定

义判断解题是求解的关键.

4.下列各式正确的是

9

Aaab+c-。矿

A.­=rB.—=-------C.—=--D心监

bb-bb+cbb~bab

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式的定义与性质逐一判断即可.

aab

【详解】解：A、成立的前提是bHO,由分式的定义即可判断故A选项正确;

B、,故B选项错误:

bb+c

2

C、巴大故C选项错误；

bb1

D、0=£成立的前提是a/0,在该选项中无法判断a是否等于0,故D选项错误:

bah

故选：A

【点睛】不呢提主要考查分式的定义与性质，解题的关键是熟练掌握分式的定义和分式的性质：分式的分子和分母

同时乘以或者除以一个不为0的数，分式的大小不变.

5.袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm,15c〃?，20。"和25aw四种规格，小朦同学已经

取了lOcrc和15。"两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

■.

A.10cmB.15c/nC.20cmD.25cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解.

【详解】设三角形第三边长为x,即15-10<%<10+15

/.5<x<25

选项A,B,C,不符合题意，D符合题意.

故答案选D

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键.

6.正方体的体积为7,则正方体的棱长为（）

7

A.不B.V7C.-D.73

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方体的体积公式得：正方体的体积=棱长3,那么棱长=#正方体的体积,代入数据计算即可.

【详解】解：•••根据正方体的体积公式得：正方体的体积=棱长3,

棱长=♦正方体的体积,即棱长=V7-

故选：B.

【点睛】本题主要考查立方根的相关知识，解题的关键是熟练的掌握正方体的面积公式，再根据公式变换表示出棱

长即可.

7.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的短直角边和含45。角的三角板的一条直角边重合，则Z1的度

数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形的外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解.

【详解】解：由题意得：

N5=3O。，N4=N3=N2=45°,

Zl=Z4+Z5=45o+30°=75°；

【点睛】本题主要考查三角形外角及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键.

8.如果正整数4、b、C满足等式。2+〃2=。2,那么正整数“、b、C叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列

成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）

abc

345

8610

15817

241026

Xy65

A.47B.62C.79D.98

【答案】C

【解析】

【分析】依据每列数的规律，即可得到。=〃2-1力=2〃,c=/+i,进而得出x+y的值.

【详解】解：由题可得：3=22-1,4=2x2,5=22+1

a=n2—\,b=n2,c=n2+\

当C="2+I=65,〃=8

/.x=63,y=16

：.x+y=79

故选：C

【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.

二、填空题(共8道小题，每小题2分，共16分)

9.若代数式K1在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】x>\

【解析】

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

【详解】解：万在实数范围内有意义，

.\x-l>0,

解得应1.

故答案为：X>\.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

10.如果一元二次方程x2-3kx+k=0的一个根为x=-1,则k的值为.

【答案】.

4

【解析】

【分析】乂2-31«+1<=()的一个根是》=—1，那么就可以把x=—l代入方程，从而可直接求k.

【详解】解：把x=T代入x2-3kx+k=0中得：

(-l『+3k+k=0,

解得％=一_1,

4

故答案为：.

4

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系.

11.如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带块(填序号)能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的

数学道理是.

【答案】①.②，(2).ASA

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定方法，选出一块符合三角形全等的即可.

【详解】解：观察可知，只有②有完整的两个角与一条边，可以根据“角边角''配出一块全等的三角形,

故是带②去，全等的依据是ASA.

故答案为：②；ASA

【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

12.等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,则底边长为cm.

【答案】6或8

【解析】

【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解.

【详解】解：①6cm是底边时，腰长=gx(20-6)=7cm,

此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm,

能组成三角形，

②6cm是腰长时，底边=20-6x2=8cm,

此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm,

能组成三角形，

综上所述，底边长为6或8cm.

故答案为6或8.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论.

13.如果一个无理数a与瓜的积是一个有理数，写出a的一个值是.

【答案】、反(答案不唯一)

【解析】

【分析】瓜=2脏，一个无理数a与2加的积是有理数，那么即可判断。与五是同类二次根式，即可写出。的

值，答案不唯一.

【详解】解：•.•曲=2夜，

二由题意得一个无理数a与2母的积是有理数，

••力与血是同类二次根式，答案不唯一.

故答案为：V2（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同

类二次根式的积为有理数即可.

14.已知x,y是实数，且满足y=Jx-2+j2-x，则五的值是.

O

【答案】I

【解析】

x—•220।—1—

【分析】根据二次根式的定义可得解得：x=2,即可求出y的值，即可求出的值.

x—220

【详解】解：•.•由二次根式的定义得八，解得：x=2,

2-x>0

【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式

的乘除的运算法则即可.

15.如图，已知点D,E分别是等边三角形ABC中BC,AB边中点，BC=6,点F是AD边上的动点，则BF+EF

的最小值为.

【答案】373.

【解析】

【分析】连接CE交AD于F,连接BF,则3尸+所最小，再根据等边三角形的性质求出EC的长即可.

【详解】解：连接CE交AD于F,连接BF,则BE+砂最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最

短）

•..三角形ABC为等边三角形，且D为BC边的中点，

BD=CD

在△ABD与AACD中：\AD^AD,/\ABD^ACD.

AB=AC

，ZADB=ZADC=90°，即AD为BC的垂直平分线，

AC和B关于AD对称，则BF=CF,

BF+EF=FC+EF=EC,

同理可得：AACE^ABCE

CE_LAB,AE=BE=—AB=3

2

...在R/AAEC中由勾股定理得：CE7A。-AE。=旧-32=3后

故答案为：3百.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全

等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.

16.比较大小：⑴265；(2)V6+V72亚+芯.

【答案】①②.>

【解析】

【分析】(1)首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出2指与5的大小关

系.

(2)首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出卡+行与2加+店的大小

关系.

【详解】解：(1)仅旬:24,52=25，

；24<25,

••-2A/6<5.

(2)(76+V7)2=13+2742,(20+可=13+4可，

V2>/42=V168-4V10=V160-7168>7160.

，13+2屈＞13+4加

，舟"＞2&+石.

故答案为：＜；＞.

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每个数的平方的大小.

三、解答题(本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7

分，共68分)

17.计算：,12——J(-2)-+1\[3—11.

【答案】373-5

【解析】

【分析】先把各个二次根式化简，计算立方根，绝对值化简，最后计算即可.

【详解】解：原式=26-2-2+6-1=36一5.

【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，涉及了立方根、二次根式的化简、绝对值的化简等运算，属于基础题.

18.解方程/+4x—5=0.

【答案】玉=1,=-5.

【解析】

【详解】解：5=0,

(x-1)(x+5)=0,

%-1=0,x+5=0,

玉=1,A??=—5.

/b2

19.计算:----------1----------

a-bb-a

【答案】a+b

【解析】

【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果.

222

【详解】，a一+二b一CTb

a-bb-aa-ba-b

a2-b2

a-b

_(a+b)(a-b)

a-b

=a+b.

【点睛】此题主要考查了同分母分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

X3

20.解方程：---^-=1

x-3X2-9

【答案】x=-2

【解析】

【详解】【分析】先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再验根.

【详解】解：去分母得：X(X+3)-3=X2-9

解得：x=-2

检验：把x=—2代入X?—9=一5#0

所以：方程的解为x=—2

【点睛】本题考核知识点：解方式方程.解题关键点：去分母，得到一元一次方程，.验根是要点.

21.已知：如图，E是BC上一点，AB=EC,AB//CD,BC=CD.求证：AC=ED.

【解析】

【详解】试题分析：已知AB〃CD,根据两直线平行，内错角相等可得NB=NECD,再根据SAS证明△ABC^4

ECD全，由全等三角形对应边相等即可得AC=ED.

AB=EC

试题解析：VAB/7CD,；.NB=NDCE.在AABC和4ECD中•Z5=Z2JCE,.•.△ABC^AECD(SAS),

BC=CD

AC=ED.

考点：平行线的性质；全等三角形的判定及性质.

22.已知关于x的一元二次方程2/—3x=0.

(1)当加=0时，求方程的根；

(2)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

39

【答案】(1)x,=0,X[=—;(2)m>—.

-28

【解析】

【分析】(1)将m=0代入方程中，再解方程即可；

(2)根据方程根的情况可得到方程根的判别式的取值范围，即m的取值范围.

【详解】解：(1)把m=0代入方程中，得：

2X2-3X=0

x(2x-3)=0

3

...原方程的根为玉=0,%=看

(2)•••方程有两个不相等的实数根,

AA>0.

(―3)~—4x2x(—fn)>0.

9

m>——.

8

，m的取值范围为机>—三9.

8

【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>()=方程有两个不相等的实数根；

(2)△=()=方程有两个相等的实数根；

(3)△<0o方程没有实数根.

也考查了一元二次方程的解法.

23.(1)在如下6x6的正方形网格中(每个小正方形边长均为1),画出一个面积为17的正方形;

(2)在如图所示的数轴上找到表示-石的点A(保留画图痕迹).

G11112345~~**

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)利用勾股定理画出长度为而■的线段，然后利用旋转画出边长为J厅的正方形即可；

(2)先在数轴的负半轴上画出边长分别为1、2的矩形，然后在负半轴上截取矩形的对角线得到表示-石的点.

【详解】解：(1)如图所示：

(2)如图所示:

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性

质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成

基本作图，逐步操作.

(x2-2x+lx2-41

24.先化简一-----+^—k-,再从-2、-1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值.

、x—Xx+2xjx

【答案】2x31.

【解析】

【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，最后代入求出即可.

(%-1)'+(x+2)(x-2)

【详解】解：原式=

x(x-l)x(x+2)X

x-1+x—2।1x-1+%一21

XX)Xxx

2x—3

=-----------X

X

=2%-3.

•.•由题意，x不能取1,-2,0

.,.当x=2时，原式=2x2—3=1.

(或当x=-1时，原式=2x(—1)—3=-5.)

【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.

25.如图，已知线段。和NE4F,点8在射线AE上.在NEAF中画出△ABC,使点C在射线AF上，且BC=a.

(1)依题意将图补充完整；

(2)如果NA=45。，AB=4y/i,BC=5,求△ABC的面积.

【解析】

【分析】(1)以点B为圆心，。长为半径画弧，交A尸于点。即可得;

（2）过点8作3D_LAE于点。，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得AD=BD=4,再利用勾股定理可得

C,D=3,C2£>=3,从而可得AG=1,AC2=7,然后利用三角形的面积公式即可得.

【详解】解：⑴如图，AABG和即为所求；

（2）如图，过点B作3D，A尸于点。，

-.-ZA=45°,

是等腰直角三角形，

/.AD=BD，

AD2+BD-=AB-=（40尸，

2BD1=2AI）?=32,

解得A」D=8D=4（负值已舍），

BC】=BC2=5,

：CD=dBC；-BD2=3,GD=dBC"BD2=3,

ACj=AD-CjD=1,AC2=AD+C2D=7,

AABC1的面积为gAC「8r>=gxlx4=2,

△ABC,的面积为LAC,.8O=』X7X4=14,

"22

综上，A/WC的面积为2或14.

【点睛】本题主要考查学生一个作图能力和分类讨论思想，涉及的知识点有等腰直角三角形和勾股定理，解题的关

键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论的数学思想.

26.“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、

《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国

古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买

《论语》和《孟子》供学生阅读.已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟

子》的单价比《论语》的单价少15元.求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？

【答案】40元和25元

【解析】

【分析】根据题意可设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为x+15,已知已知用500元购买

《孟子》总价一《论语》总价

《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，所以可得等量关系式:《孟子》单价一《论语》单价

入数据计算即可.

【详解】解：.设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为x+15,

800

根据题意，得：---

x7+15

解得：x=25,经检验，x=25是所列方程解，且符合题意.

二x+15=25+15=40.

答：《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为40元和25元.

【点睛】本题是关于分式方程的实际问题，解题的关键在于能从题目中找到等量关系式，并能用合适的未知数来表

示各个量，(注意：解得到的答案需要检验).

27.如图，将aABC分别沿AB,AC翻折得到4ABD和△AEC,线段BD与AE交于点F,连接BE.

(1)如果NABC=16。，ZACB=30°,求NDAE的度数；

(2)如果BDLCE,求NCAB的度数.

【答案】(1)ZDAE=42°;(2)/CAB=135°.

【解析】

【分析】(1)已知/ABC=16,，NAC3=30。,可由三角形的内角和求出NBC4的度数，已知aABC分别沿

AB,AC翻折得到4ABD和AAEC,所以可得NEAC=NBAC,NBAD=NBAC,从而可求出

ZDAE=ZEAC-(360-ZBAD-ZBAC)；

(2)当时，/DBC+/ECB=90°,已知△ABC分别沿AB,AC翻折得到4ABD和△AEC,所以可得

ZDBA=ZABC=|ZDBC,ZECA=BCA=1ZECB，所以ZABC+ZBCA=g(NDBC+ZECB)=45，最

后由三角形内角和求出㈤C即可.

【详解】解：(1):△ABC沿AC、AB翻折得到AAEC和AABD,

...AAEC=AABC,AABD=AABC.

•••N2=N1=30\Z4=Z3=16.

ZEAC=ZBAD=ZBAC=180°-30°-16°=134°.

；ZDAC=360。-ZBAD-ZBAC，

ZDAC=360°-134°-134°=92°.

ZDAE=ZEAC-ZDAC=134°-92°=42°.

(2)VBDLCE,

：.Z5=90°.

/DBC+/ECB=90。.

VZ1=Z2,N3=N4,

ZDBC+ZECB=2Z3+2Z1=90°.

N3+N1=45°.

在AABC中，ZCAB=180°—(Z3+Zl)=18()°—45°=135°.

【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，折叠，旋转，平移必有全等，解题的关键是通过折叠找到全等的三角

形，再利用全等三角形的性质：对应角相等找到各个角之间的关系，联立等式求解即可.

28.在同一平面内，若点P与AABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△

ABC的巧妙点.

(1)如图1,求作AABC的巧妙点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).